数值积分--补充知识1.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,数值微积分,Newton-Cotes,型求积公式,复化求积公式,Gauss,型求积公式,数值微分,引言,求函数在给定区间上的定积分，在高等数学教程中已给出了许多有效的方法。但在实际问题中，往往仅给出函数在一些离散点的值，它的解析表达式没有明显的给出；或者，虽然给出解析表达式，但却很难求得其原函数。,这时，我们就需要利用函数在这些节点上的信息求出函数积分的近似值，由此，导出了数值积分的概念和方法。,关于积分,如果已知,f(x)=F(x),则根据牛顿-莱布尼兹公式可以得到：,但是，在计算中会遇到以下情况：,都不宜直接用Newton-Leibniz公式计算。这时可以考虑近似求解。,1）.原函数无法求出，如：,2）.,y=f(x),由离散数据给出,(,x,i,y,i,),i=0,1,n,3）.,F(x),可以求出，但太复杂，如,采用近似解法或数值解法的思想是先找出被积函数,f(x),的近似函数,p(x),即：,则可以得到：,下面我们将给出两种计算方法：,1）.等距节点的,牛顿-柯特斯型求积,公式。,2）.非等距节点的,高斯型求积,公式。,2,.,Newton-Cotes,型求积公式,则可以构造出,n,次,Lagrange,插值多项式：,相应的函数值为,：,y,k,=f(x,k,),k=0,1,2,n,对于定积分,将区间,a,bn,等分,节点为：,对,f(x)=L,n,(x)+R,n,(x),两端在a,b上积分,得到:,令：,忽略,R,n,f,便可以得到积分的近似表达式：,误差为：,为了给出具体计算公式，令,则由,x,i,=a+ih,x,k,=a+kh,得到,从而,误差由：,及,x=a+th,x,k,=a+kh,得到,令：,则得定积分的近似计算公式：,这时:,我们称此公式为,Newton-Cotes 型求积公式,。,其误差为：,下面再总结一下Newton-Cotes 型求积公式的推理过程。,针对等距分点处的函数值：,对于积分,得到：,由变换：,得到,对,f(x)=L,n,(x)+R,n,(x),两端在a,b上积分,得到:,从而得到Newton-Cotes型求积公式：,在具体计算时，可以取定,n=1，2，3，4,。,此时，还有专用名称称呼，分别为,梯形公式,、,抛物线公式,、,Cotes公式,等，下面给出具体的计算格式。,一、梯形公式(n=1),由系数,得到,于是,即：,关于误差可由,得到,设,f(x)C,2,a,b,则由积分中值定理得:,于是，得到梯形求积公式及其误差为,为了估计误差限，设,则得到,二、抛物线(辛普森-,Simpson,)公式,（n=2）,由系数,得到,得到,即,设,f(x)C,4,a,b,则可得抛物型公式的误差为,若记,则有,抛物线,(simpson),求积公式及误差为,抛物线公式,梯形公式,Cotes求积公式,例4.1用梯形公式，,Simpson,公式和,Cotes,公式求积分,解:利用梯形公式,利用,Simpson,公式,得,利用Cotes公式得,而原积分为,相对而言，Cotes求积公式精度最高，梯形求积公式精度最低。,2.N点等距节点的积分公式及其误差式怎么表示？,3.如何由上式给出梯形公式、抛物线公式及其误差？,4.练习：分别用梯形、抛物型公式计算下列积分并估计误差限,。,数值微分,用函数,y=f(x),的离散数据,近似的求出函数在节点处的微分值，称作数值微分。,一、Taylor展开法,为求出,y=f(x),在某点,x,0,处的导数值,f,(,x,),可以利用函数在此点以及前后两点的函数值:,通过Taylor展式进行近似计算,。,(,x,i,y,i,),i=0,1,2,n,这时,得到,这样可以得到一阶向前差商数值微分公式,误差为,这样可以得到一阶向后差商数值微分公式,由,误差也为,O(h),再由Taylor展示,得到一阶中心差商数值微分公式,误差为,二阶中心差商数值微分公式为,误差为,例4,-12,对于函数,y=f(x),在如下点的函数值,x,i,-0.1,0,0.1,y,i,0.9048,1,0.1052,试分别用一阶向前、向后、中心差商公式计算,解：三种公式计算一阶导数值分别为,用二阶中心差商公式计算,.,用二阶中心差分公式计算,上表数据表示的是由函数,f(x)=e,x,给出,其准确值为：,可见，用一阶中心差商公式求一阶导数更准确一些。,下面再看另一种求导数的方法,。,二、插值法求微商,两边关于,x,求导数，得到,用函数,y=f(x),的离散数据,先求出,n,次 Lagrange 插值多项式,将节点,x,k,带入，并由,：,于是，便可以得到函数在节点处一阶导数的近似值,误差为,得到,由,及,对于,可知,可知当分点越多时，用如下公式求数值微商越精确,对于插值型数值微商公式,根据插值节点的不同，可以给出不同的计算公式：,1.一阶两点微商公式(,n=1,),由,及,得到,于是,我们称,为一阶两点微商公式,误差为,O(h),.,2.一阶三点微商公式(,n=2,),由,得到,误差均为,3.二阶三点微商公式(,n=2,),由,得到,误差分别为,总结一下，两点、三点数值微商公式,：,一阶两点微商公式,一阶三点微商公式,二阶三点微商公式,例4,-13,对于函数,y=f(x),在如下点的函数值,试分别用两点、三点数值微分公式计算,x=2.7,处函数的一、二阶导数值。,解：,h=0.2,时,x,i,2.5,2.6,2.7,2.8,2.9,y,i,12.1825,13.4637,14.8797,16.4446,18.1741,或者,或者,h=0.1,时,或者,或者,以上导数值均求的是函数,f(x)=e,x,在,x=2.7,处的一、二阶导数近似值，真值为：,小结,一阶两点微商公式,一阶三点微商公式,二阶三点微商公式,