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,教材研读,考点突破,栏目索引,教材研读,考点突破,栏目索引,教材研读,考点突破,栏目索引,*,*,教材研读,考点突破,栏目索引,*,*,教材研读,考点突破,栏目索引,教材研读,考点突破,栏目索引,*,*,理数,课标版,第八节曲线与方程,1/21,1.曲线与方程定义,普通地,在直角坐标系中,假如某曲线,C,上点与一个二元方程,f,(,x,y,)=0,实数解建立以下对应关系:,教材研读,那么,这个方程叫做,曲线,方程,这条曲线叫做,方程,曲线,.,2/21,2.求轨迹方程基本步骤,3/21,判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“,”),(1),f,(,x,0,y,0,)=0是点,P,(,x,0,y,0,)在曲线,f,(,x,y,)=0上充要条件.,(),(2)方程,x,2,+,xy,=,x,表示曲线是一个点和一条直线.,(,),(3)到两条相互垂直直线距离相等点轨迹方程是,x,2,=,y,2,.,(,),(4)方程,y,=,与,x,=,y,2,表示同一曲线.,(,),4/21,1.方程(,x,-,y,),2,+(,xy,-1),2,=0表示曲线是,(),A.一条直线和一条双曲线B.两条直线,C.两个点D.4条直线,答案,C由(,x,-,y,),2,+(,xy,-1),2,=0得,或,即方程表示两个点(1,1)和(-1,-1).,5/21,2.若,M,N,为两个定点,且|,MN,|=6,动点,P,满足,=0,则,P,点轨迹是,(),A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线,答案,A,=0,PM,PN,.点,P,轨迹是以线段,MN,为直径,圆.,3.已知点,F,直线,l,:,x,=-,点,B,是,l,上动点.若过点,B,垂直于,y,轴直线,与线段,BF,垂直平分线交于点,M,则点,M,轨迹是,(),A.双曲线B.椭圆C.圆D.抛物线,答案,D由题意知|,MF,|=|,MB,|,依据抛物线定义知,点,M,轨迹是以点,F,为焦点,直线,l,为准线抛物线.,6/21,4.已知,ABC,顶点,B,(0,0),C,(5,0),AB,边上中线长|,CD,|=3,则顶点,A,轨,迹方程为,.,答案,(,x,-10),2,+,y,2,=36(,y,0),解析,设,A,(,x,y,)(,y,0),则,D,|,CD,|=3,+,=9,(,x,-10),2,+,y,2,=36(,y,0).,7/21,5.过椭圆,+,=1(,a,b,0)上任意一点,M,作,x,轴垂线,垂足为,N,则线段,MN,中点轨迹方程是,.,答案,+,=1,解析,设,MN,中点为,P,(,x,y,),则点,M,(,x,2,y,),又点,M,在椭圆上,+,=,1,即所求轨迹方程为,+,=1.,8/21,考点一直接法求轨迹方程,典例1,设,F,(1,0),M,点在,x,轴上,P,点在,y,轴上,且,=2,当点,P,在,y,轴上运动时,求点,N,轨迹方程.,解析,设,M,(,x,0,0),P,(0,y,0,),N,(,x,y,),=(,x,0,-,y,0,),=(1,-,y,0,),(,x,0,-,y,0,)(1,-,y,0,)=0,x,0,+,=0.,由,=2,得(,x,-,x,0,y,)=2(-,x,0,y,0,),即,-,x,+,=0,即,y,2,=4,x,.,故所求点,N,轨迹方程是,y,2,=4,x,.,考点突破,9/21,方法技巧,利用直接法应注意问题,(1)在用直接法求轨迹方程时,在化简过程中,有时破坏了方程同解,性,此时就要补上遗漏点或删除多出点,这是不能忽略.,(2)若方程化简过程是恒等变形,则最终验证能够省略.,1-1,设点,A,为圆(,x,-1),2,+,y,2,=1上动点,PA,是圆切线,且|,PA,|=1,则,P,点,轨迹方程为,(),A.,y,2,=2,x,B.(,x,-1),2,+,y,2,=4,C.,y,2,=-2,x,D.(,x,-1),2,+,y,2,=2,10/21,答案,D如图,设,P,(,x,y,),圆心为,M,(1,0).连接,MA,PM,则,MA,PA,且|,MA,|=1,又因为|,PA,|=1,所以|,PM,|=,即|,PM,|,2,=2,所以(,x,-1),2,+,y,2,=2.,11/21,1-2,已知点,A,(-2,0),B,(3,0),动点,P,(,x,y,),满足,=,x,2,-6,则动点,P,轨迹,是,.,答案,抛物线,解析,因为动点,P,(,x,y,)满足,=,x,2,-6,所以(-2-,x,-,y,)(3-,x,-,y,)=,x,2,-6,所以,动点,P,轨迹方程是,y,2,=,x,即轨迹为抛物线.,12/21,考点二定义法求轨迹方程,典例2,(1)若动点,M,(,x,y,)到点,F,(4,0)距离比它到直线,x,=-5距离小1,则点,M,轨迹方程是,(),A.,x,=-4B.,x,=4,C.,y,2,=8,x,D.,y,2,=16,x,(2)已知圆,M,:(,x,+,),2,+,y,2,=36及定点,N,(,0),点,P,是圆,M,上动点,点,Q,在,NP,上,点,G,在,MP,上,且满足,=2,=0,则点,G,轨迹,C,方程为,.,答案,(1)D(2),+,=1,解析,(1)依题意可知点,M,到点,F,距离等于点,M,到直线,x,=-4距离,因,此点,M,轨迹是抛物线,且顶点在原点,焦点在,x,轴正半轴上,p,=8,点,M,轨迹方程为,y,2,=16,x,故选D.,13/21,(2)由,Q,为,PN,中点,且,GQ,PN,GQ,所在直线是,PN,中垂线,|,PG,|=|,GN,|.,|,PM,|=|,GM,|+|,GP,|=|,GM,|+|,GN,|=62,点,G,轨迹是以,M,N,为焦点椭圆,又,a,=3,c,=,b,=2,点,G,轨迹,C,方程为,+,=1.,14/21,方法技巧,定义法求曲线方程惯用策略,(1)利用圆锥曲线定义求轨迹方程,可从曲线定义出发直接写出方程,或从曲线定义出发建立关系式,从而求出方程.,(2)定义法和待定系数法适合用于轨迹类型已知曲线,利用条件把待定,系数求出来,使问题得解.,2-1,已知圆,C,1,:(,x,+3),2,+,y,2,=1和圆,C,2,:(,x,-3),2,+,y,2,=9,动圆,M,同时与圆,C,1,及圆,C,2,相外切,求动圆圆心,M,轨迹方程.,15/21,解析,如图所表示,设动圆,M,与圆,C,1,及圆,C,2,分别外切于点,A,和点,B,依据两,圆外切得,|,MC,1,|-|,AC,1,|=|,MA,|,|,MC,2,|-|,BC,2,|=|,MB,|.,因为|,MA,|=|,MB,|,所以|,MC,2,|-|,MC,1,|=|,BC,2,|-|,AC,1,|=3-1=2.,这表明动点,M,到两定点,C,2,、,C,1,距离差是常数2.,依据双曲线定义,知动点,M,轨迹为双曲线左支(点,M,到,C,2,距离大,到,C,1,距离小),且,a,=1,c,=3,则,b,2,=8,则圆心,M,轨迹方程为,x,2,-,=1(,x,-1).,16/21,考点三利用相关点法(代入法)求轨迹方程,典例3,如图,已知,P,是椭圆,+,y,2,=1上一点,PM,x,轴于,M,.若,=,.,(1)求,N,点轨迹方程;,(2)当,N,点轨迹为圆时,求,值.,17/21,解析,(1),设点,P,、,N,坐标分别为,P,(,x,1,y,1,),N,(,x,y,),则,M,坐标为,(,x,1,0),且,x,=,x,1,=(,x,-,x,1,y,-,y,1,)=(0,y,-,y,1,),=(,x,1,-,x,-,y,)=(0,-,y,),由,=,得(0,y,-,y,1,)=,(0,-,y,).,y,-,y,1,=-,y,即,y,1,=(1+,),y,.,P,(,x,1,y,1,)在椭圆,+,y,2,=1上,+,=1,+(1+,),2,y,2,=1.,+(1+,),2,y,2,=1即为所求,N,点轨迹方程.,(2)要使点,N,轨迹为圆,则(1+,),2,=,解得,=-,或,=-,.,当,=-,或,=-,时,N,点轨迹是圆,.,18/21,方法技巧,“相关点法”求轨迹方程基本步骤,(1)设点:设被动点坐标为(,x,y,),主动点坐标为(,x,1,y,1,);,(2)求关系式:求出两个动点坐标之间关系式,(3)代换:将上述关系式代入已知曲线方程,便可得到所求动点轨迹方,程.,19/21,3-1,已知曲线,E,:,ax,2,+,by,2,=1(,a,0,b,0),经过点,M,直线,l,与曲线,E,交,于点,A,B,且,=-2,.若点,B,坐标为(0,2),求曲线,E,方程.,解析,设,A,(,x,0,y,0,),B,(0,2),M,故,=,=,.,因为,=-2,=-2,.,20/21,x,0,=,y,0,=-1,即,A,.,A,B,都在曲线,E,上,解得,曲线,E,方程为,x,2,+,=1,.,21/21,
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