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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,1.2.1,任意角三角函数,(,二,),1/47,【,知识提炼,】,1.,相关概念,(1),单位圆：,以原点,O,为圆心，以单位长度为半径圆,.,(2),有向线段：,带有,_(,要求了起点和终点,),线段,.,要求：方向与,x,轴或,y,轴正方向一致为正值，反之为负值,.,方向,2/47,2.,三角函数线,MP,OM,AT,3/47,【,即时小测,】,1.,判断,.,(1),三角函数线长度等于三角函数值,.(,),(2),三角函数线方向表示三角函数值正负,.(,),(3),对任意角都能作出正弦线、余弦线和正切线,.(,),4/47,【,解析,】,(1),错误,.,三角函数线长度等于三角函数值绝对值,.,(2),正确,.,凡是与,x,轴或,y,轴正向同向为正值，反向为负值,.,(3),错误,.,对任意角都能作出正弦线、余弦线，但不一定能作出正切线,.,如角 正切线不存在,.,答案：,(1),(2),(3),5/47,2.,角 和角 有相同,(,),A.,正弦线,B.,余弦线,C.,正切线,D.,不能确定,【,解析,】,选,C.,因为,，即两角终边在一条直线上，因而它们正切线相同,.,6/47,3.,已知角,正弦线长度为单位长度，那么角,终边,(,),A.,在,x,轴上,B.,在,y,轴上,C.,在直线,y=x,上,D.,在直线,y=-x,上,【,解析,】,选,B.,由题意得，,sin,=,1,，故角,终边与单位圆交点坐标为,(0,，,1),，所以角,终边在,y,轴上,.,7/47,4.,假如,MP,和,OM,分别是 正弦线和余弦线，那么以下结论中正确是,(,),A.MPOM0 B.MP0OM,C.OM0MP,D.OMMP0,【,解析,】,选,C.,作出角 正弦线和余弦线，,如图所表示,.,观察图象可知：,OM0MP.,8/47,5.,若角,余弦线长度为,0,，则它正弦线长度为,_.,【,解析,】,若角,余弦线长度为,0,，则角,终边在,y,轴上，此时其正弦线长度为,1.,答案：,1,9/47,【,知识探究,】,知识点,三角函数线,观察如图所表示内容，回答以下问题：,10/47,问题,1,：三角函数线方向有何特点？,问题,2,：用三角函数线表示三角函数时其符号是怎样确定？,11/47,【,总结提升,】,1.,三角函数线意义,正弦线、余弦线、正切线分别是正弦、余弦、正切函数几何表示，这三种线段都是与单位圆相关有向线段，这些特定有向线段数值能够用来表示三角函数值,.,12/47,2.,对三角函数线四点说明,(1),三条有向线段位置,正弦线为角终边与单位圆交点到,x,轴垂直线段；余弦线在,x,轴上；正切线在过单位圆与,x,轴正方向交点切线,.,三条有向线段两条在单位圆内，一条在单位圆外,.,(2),三条有向线段方向,正弦线由垂足指向角终边与单位圆交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点,(1,，,0),指向与角终边交点,.,13/47,(3),三条有向线段正负,三条有向线段凡是与,x,轴或,y,轴同向为正值，与,x,轴或,y,轴反向为负值,.,(4),三条有向线段书写,有向线段起点字母在前面，终点字母在后面,.,14/47,【,题型探究,】,类型一,三角函数线作法,【,典例,】,1.,若角,(02),正弦线与余弦线数量互为相反数，那么,值为,(,),2.,分别作出以下各角正弦线、余弦线、正切线,.,15/47,【,解题探究,】,1.,典例,1,中，正弦线与余弦线方向有什么特点？终边落在何处角正弦与余弦绝对值相等？,提醒：,正弦线与余弦线方向一个与坐标轴同向，另外一个与坐标轴反向,.,终边落在直线,y=x,或直线,y=-x,上角正弦与余弦绝对值相等,.,2.,典例,2,中，作正弦线、余弦线、正切线关键是作哪两条垂线？,提醒：,过角终边与单位圆交点作,x,轴垂线，,过点,(1,，,0),作,x,轴垂线,.,16/47,【,解析,】,1.,选,D.,若角,正弦线与余弦线数量互为相反数，那么,终边落在直线,y=-x,上,(,如图所表示,),，又因为,00,，,cos0,，,cos0,，且,|,sin,|,|,cos,|,，,所以,sin+cos0,，,23/47,2.,因为,是第二象限角，,所以,+2k+2k,，,kZ,，,所以,+k +k,，,kZ,，,所以 是第一或第三象限角,(,如图阴影部分,).,结合单位圆上三角函,数线可得：,24/47,(1),当 是第一象限角时，,sin =AB,，,cos =OA,，,tan =CT,，,从而得，,cos sin tan,；,(2),当是第三象限角时，,sin =EF,，,cos =OE,，,tan =CT,，,得,sin cos tan .,综上所得，当在第一象限时，,cos sin tan,；,当在第三象限时，,sin cos 1.,26/47,【,方法技巧,】,1.,三角函数线比较大小两个关注点,(1),三角函数线是一个角三角函数值表达，从三角函数线方向能够看出三角函数值正负，其长度是三角函数值绝对值,.,(2),比较两个三角函数值大小，不但要看其长度，还要看其方向,.,2.sin+cos,和,sin-cos,符号规律,27/47,【,变式训练,】,(,鞍山高一检测,)sin1,，,sin2,，,sin3,，,sin4,大小次序是,_.,【,解题指南,】,作出四个角正弦线，观察图形比较大小,.,难点是比较,sin1,与,sin2,大小，关键分析哪个角终边离,y,轴近,.,28/47,【,解析,】,作出,1,，,2,，,3,，,4,正弦线如图所表示，,因为,3,，所以,-12-,，,观察图可知：,sin40sin3sin1sin2.,答案,：,sin4sin3sin1sin2,29/47,【,赔偿训练,】,用单位圆及三角函数线证实：正弦函数在 上是增函,数,.,【,证实,】,设,0,1,2,，分别作,1,，,2,正弦线如图所表示：,sin,1,=M,1,P,1,，,sin,2,=M,2,P,2,.,因为,0,1,2,，,所以,M,1,P,1,M,2,P,2,，即,sin,1,sin,2,，所以正弦函数在 上为增函数,.,30/47,类型三,用三角函数线解三角不等式,【,典例,】,在单位圆中画出适合以下条件角,终边范围，并由此写出角,集合,(1)sin .(2)cos-.(3)tan-1.,31/47,【,解题探究,】,本例中解三角不等式首先要作出哪些角终边？,提醒：,首先要作出满足,sin=,；,cos=-,；,tan=-1,角,终边,.,32/47,【,解析,】,(1),作直线,y=,交单位圆于,A,，,B,两点，连接,OA,，,OB,，则,OA,与,OB,围成区域即为角,终边范围，故满足条件角,集合为,|,2k+,2k+,，kZ,33/47,(2),作直线,x=-,交单位圆于,C,，,D,两点，连接,OC,，,OD,，则,OC,与,OD,围成,区域,(,图中阴影部分,),即为角,终边范围,.,故满足条件角,集合为,|2k+2k+,，,kZ.,34/47,(3),在单位圆过点,A(1,，,0),切线上取,AT=-1,，连接,OT,，,OT,所在直线与单,位圆交于,P,1,，,P,2,两点，则图中阴影部分即为角,终边范围，所以,取值集合是,|-+k +k,，,kZ,，如图,.,35/47,【,延伸探究,】,1.(,变换条件,),若将本例,(2),改为求使 有意义,取值集合，则结果怎样？,【,解析,】,如图，因为,2cos-10,，所以,cos .,取值集合为,2k-,，,2k+(kZ).,36/47,2.(,变换条件,),本例,(1),中角,满足条件改为：,-sin,，,试求,取值集合,.,【,解析,】,由三角函数线可知,且,故,取值范围是,37/47,【,方法技巧,】,利用三角函数线解三角不等式方法,(1),正弦、余弦型不等式解法,对于,sinxb,，,cosxa(sinxb,，,cosxa),，求解关键是恰当地寻求点，只需作直线,y=b,或,x=a,与单位圆相交，连接原点与交点即得角终边所在位置，此时再依据方向即可确定对应范围,.,(2),正切型不等式解法,对于,tanxc,，取点,(1,，,c),连接该点和原点并反向延长，即得角终边所在位置，结合图象可确定对应范围,.,38/47,【,赔偿训练,】,利用单位圆中三角函数线，确定角,取值范围使,cos .,【,解析,】,如图中阴影部分就是满足条件角,取值范围，即,2k+2k+,或,2k-2k-,，,kZ.,39/47,【,延伸探究,】,1.(,变换条件,),将角,满足条件改为,-cos,，求角,取值范,围,.,【,解析,】,如图中阴影部分就是满足条件角,取值范围，即,2k+2k+,或,2k+2k+,，,kZ.,40/47,2.(,变换条件,),求满足,x,取值范围,.,【,解析,】,要使函数有意义，则,所以,如图所表示，,所以,41/47,易错案例,三角函数线在解三角方程中应用,【,典例,】,（,广州高一检测）已知,tan x=,，则,x,集合为,（）,A.x|x=2k+,，,kZ,B.x|x=2k+,，,kZ,C.,D.x|x=k+,，,kZ,42/47,【,失误案例,】,43/47,【,错解分析,】,分析解题过程，你知道错在哪里吗？,提醒：,错误根本原因是在,0,2,内寻找正切线为 角不全方面,.,实,际上 与 终边互为反向延长线，两个角正切线相同,.,44/47,【,自我矫正,】,选,D.,因为 与 终边互为反向延长线，所以两角正,切线相同,(,如图所表示,),，所以,tan =tan =,，,45/47,若,tan x=,，则角,x,终边落在角 终边上或落在角 终边上，所,以,x,集合为,x|x=2k+,，,kZx|x=2k+,，,kZ=x|x=,（,2k+1,）,+,，,kZx|x=2k+,，,kZ=x|x=k+,，,kZ.,46/47,【,防范办法,】,1.,正确了解有向线段和三角函数线概念,首先要把握好有向线段是带有方向有向线段，有正有负；另首先熟悉正弦线、余弦线、正切线位置,.,2.,注意角概念推广对解题影响,由三角函数值求角时，先找到“正值”区间，即,0,2,间满足条件角，然后依据终边相同角同名三角函数值相等写出全部满足条件角,.,47/47,
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