高中数学第二讲直线与圆的位置关系2.4弦切角的性质省公开课一等奖新名师优质课获奖PPT课件.pptx

,-,*,-,四,弦切角的性质,首页,课前篇,自主预习,课堂篇,合作学习,-,*,-,-,*,-,四,弦切角的性质,首页,课前篇,自主预习,课堂篇,合作学习,首页,-,*,-,四,弦切角的性质,首页,课前篇,自主预习,课堂篇,合作学习,课前篇,自主预习,-,*,-,四,弦切角的性质,首页,课前篇,自主预习,课堂篇,合作学习,课堂篇,合作学习,四,弦切角性质,1/30,2/30,1,.,弦切角概念,定义,:,顶点在,圆,上,一边和圆,相交,另一边和圆,相切,角叫做弦切角,.,如图,ACD,和,BCD,都是弦切角,.,3/30,名师点拨,1,.,弦切角分类,:,(1),圆心在角一边上,(,如图,a);(2),圆心在角内部,(,如图,b);(3),圆心在角外部,(,如图,c),.,2,.,弦切角条件,:,(1),顶点在圆上,(,顶点为圆切线切点,);(2),一边和圆相切,(,一边所在直线为圆切线,);(3),另一边和圆相交,(,另一边为圆过切点弦,),.,3,.,弦切角也能够看做圆周角一边绕其顶点旋转到与圆相切时所成角,所以,弦切角与圆周角存在亲密关系,.,4/30,【做一做,1,】,如图,直线,PM,PN,分别与圆,O,相切于点,A,B,直线,PO,与圆相交于点,C,则图中弦切角一共有,(,),A.2,个,B.4,个,C.6,个,D.8,个,解析,:,由弦切角定义可知,MAC,PAC,PBC,NBC,都是弦切角,一共有,4,个,.,答案,:,B,5/30,2,.,弦切角定理,定理,:,弦切角等于它所夹弧所正确,圆周角,.,名师点拨,1,.,圆心角、圆周角、弦切角关系,2,.,与弦切角定理相关结论,(1),弦切角度数等于它所夹弧度数二分之一,.,(2),弦切角度数等于它所夹弧所正确圆心角度数二分之一,.,(3),假如两个弦切角所夹弧相等,那么这两个弦切角也相等,.,6/30,【做一做,2,】,如图,正三角形,ABC,内接于圆,O,CP,是圆,O,切线,则,ACP=,(,),A.90B.30C.60D.75,解析,:,因为,ABC,是正三角形,所以,B=,60,.,又因为,CP,是圆,O,切线,所以,ACP=,B=,60,.,答案,:,C,7/30,思索辨析,判断以下说法是否正确,正确在后面括号内画,“,”,错误画,“,”,.,(1),圆一条切线和一条弦所成角就是弦切角,.,(,),(2),弦切角度数等于它所夹弧所正确圆心角度数二分之一,.,(,),(3),弦切角度数等于它所夹弧度数,.,(,),(4),弦切角可能是锐角、钝角或直角,.,(,),答案,:,(1),(2),(3),(4),8/30,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,利用弦切角定理处理计算问题,【例,1,】,如图,AB,为,O,直径,CD,切,O,于点,D,AB,延长线交,CD,于点,C.,若,CAD=,25,则,C,度数为,(,),A.45B.40C.35D.30,9/30,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,解析,:,(,方法,1),如图,连接,BD,AB,为直径,BDA=,90,.,又,CD,为,O,切线,切点为,D,由弦切角定理可知,BDC=,CAD=,25,CDA=,90,+,25,=,115,.,在,ACD,中,C=,180,-,A-,CDA=,180,-,25,-,115,=,40,.,(,方法,2),如图,连接,OD,则,ODA=,CAD=,25,.,因为,CD,是,O,切线,所以,ODC=,90,所以,CDA=,90,+,25,=,115,.,在,ACD,中,C=,180,-,A-,CDA=,180,-,25,-,115,=,40,.,答案,:,B,10/30,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,反思感悟利用弦切角处理与角相关问题步骤,1,.,依据图形及弦切角定义找出与题目相关弦切角,;,2,.,利用弦切角定理找出与其相等角,;,3,.,综合利用相关知识进行角求解,.,11/30,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,变式训练,1,如图,过圆,O,外一点,P,分别作圆,O,切线和割线交圆于,A,B,且,PB=,7,C,是圆上一点,且,BC=,5,BAC=,APB,则,AB=,.,解析,:,PA,是圆,O,切线,BAP=,BCA.,12/30,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,利用弦切角定理处理证实问题,【例,2,】,如图,已知,MN,是,O,切线,点,A,为切点,弦,CD,平行于,MN,弦,AB,交,CD,于点,E.,求证,:,AC,2,=AE,AB.,分析,:,要证,AC,2,=AE,AB,只需证实,ACE,ABC,即可,从而只需证实,ACD=,ABC,而由弦切角定理可知,MAC=,ABC,结合,MN,平行于弦,CD,可证,.,证实,:,如图,连接,BC.,13/30,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,反思感悟百分比式,(,或乘积式,),证实方法,1,.,证实乘积式成立,往往与相同三角形相关,.,若存在切线,常要寻找弦切角,确定三角形相同条件,有时需要添加辅助线创造条件,.,2,.,直接证实百分比式或乘积式有困难时,可考虑把它分解成两个百分比式形式,.,14/30,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,变式训练,2,如图,AB,为,O,直径,C,为,O,上一点,AD,和过,C,点切线相互垂直,垂足为,D.,求证,:,AC,平分,DAB.,证实,:,如图,连接,CB,CD,为,O,切线,由弦切角定理知,ACD=,B.,又,AB,为直径,C,为,O,上一点,ACB=,90,B+,CAB=,90,.,AD,CD,DAC+,ACD=,90,.,由,知,DAC=,CAB,故,AC,平分,DAB.,15/30,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,弦切角定理综合应用,【例,3,】,如图,CF,是,O,直径,CB,是,O,弦,CB,延长线与过点,F,O,切线交于点,P.,(1),如图,若,P=,45,PF=,10,求,O,半径长,;,(2),如图,若,E,是,BC,上一点,且满足,PE,2,=PB,PC,连接,FE,并延长交,O,于点,A,求证,:,点,A,是,中点,.,16/30,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,分析,:,对于,(1),可由切线性质定理知,PCF,是等腰直角三角形,所以求出,CF,长,进而求出半径,;,对于,(2),利用弦切角定理,能够求出两个三角形中有一组角对应相等,然后利用相同三角形判定及性质,可证出,AC,与,AB,所正确圆周角相等,从而证出点,A,是,中点,.,17/30,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,(1),解,:,PF,是,O,切线,CF,是直径,PCF,是直角三角形,.,P=,45,PF=CF.,设圆,O,半径为,r,则,2,r=PF=,10,r=,5,故,O,半径为,5,.,(2),证实,:,如图,连接,FB.,FP,是,O,切线,PFB=,FCB.,又,P=,P,PBF,PFC,PF,2,=PB,PC.,PE,2,=PB,PC,PF,2,=PE,2,PF=PE,EFP=,FEP.,EFB=,EFP-,BFP,CFE=,FEP-,FCB,EFB=,CFE.,故点,A,为,中点,.,18/30,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,反思感悟弦切角综合应用注意点,1,.,弦切角是一个很主要与圆相交角,其主要功效是沟通与圆相关各种角,如圆心角、圆周角等之间关系,是连接圆与三角形全等、三角形相同及与圆相关各种直线位置关系桥梁,.,2,.,弦切角定理经常作为工具,进行三角形相同证实,然后利用三角形相同深入确定对应边之间关系,在圆中证实百分比式或等积式,经常需要借助于三角形相同进行处理,.,19/30,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,20/30,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,错用弦切角定理致误,【典例】,如图,以,ABD,边,AB,为直径,作半圆,O,交,AD,于,C,过点,C,切线,CE,和,BD,相互垂直,垂足为,E,延长,EC,到,F.,求证,:,AB=BD.,21/30,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,错解,:,如图,连接,BC,OC.,CE,是半圆,O,切线,DCE=,CBE,OC,CE.,又,BD,CE,OC,BD,CBE=,BCO,DCE=,BCO.,OC=OB,ABC=,BCO,ABC=,DCE.,又,AB,为半圆,O,直径,AC,BC,BAC=,90,-,ABC.,BD,CE,CDE=,90,-,DCE,CDE=,BAC,AB=BD.,22/30,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,正解,:,如图,连接,BC.,CE,是半圆,O,切线,FCA=,CBA.,FCA=,DCE,DCE=,CBA.,AB,为半圆,O,直径,AD,BC,BAC=,90,-,CBA.,又,BD,CE,D=,90,-,DCE,D=,BAC,AB=BD.,23/30,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,纠错心得,弦切角是顶点在圆上,一边与圆相交,另一边与圆相切角,其中弦切角顶点是圆一条切线与圆切点,一边是过切点圆一条弦所在射线,另一边是过切点圆一条切线,.,本题错误在于找错弦切角,从而错用弦切角定理,所以证实过程是错误,.,24/30,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,变式训练,如图,ABC,内接于,O,AD,AC,于点,A,C=,32,B=,110,则,BAD=,.,解析,:,C+,B+,BAC=,180,BAC=,180,-,C-,B=,38,.,又,AD,AC,BAC+,BAD=,90,.,BAD=,90,-,BAC=,90,-,38,=,52,.,答案,:,52,25/30,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,1,.,如图,经过,O,上点,A,切线和弦,BC,延长线相交于点,P.,若,CAP=,40,ACP=,100,则,BAC,所正确弧度数为,(,),A.100,B.40,C.120,D.30,解析,:,由弦切角性质知,ABC=,CAP=,40,.,因为,ACP=,100,所以,BAC=,100,-,40,=,60,所以,BAC,所正确弧度数为,60,2,=,120,.,答案,:,C,26/30,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,2,.,如图,AD,是圆,O,切线,过圆上一点,C,作,AD,垂线,垂足为,B,CB,与圆,O,相交于,E,且,AE,平分,CAB.,若,AE=,4,则,BE=,(,),解析,:,由题意,得,BAE=,ACE.,又,AE,平分,CAB,所以,BAE=,EAC,从而,BAC=,2,ACB,故,ACB=,BAE=,30,故,BE=AE,sin,BAE=,4,=,2,.,答案,:,A,27/30,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,3,.,如图,AB,是半圆,O,直径,C,D,是半圆上两点,半圆,O,切线,PC,交,AB,延长线于点,P,PCB=,25,则,ADC=,(,),A.105B.115C.120D.125,解析,:,如图,连接,BD.,PC,与半圆,O,相切,BDC=,BCP=,25,.,又,AB,是半圆,O,直径,ADB=,90.,ADC=,ADB+,BDC=,90,+,25,=,115.,答案,:,B,28/30,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,4,.,如图,AD,切,O,于点,F,FB,FC,为,O,两条弦,请列出图中全部弦切角,.,解析,:,由弦切角定义可知,AFB,AFC,DFC,DFB,均为弦切角,.,答案,:,AFB,AFC,DFC,DFB,29/30,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,5,.,如图,AD,是,ABC,中,BAC,平分线,经过点,A,O,与,BC,切于点,D,与,AB,AC,分别相交于点,E,F.,求证,:,EF,BC.,证实,:,如图,连接,DF.,AD,是,BAC,平分线,BAD=,DAC.,EFD=,BAD,EFD=,DAC.,BC,切,O,于点,D,FDC=,DAC.,EFD=,FDC.,EF,BC.,30/30,