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-,*,-,1,.,1,.,7,柱、锥、台和球体积,1/36,2/36,一,二,三,一、祖暅原理,【问题思索】,1,.,请计算一下长、宽、高分别是,4 cm,3 cm,2 cm,长方体体积,和底面半径为,2 cm,高为,2 cm,圆柱体积,.,经过分析,你能发觉什么结论,?,提醒,:,依据,V,体,=S,底,h,得这两个几何体体积相等,均为,24,cm,3,.,由此可知等底面积,且等高圆柱和长方体体积相等,不但如此,在此基础上还有下面普通规律,祖暅原理,.,3/36,一,二,三,2,.,填空,:(1)“,幂势既同,则积不容异,”,即,“,夹在两个平行平面间两个几何体,被平行于这两个平面任意平面所截,假如截得两个截面面积总相等,那么这两个几何体体积相等,”,.,(2),作用,:,等底面积、等高两个柱体或锥体体积相等,.,(3),说明,:,祖暅原理充分表达了空间与平面问题相互转化思想,是推导柱、锥、台体积公式理论依据,.,3,.,利用祖暅原理来证实两个几何体体积相等,需要几个条件,?,分别是什么,?,提醒,:,需要三个条件,分别是,:,(1),这两个几何体夹在两个平行平面之间,.,(2),平行于两个平行平面每一个平面可截得两个截面,.,(3),两个截面面积总相等,.,4/36,一,二,三,二、柱、锥、台体积,【问题思索】,1,.,填空,:,柱体、锥体、台体体积公式以下表,其中,S,S,分别表示上、下底面面积,h,表示高,r,和,r,分别表示上、下底面圆半径,.,5/36,一,二,三,2,.,求三棱锥体积时有什么技巧,?,提醒,:,因为三棱锥任何一个面都能够作为它底面,所以求三棱锥体积时能够更换三棱锥顶点和底面,寻求底面积与高易求三棱锥,.,3,.,台体能够还原为锥体,那么台体体积能够怎样求,?,提醒,:,台体是由锥体用平行于底面平面截得几何体,所以它体积也能够转化为两个锥体体积之差,.,求解过程以下,:,如图所表示,设台体,(,棱台或圆台,),上、下底面面积分别是,S,S,高是,h,设截得台体时去掉锥体高是,x,则截得这个台体锥体高是,h+x,6/36,一,二,三,7/36,一,二,三,4,.,做一做,:,一个几何体三视图如图所表示,则这个几何体体积为,.,答案,:,3,8/36,一,二,三,5,.,做一做,:,圆锥底面半径为,3,母线长为,5,则这个圆锥体积为,(,),A.36B.18,C.45D.12,答案,:,D,9/36,一,二,三,三、球体积,【问题思索】,2,.,将球表面积公式,S,球,=,4,R,2,和球体积公式,V,球,=,R,3,从公式结构上进行比较,你能发觉,S,球,和,V,球,关系吗,?,提醒,:,半径为,R,球,其体积,V,球,和表面积,S,球,有以下关系,:,V,球,=,S,球,R.,3,.,做一做,:,已知球表面积变为原来,4,倍,则它体积变为原来,倍,.,答案,:,8,10/36,一,二,三,思索辨析,判断以下说法是否正确,正确在后面括号内画,“,”,错误画,“,”,.,(1),等底等高两个柱体体积相同,.,(,),(2),等底等高圆柱体体积是圆锥体积,9,倍,.,(,),答案,:,(1),(2),(3),(4),11/36,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,柱体体积,【例,1,】,用一块长,4 m,宽,2 m,矩形铁皮卷成一个圆柱形铁筒,怎样制作可使铁筒体积最大,?,解,:,若以矩形长为圆柱母线,l,则,l=,4,m,此时圆柱底面周长为,2,m,12/36,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,反思感悟,1,.,柱体,(,棱柱、圆柱,),体积等于它底面积,S,和高,h,积,即,V,柱体,=Sh.,底面半径是,r,高是,h,圆柱体体积计算公式是,V,圆柱,=,r,2,h.,2,.,平行六面体体积求解是比较常见,因为平行六面体六个面都是平行四边形,故能够用任意一组平行面作为底面,其余面作为侧面,.,解题时,我们以解直棱柱体积居多,故在平行六面体中选底面时,以组成直棱柱为首选原因,.,13/36,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,变式训练,1,如图,某几何体主视图是平行四边形,左视图和俯视图都是矩形,则该几何体体积为,(,),14/36,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,解析,:,由三视图知,该几何体为平行六面体,答案,:,B,15/36,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,锥体体积,【例,2,】,如图所表示,在边长为,5,+,正方形,ABCD,中,以,A,为圆心画一个扇形,以,O,为圆心画一个圆,M,N,K,为切点,以扇形为圆锥侧面,以圆,O,为圆锥底面,围成一个圆锥,求该圆锥表面积与体积,.,16/36,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,解,:,设圆锥母线长为,l,底面半径为,r,高为,h.,圆锥表面积等于扇形和圆,O,面积之和,圆锥表面积为,S=,rl+,r,2,=,10,17/36,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,反思感悟,1,.,求锥体体积常见方法,(1),公式法,:,直接代入公式求解,.,(2),等积法,:,如四面体任何一个面都能够作为底面,只需选取底面积和高都易求形式即可,.,(3),补形法,:,将几何体补成易求解几何体,如棱锥补成棱柱,三棱柱补成四棱柱等,.,(4),分割法,:,将几何体分割成易求解几部分,分别求体积,.,2,.,对于本题而言,关键是找出正方形与其内部扇形和圆数量等式,.,18/36,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,变式训练,2,在正六棱锥,P-ABCDEF,中,G,为,PB,中点,则三棱锥,D-GAC,与三棱锥,P-GAC,体积之比为,(,),A.1,1B.1,2C.2,1D.3,2,解析,:,如图所表示,设正六棱锥高为,h,又,S,ADC,S,ABC,=,2,1,所以,V,D-GAC,V,P-GAC,=,2,1,.,答案,:,C,19/36,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,台体体积,【例,3,】,若某几何体三视图,(,单位,:cm),如图所表示,则此几何体体积是,(,),20/36,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,解析,:,由三视图可知该几何体上部分为长方体,下部分为正四棱台,.,答案,:,B,反思感悟,1,.,台体体积公式适合用于棱台和圆台,.,2,.,圆台,(,棱台,),高是指两个底面之间距离,.,3,.,柱体、锥体、台体体积关系如图所表示,.,21/36,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,变式训练,3,一个圆台轴截面,(,等腰梯形,),腰长为,a,下底长为,2,a,对角线长为,a,则这个圆台体积是,(,),答案,:,D,22/36,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,球体积,【例,4,】,已知正四面体,ABCD,外接球体积为,4,求正四面体体积,.,思绪分析,:,能够先将正四面体,ABCD,置于正方体中,再进行求解,;,直接找出正四面体中心,(,即球心,),借助平面几何知识加以处理,.,解法一,将正四面体,ABCD,置于正方体中,.,正四面体外接球即为正方体外接球,(,如图所表示,),正方体体对角线长即为球直径,.,设外接球半径为,R,23/36,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,解法二,如图所表示,设外接球半径为,R,反思感悟,1,.,常见有内切和外接问题,求解与球相关切接问题时先要认真分析题中已知条件,明确切点或接点位置,正确作出截面图,再分析相关量间数量关系,.,2,.,上述解法一侧重整体求法,而解法二侧重用平面几何知识来寻求几何体关键量,解法一显然更为巧妙、简练,.,24/36,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,变式训练,4,平面,截球,O,球面所得圆半径为,1,球心,O,到平面,距离为,则此球体积为,(,),解析,:,如图所表示,设截面圆圆心为,O,M,为截面圆上任一点,答案,:,B,25/36,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,转化思想在求体积中应用,【典例】,如图所表示,已知三棱柱,ABC-A,1,B,1,C,1,全部棱长均为,1,且,AA,1,底面,ABC,则三棱锥,B,1,-ABC,1,体积为,(,),26/36,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,答案,:,A,方法点睛,转化思想是处理数学问题基本思想,它将新问题转化为已知问题,复杂问题转化为简单问题,最终将不易处理问题转化为已处理问题,.,如若所给几何体体积不能直接利用公式得出,则惯用等积法、分割法、补形法等方法进行转化求解,.,27/36,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,变式训练,已知直三棱柱,ABC-A,1,B,1,C,1,中,点,C,到,AB,距离为,3 cm,侧面,ABB,1,A,1,面积为,8 cm,2,求直三棱柱体积,.,解,:,补上一个相同直三棱柱,ACD-A,1,C,1,D,1,能够得到一个直四棱柱,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,.,这个直四棱柱能够看成以,ABB,1,A,1,为底面四棱柱,DCC,1,D,1,-ABB,1,A,1,所以点,C,到,AB,距离即为,C,到底面,ABB,1,A,1,距离,28/36,1,2,3,4,5,6,1,.,若一个球表面积为,4,则这个球体积是,(,),答案,:,B,29/36,1,2,3,4,5,6,2,.,在棱长为,1,正方体上,分别用过共顶点三条棱中点平面截该正方体,则截去,8,个三棱锥后,剩下凸多面体体积是,(,),解析,:,如图,去掉一个棱锥体积是,答案,:,D,30/36,1,2,3,4,5,6,3,.,某几何体三视图如图所表示,若该几何体体积是,3,则主视图中,x,值是,(,),31/36,1,2,3,4,5,6,解析,:,由三视图能够看出几何体是一个以上,下底分别为,1,与,2,高为,2,直角梯形为底面,高为,x,四棱锥,则几何体底面积,答案,:,D,32/36,1,2,3,4,5,6,4,.,正四棱台斜高与上、下底面边长之比为,5,2,8,体积为,14 cm,3,则该棱台高为,.,解析,:,如图所表示,设正四棱台,AC,上底面边长为,2,a,cm,则斜高,EE,下底面边长分别为,5,a,cm,8,a,cm,.,答案,:,2 cm,33/36,1,2,3,4,5,6,5,.,如图所表示,在三棱柱,ABC-A,1,B,1,C,1,中,若,E,F,分别为,AB,AC,中点,平面,EB,1,C,1,F,将三棱柱分成了,AEF-A,1,B,1,C,1,和,BB,1,E-CC,1,F,两部分,它们体积分别为,V,1,V,2,则,V,1,V,2,=,.,解析,:,设三棱柱高为,h,底面面积为,S,体积为,V,则,V=V,1,+V,2,=Sh.,因为,E,F,分别为,AB,AC,中点,故,V,1,V,2,=,7,5,.,答案,:,7,5,34/36,1,2,3,4,5,6,6,.,依据图中标出尺寸,求各几何体体积,.,35/36,1,2,3,4,5,6,解,:,(1),该几何体是圆锥,高,h=,10,底面半径,r=,3,所以底面积,S=,r,2,=,9,(2),该几何体是正四棱台,两底面中心连线就是高,h=,6,上底面面积,S,上,=,64,下底面面积,S,下,=,144,36/36,
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