2025年广东省新兴县第一中学数学高二上期末学业水平测试模拟试题含解析.doc

2025年广东省新兴县第一中学数学高二上期末学业水平测试模拟试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知P是椭圆上的一点，是椭圆的两个焦点且，则的面积是（ ）
A. B.2
C. D.1
2．在等差数列中，，则等于
A.2 B.18
C.4 D.9
3．某工厂对一批产品进行了抽样检测.右图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100),[100，102)，[102，104),[104，106],已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是.

A.90 B.75
C.60 D.45
4．设是等差数列的前n项和，若，，则（）
A.26 B.－7
C.－10 D.－13
5．如图是函数的导函数的图象，下列结论中正确的是（ ）

A.在上是增函数 B.当时，取得最小值
C.当时，取得极大值 D.在上是增函数，在上是减函数
6．若圆与圆有且仅有一条公切线，则（ ）
A.－23 B.－3
C.－12 D.－13
7．已知椭圆：的离心率为，则实数（）
A. B.
C. D.
8．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若，则|QF|＝(　　)
A. B.
C.3 D.2
9．设是空间一定点，为空间内任一非零向量，满足条件的点构成的图形是（ ）
A.圆 B.直线
C.平面 D.线段
10．已知等比数列的前n项和为，若，，则（）
A.250 B.210
C.160 D.90
11．现有一根金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤，若该金锤从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，该金锤共重（）斤
A.6 B.7
C.9 D.15
12．已知集合M＝{0，x}，N＝{1,2}，若M∩N＝{2}，则M∪N＝(　　)
A.{0，x,1,2} B.{2,0,1,2}
C.{0,1,2} D.不能确定
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知数列的前项和.则数列的通项公式为_______.
14．已知是定义在上的奇函数，当时，则当时___________.
15．沈阳市某高中有高一学生600人，高二学生500人，高三学生550人，现对学生关于消防安全知识了解情况进行分层抽样调查，若抽取了一个容量为n的样本，其中高三学生有11人，则n的值等于________.
16．若抛物线上一点到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为___________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）区块链技术被认为是继蒸汽机、电力、互联网之后，下一代颠覆性的核心技术区块链作为构造信任的机器，将可能彻底改变整个人类社会价值传递的方式，2015年至2019年五年期间，中国的区块链企业数量逐年增长，居世界前列现收集我国近5年区块链企业总数量相关数据，如表
年份
2015
2016
2017
2018
2019
编号x
1
2
3
4
5
企业总数量y（单位：千个）
2.156
3.727
8.305
24.279
36.224
注：参考数据，，，（其中）.
附：样本的最小二乘法估计公式为，
（1）根据表中数据判断，与（其中，为自然对数的底数），哪一个回归方程类型适宜预测未来几年我国区块链企业总数量？（给出结果即可，不必说明理由）
（2）根据（1）的结果，求y关于x的回归方程；
（3）为了促进公司间的合作与发展，区块链联合总部决定进行一次信息化技术比赛，邀请甲、乙、丙三家区块链公司参赛比赛规则如下：①每场比赛有两个公司参加，并决出胜负；②每场比赛获胜的公司与未参加此场比赛的公司进行下一场的比赛；③在比赛中，若有一个公司首先获胜两场，则本次比赛结束，该公司就获得此次信息化比赛的“优胜公司”，已知在每场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，若首场由甲乙比赛，则求甲公司获得“优胜公司”的概率.
18．（12分）如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点

（1）求证：平面；
（2）在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由
19．（12分）已知在△中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且.
（1）求角C的大小；
（2）若，求△的面积S的最大值.
20．（12分）设数列的首项，
（1）证明：数列是等比数列；
（2）设且前项和为，求
21．（12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，平面ABCD，，，.

（1）求证：平面PAD；
（2）求直线AB与平面PCE所成角的正弦值；
22．（10分）如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，平面ABCD，，.

（1）求点B到平面PCD的距离；
（2）求二面角的平面角的余弦值.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】设，先求出m、n，再利用面积公式即可求解.
【详解】在中，设，则,解得：.
因为，所以，
所以的面积是.
故选：A
2、D
【解析】利用等差数列性质得到，，计算得到答案.
详解】等差数列中，

故选D
【点睛】本题考查了等差数列的计算，利用性质可以简化运算，是解题的关键.
3、A
【解析】样本中产品净重小于100克的频率为(0.050＋0.100)×2＝0.3，频数为36，
∴样本总数为.
∵样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的频率为(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.75，
∴样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数为120×0.75＝90.
考点：频率分布直方图.
4、C
【解析】直接利用等差数列通项和求和公式计算得到答案.
【详解】，，解得，故.
故选：C.
5、D
【解析】根据导函数的图象判断出函数的单调区间、极值、最值，由此确定正确选项.
【详解】根据图象知：
当，时，函数单调递减；
当，时，函数单调递增.
所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故选项A不正确，选项D正确；
故当时，取得极小值，选项C不正确；
当时，不是取得最小值，选项B不正确；
故选：D.
6、A
【解析】根据两圆有且仅有一条公切线，得到两圆内切，从而可求出结果.
【详解】因为圆，圆心为，半径为；
圆可化为，圆心为，半径，
又圆与圆有且仅有一条公切线，
所以两圆内切，
因此，即，
解得.
故选：A.
7、C
【解析】根据题意，先求得的值，代入离心率公式，即可得答案.
【详解】因为，所以
所以，解得.
故选：C
8、C
【解析】过点Q作QQ′⊥l交l于点Q′，利用抛物线定义以及相似得到|QF|＝|QQ′|＝3.
【详解】如图所示：
过点Q作QQ′⊥l交l于点Q′，因为，
所以|PQ|∶|PF|＝3∶4，又焦点F到准线l的距离为4，
所以|QF|＝|QQ′|＝3.
故选C.

【点睛】本题考查了抛物线的定义应用，意在考查学生的计算能力.
9、C
【解析】根据法向量的定义可判断出点所构成的图形.
【详解】是空间一定点，为空间内任一非零向量，满足条件，
所以，构成的图形是经过点，且以为法向量的平面.
故选：C.
【点睛】本题考查空间中动点的轨迹，考查了法向量定义的理解，属于基础题.
10、B
【解析】设为等比数列，由此利用等比数列的前项和为能求出结果
【详解】设，等比数列的前项和为
为等比数列，
为等比数列，

解得
故选：B
11、D
【解析】设该等差数列为，其公差为，根据题意和等差数列的性质可得，进而求出结果.
【详解】设该等差数列为，其公差为，
由题意知，，
由，解得，
所以.
故选：D
12、C
【解析】集合M＝{0，x}，N＝{1,2}，若M∩N＝{2}，则.
所以.
故选C.
点睛：集合的交集即为由两个集合的公共元素组成的集合，集合的并集即由两集合的所有元素组成.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】根据公式求解即可.
【详解】解：当时，
当时，
因为也适合此等式，所以.
故答案为：
14、
【解析】当时，利用及求得函数的解析式.
【详解】当时，，由于函数是奇函数，故.
【点睛】本小题主要考查已知函数的奇偶性以及轴一侧的解析式，求另一侧的解析式，属于基础题.
15、33
【解析】根据分层抽样的性质进行求解即可.
【详解】因为抽取了一个容量为n的样本，其中高三学生有11人，
所以有，
故答案为：33
16、
【解析】先由抛物线的方程求出准线的方程，然后根据点到准线的距离可求，进而可得抛物线的标准方程.
【详解】抛物线的准线方程为，点到其准线的距离为，
由题意可得，解得，故抛物线的标准方程为.
故答案为：.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
（3）
【解析】（1）根据表中数据判断y关于x的回归方程为非线性方程；
（2）令，将y关于x的非线性关系，转化为z关于x的线性关系，利用最小二乘法求解；
（3）利用相互独立事件的概率相乘求求解；
【小问1详解】
根据表中数据适宜预测未来几年我国区块链企业总数量.
【小问2详解】
，，
令，则，
，
由公式计算可知

，即
，即
所以y关于x的回归方程为
【小问3详解】
设甲公司获得“优胜公司”为事件.
则
所以甲公司获得“优胜公司”的概率为.
18、（1）证明见解析；（2）存在，.
【解析】(1)建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和直线的单位向量，从而可证明线面平行.
(2) 令，，设，求出，结合已知条件可列出关于的方程，从而可求出的值.
【详解】证明：过作于点，则，以为原点，
，，所在的直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系
则，，， ，，，
∵ 为的中点．∴ ．则，，
，设平面的法向量为，则
令，则，，∴ ．∴ ，即，
又平面．∴ 平面

解：令，，设，
∴ ．∴ ，
∴  .由知，平面的法向量为.
∵ 直线与平面所成角的正弦值为，
∴ ，化简得，
即，∵，∴，故
【点睛】本题考查了利用空间向量证明线面平行，考查了平面法向量的求解，属于中档题.
19、（1）；
（2）.
【解析】（1）由正弦定理、和角正弦公式及三角形内角的性质可得，进而可得C的大小；
（2）由余弦定理可得，根据基本不等式可得，由三角形面积公式求面积的最大值，注意等号成立条件.
【小问1详解】
由正弦定理知：，
∴，又，
∴，则，故.
【小问2详解】
由，又，则，
∴，当且仅当时等号成立，
∴△的面积S的最大值为.
20、（1）证明见解析；
（2）.
【解析】（1）由已知变形得出，即可证得结论成立；
（2）计算，利用并项求和法可求得.
【小问1详解】
证明：对任意的，，则，且，
故数列为等比数列，且该数列的首项为，公比也为，故.
【小问2详解】
解：，
所以，，
因此，.
21、（1）证明见详解
（2）
【解析】（1）将线面平行转化为面面平行，由已知易证；
（2）延长相交与点F，利用等体积法求点A到平面PCE，然后由可得.
【小问1详解】
四边形ABCD为正方形

平面PAD，平面PAD
平面PAD
同理，，平面PAD
又平面，平面
平面平面PAD
平面
平面PAD
【小问2详解】
延长相交与点F，因为，所以分别为的中点.记点到平面PCF为d，直线AB与平面PCE所成角为，则.
易知，，，，
因为平面ABCD，所以，
所以
因为，所以
由得：
即，得
所以
22.
22、（1）
（2）
【解析】（1）建立空间直角坐标系，用点到面的距离公式即可算出答案；
（2）先求出两个面的法向量，然后用二面角公式即可.
【小问1详解】
∵平面平面
∴
又两两互相垂直 ,
所以，以点为坐标原点，分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，

D ( 3 , 6 , 0 ) , A ( 0 , 6 , 0 )

设平面的一个法向量
所以即
令，可得

记点到平面的距离为，
则
【小问2详解】
由 ( 1 ) 可知平面的一个法向量为
平面的一个法向量为
设二面角的平面角为
由图可知，