高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.1双曲线及其标准方程PPT省公开课一等奖新名师优质课获奖PPT课.pptx

-,*,-,2.3,.,1,双曲线及其标准方程,1/33,2/33,1,.,双曲线定义,(1),定义,:,在平面内到两个定点,F,1,F,2,距离之,差,绝对值等于常数,(,大于,0,且小于,|F,1,F,2,|,),点集合叫作双曲线,.,(2),符号表示,:,|MF,1,|-|MF,2,|=,2,a,(,常数,)(0,2,a|F,1,F,2,|,),.,(3),焦点,:,两个定点,F,1,F,2,.,(4),焦距,:,两焦点之间距离,表示为,|F,1,F,2,|.,3/33,名师点拨,定义中为何强调,“,绝对值,”,和,“0,2,a|F,1,F,2,|,”,.,(1),在双曲线定义中,条件,0,2,a|F,1,F,2,|,则动点轨迹不存在,.,(2),双曲线定义中应注意关键词,“,绝对值,”,若去掉定义中,“,绝对值,”,三个字,动点轨迹只能是双曲线一支,.,平面内到两定点,F,1,F,2,距离差绝对值为非零常数,即,|MF,1,|-|MF,2,|=,2,a,关键词,“,平面内,”,.,当,2,a|F,1,F,2,|,时,轨迹不存在,.,4/33,【做一做,1,】,已知两定点,F,1,(,-,3,0),F,2,(3,0),在满足以下条件平面内动点,P,轨迹中,是双曲线是,(,),A.,|PF,1,|-|PF,2,|=,5B.,|PF,1,|-|PF,2,|=,6,C.,|PF,1,|-|PF,2,|=,7D.,|PF,1,|-|PF,2,|=,0,解析,:,A,中,|F,1,F,2,|=,6,|PF,1,|-|PF,2,|=,5,|F,1,F,2,|,动点,P,轨迹不存在,;,D,中,|PF,1,|-|PF,2,|=,0,即,|PF,1,|=|PF,2,|,依据线段垂直平分线性质,动点,P,轨迹是线段,F,1,F,2,垂直平分线,.,故选,A,.,答案,:,A,5/33,2,.,双曲线标准方程,尤其提醒,(1),标准方程代数特征,:,方程右边是,1,左边是关于,x,y,平方差,而且分母大小关系不确定,.,(2),a,b,c,三个量关系,:,标准方程中两个参数,a,和,b,确定了双曲线形状和大小,是双曲线定形条件,这里,b,2,=c,2,-a,2,与椭圆中,b,2,=a,2,-c,2,相区分,且椭圆中,ab,0,而双曲线中,a,b,大小不确定,.,6/33,A.,充分无须要条件,B.,必要不充分条件,C.,充要条件,D.,既不充分又无须要条件,答案,:,A,7/33,思索辨析,判断以下说法是否正确,正确在后面括号内打“,”,错误打“,”,.,(1),平面内到两定点距离差等于常数,(,小于两定点间距离,),点轨迹是双曲线,.,(,),答案,:,(1),(2),(3),(4),8/33,探究一,探究二,探究三,思维辨析,分析,可先设出双曲线标准方程,再结构关于,a,b,方程组,求得,a,b,从而求得双曲线标准方程,.,9/33,探究一,探究二,探究三,思维辨析,10/33,探究一,探究二,探究三,思维辨析,11/33,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟,1,.,双曲线标准方程两种求法,(1),定义法,:,依据双曲线定义得到对应,a,b,c,再写出双曲线标准方程,.,尤其地,若已知双曲线上两点坐标,则双曲线标准方程可能有两个,把点坐标代入,得到关于,a,b,两个关系式,由此求解,.,也可设双曲线方程为,Ax,2,+By,2,=,1(,AB,0),把点坐标代入求出,A,B,值,此种方法计算过程简单,也防止了分类讨论,.,12/33,探究一,探究二,探究三,思维辨析,2,.,待定系数法求双曲线标准方程四个步骤,13/33,探究一,探究二,探究三,思维辨析,14/33,探究一,探究二,探究三,思维辨析,15/33,探究一,探究二,探究三,思维辨析,【例,2,】,如图,在,ABC,中,已知,|AB|=,4 ,且三个内角,A,B,C,满足,2sin,A+,sin,C=,2sin,B,建立适当坐标系,求顶点,C,轨迹方程,.,16/33,探究一,探究二,探究三,思维辨析,17/33,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟,(1),求解与双曲线相关点轨迹问题,常见方法有两种,:,列出等量关系,化简得到方程,;,寻找几何关系,由双曲线定义,得出对应方程,.,(2),求解双曲线轨迹问题时要尤其注意,:,双曲线焦点所在坐标轴,;,检验所求轨迹对应是双曲线一支还是两支,.,18/33,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练,2,已知双曲线方程是,点,P,在双曲线上,且到其中一个焦点,F,1,距离为,10,点,N,是,PF,1,中点,求,|ON|,大小,(,O,为坐标原点,),.,19/33,探究一,探究二,探究三,思维辨析,(1),若双曲线上一点,M,到它一个焦点距离等于,16,求点,M,到另一个焦点距离,;,(2),如图,若,P,是双曲线左支上点,且,|PF,1,|,|PF,2,|=,32,试求,F,1,PF,2,面积,.,分析,(1),双曲线定义中,|MF,1,|-|MF,2,|=,2,a=,6;(2),利用双曲线定义和,|PF,2,|,|F,1,F,2,|=,32,可利用余弦定理求夹角,然后计算面积,.,20/33,探究一,探究二,探究三,思维辨析,由双曲线定义得,|MF,1,|-|MF,2,|=,2,a=,6,又双曲线上一点,M,到它一个焦点距离等于,16,假设点,M,到另一个焦点距离等于,x,则,|,16,-x|=,6,解得,x=,10,或,x=,22,.,故点,M,到另一个焦点距离为,10,或,22,.,21/33,探究一,探究二,探究三,思维辨析,22/33,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟,(1),求双曲线上一点到某一焦点距离时,若已知该点横、纵坐标,则依据两点间距离公式可求结果,;,若已知该点到另一焦点距离,则依据,|PF,1,|-|PF,2,|=,2,a,求解,注意对所求结果进行必要验证,(,负数应该舍去,且所求距离应该大于,c-a,),.,(2),在处理双曲线中与焦点三角形相关问题时,要注意两点,:,定义中条件,|PF,1,|-|PF,2,|=,2,a,应用,;,要利用余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算,在运算中要注意整体思想和一些变形技巧应用,如,|PF,1,|,2,+|PF,2,|,2,=,(,|PF,1,|-|PF,2,|,),2,+,2,|PF,1,|PF,2,|.,23/33,探究一,探究二,探究三,思维辨析,(1),若,F,1,PF,2,=,90,求,F,1,PF,2,面积,.,(2),若,F,1,PF,2,=,60,F,1,PF,2,面积是多少,?,若,F,1,PF,2,=,120,F,1,PF,2,面积又是多少,?,24/33,探究一,探究二,探究三,思维辨析,25/33,探究一,探究二,探究三,思维辨析,因忽略隐含条件造成所求轨迹方程错误,【典例】,已知定点,A,(,-,3,0),和定圆,C,:(,x-,3),2,+y,2,=,16,动圆和圆,C,相外切,而且过定点,A,求动圆圆心,M,轨迹方程,.,易错分析,求解中易把动点轨迹看成双曲线,忽略了双曲线定义中,“,距离差绝对值是常数,”,这一条件,动点轨迹实际上是双曲线一支,.,解,设,M,(,x,y,),设动圆与圆,C,切点为,B,|BC|=,4,则,|MC|=|MB|+|BC|,|MA|=|MB|,所以,|MC|=|MA|+|BC|,即,|MC|-|MA|=|BC|=,4,|AC|.,所以由双曲线定义知,M,点轨迹是以,A,C,为焦点双曲线左支,且,a=,2,c=,3,所以,b,2,=,5,.,26/33,探究一,探究二,探究三,思维辨析,纠错心得,在求解与双曲线相关轨迹问题时,准确了解双曲线定义,才能确保解题正确性,.,当,|PF,1,|-|PF,2,|=,2,a,0),即,|PF,1,|-|PF,2,|=,2,a,(0,2,a|F,1,F,2,|,),时,P,点轨迹是双曲线,其中取正号时为双曲线右支,取负号时为双曲线左支,.,27/33,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练,如图所表示,已知定圆,F,1,:(,x+,5),2,+y,2,=,1,定圆,F,2,:(,x-,5),2,+y,2,=,4,2,动圆,M,与定圆,F,1,F,2,都外切,求动圆圆心,M,轨迹方程,.,解,圆,F,1,:(,x+,5),2,+y,2,=,1,圆心,F,1,(,-,5,0),半径,r,1,=,1;,圆,F,2,:(,x-,5),2,+y,2,=,4,2,圆心,F,2,(5,0),半径,r,2,=,4,.,设动圆,M,半径为,R,则有,|MF,1,|=R+,1,|MF,2,|=R+,4,|MF,2,|-|MF,1,|=,3,10,=|F,1,F,2,|.,28/33,1 2 3 4 5,解析,:,由双曲线标准方程可知,a,2,=,10,b,2,=,2,.,于是有,c,2,=a,2,+b,2,=,12,则,2,c=,4,.,答案,:,D,29/33,1 2 3 4 5,2,.,已知双曲线标准方程中,a=,5,c=,7,则该双曲线标准方程为,(,),答案,:,C,30/33,1 2 3 4 5,答案,:,(1,2),31/33,1 2 3 4 5,4,.P,是双曲线,x,2,-y,2,=,16,左支上一点,F,1,F,2,分别是左、右焦点,则,|PF,1,|-|PF,2,|=,.,所以,a,2,=,16,2,a=,8,.,因为,P,点在双曲线左支上,所以,|PF,1,|-|PF,2,|=-,8,.,答案,:,-,8,32/33,1 2 3 4 5,解,因为双曲线焦点位置不确定,所以设双曲线方程为,mx,2,+ny,2,=,1(,mn,0),因为,P,1,P,2,在双曲线上,所以有,33/33,