高考数学复习第四章三角函数解三角形4.7解三角形的综合应用市赛课公开课一等奖省名师优质课获奖PPT课.pptx

,4.7,解三角形综合应用,1/56,基础知识自主学习,课时作业,题型分类深度剖析,内容索引,2/56,基础知识自主学习,3/56,2.,方向角,相对于某正方向水平角，如南偏东,30,，北偏西,45,等,.,与目标线在同一铅垂平面内水平视线和目标视线夹角，目标视线在水平视线,叫仰角，目标视线在水平视线,叫俯角,(,如图,).,1.,仰角和俯角,知识梳理,上方,下方,4/56,指从,方向顺时针转到目标方向线水平角，如,B,点方位角为,(,如图,).,3.,方位角,正北,5/56,1.,三角形面积公式：,知识拓展,2.,坡度,(,又称坡比,),：坡面垂直高度与水平长度之比,.,6/56,判断以下结论是否正确,(,请在括号中打,“”,或,“”,),(1),从,A,处望,B,处仰角为,，从,B,处望,A,处俯角为,，则,，,关系为,180.(,),(2),俯角是铅垂线与视线所成角，其范围为,0,，,.(,),(3),方位角与方向角其实质是一样，均是确定观察点与目标点之间位置关系,.(,),(4),方位角大小范围是,0,2),，方向角大小范围普通是,0,，,).(,),思索辨析,7/56,1.(,教材改编,),如图所表示，设,A,，,B,两点在河两岸，一测量者在,A,所在同侧河岸边选定一点,C,，测出,AC,距离为,50 m,，,ACB,45,，,CAB,105,后，就能够计算出,A,，,B,两点距离为,考点自测,答案,解析,8/56,2.,若点,A,在点,C,北偏东,30,，点,B,在点,C,南偏东,60,，且,AC,BC,，则点,A,在点,B,A.,北偏东,15 B.,北偏西,15,C.,北偏东,10 D.,北偏西,10,答案,解析,如图所表示，,ACB,90,，,又,AC,BC,，,CBA,45,，而,30,，,90,45,30,15,，,点,A,在点,B,北偏西,15.,9/56,3.(,教材改编,),海面上有,A,，,B,，,C,三个灯塔，,AB,10 n mile,，从,A,望,C,和,B,成,60,视角，从,B,望,C,和,A,成,75,视角，则,BC,等于,答案,解析,如图，在,ABC,中，,AB,10,，,A,60,，,B,75,，,10/56,4.,如图所表示，,D,，,C,，,B,三点在地面同一直线上，,DC,a,，从,C,，,D,两点测得,A,点仰角分别为,60,，,30,，,则,A,点离地面高度,AB,_.,答案,解析,11/56,5.,在一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发生故障停顿转动，失去动力救生艇在洪水中漂行，此时，风向是北偏东,30,，风速是,20 km,/h,；水流向是正东，流速是,20 km/,h,，若不考虑其它原因，救生艇在洪水中漂行速度方向为北偏东,_,，速度大小为,_ km/h.,答案,解析,60,如图，,AOB,60,，,由余弦定理知,OC,2,20,2,20,2,800cos 120,1 200,，,12/56,题型分类深度剖析,13/56,题型一求距离、高度问题,例,1,(1),如图，从气球,A,上测得正前方河流两岸,B,，,C,俯角分别为,75,，,30,，此时气球高,AD,是,60 m,，则河流宽度,BC,等于,答案,解析,14/56,如图，在,ACD,中，,CAD,90,30,60,，,AD,60 m,，,在,ABD,中，,BAD,90,75,15,，,15/56,(2)(,三明模拟,),在,200 m,高山顶上，测得山下一塔顶与塔底俯角,分别为,30,，,60,，则塔高是,_ m.,答案,解析,如图，设塔,AB,高为,h,，,在,Rt,CDB,中，,CD,200 m,，,BCD,90,60,30,，,在,ABC,中，,ABC,BCD,30,，,ACB,60,30,30,，,BAC,120.,16/56,思维升华,求距离、高度问题应注意,(1),了解俯角、仰角概念，它们都是视线与水平线夹角；了解方向角概念,.,(2),选定或确定要创建三角形，要首先确定所求量所在三角形，若其它量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解,.,(3),确定用正弦定理还是余弦定理，假如都可用，就选择更便于计算定理,.,17/56,跟踪训练,1,(1),一船以每小时,15 km,速度向东航行，船在,A,处看到一个灯塔,B,在北偏东,60,，行驶,4 h,后，船抵达,C,处，看到这个灯塔在北偏东,15,，这时船与灯塔距离为,_ km.,答案,解析,如图，由题意，,BAC,30,，,ACB,105,，,B,45,，,AC,60 km,，,18/56,(2),如图所表示，为测一树高度，在地面上选取,A,，,B,两点，从,A,，,B,两点分别测得树尖仰角为,30,，,45,，且,A,，,B,两点间距离为,60 m,，则树高度为,_m.,答案,解析,19/56,在,PAB,中，,PAB,30,，,APB,15,，,AB,60,，,sin 15,sin(45,30),sin 45cos 30,cos 45sin 30,20/56,题型二求角度问题,例,2,如图所表示，位于,A,处信息中心得悉：在其正东方向相距,40,海里,B,处有一艘渔船遇险，在原地等候营救,.,信息中心马上把消息通知在其南偏西,30,、相距,20,海里,C,处乙船，现乙船朝北偏东,方向沿直线,CB,前往,B,处救援，则,cos,值为,_.,答案,解析,21/56,在,ABC,中，,AB,40,，,AC,20,，,BAC,120,，,由余弦定理得,由,ACB,30,，得,cos,cos(,ACB,30),22/56,思维升华,处理测量角度问题注意事项：,(1),首先应明确方位角或方向角含义；,(2),分析题意，分清已知与所求，再依据题意画出正确示意图，这是最关键、最主要一步；,(3),将实际问题转化为可用数学方法处理问题后，注意正弦、余弦定理,“,联袂,”,使用,.,23/56,跟踪训练,2,如图，某人在垂直于水平地面,ABC,墙面前点,A,处进行射击训练,.,已知点,A,到墙面距离为,AB,，某目标点,P,沿墙面上射线,CM,移动，此人为了准确瞄准目标点,P,，需计算由点,A,观察点,P,仰角,大,小,.,若,AB,15 m,，,AC,25 m,，,BCM,30,，则,tan,最大值是,_,(,仰角,为直线,AP,与平面,ABC,所成角,).,答案,解析,24/56,如图，过点,P,作,PO,BC,于点,O,，,连接,AO,，则,PAO,.,在,Rt,ABC,中，,AB,15 m,，,AC,25 m,，,所以,BC,20 m.,25/56,26/56,题型三三角形与三角函数综合问题,(1),求函数,f,(,x,),最小正周期和单调减区间；,解答,27/56,解答,28/56,可求得,bc,40.,29/56,思维升华,三角形与三角函数综合问题，要借助三角函数性质整体代换思想，数形结合思想，还要结合三角形中角范围，充分利用正弦定理、余弦定了解题,.,30/56,(1),求,f,(,x,),单调区间；,解答,31/56,(2),在锐角,ABC,中，角,A,，,B,，,C,对边分别为,a,，,b,，,c,.,若,0,，,a,1,，求,ABC,面积最大值,.,解答,由余弦定理,a,2,b,2,c,2,2,bc,cos,A,，,32/56,典例,(12,分,),某港口,O,要将一件主要物品用小艇送到一艘正在航行轮船上,.,在小艇出发时，轮船位于港口,O,北偏西,30,且与该港口相距,20,海里,A,处，并正以,30,海里,/,小时航行速度沿正东方向匀速行驶,.,假设该小艇沿直线方向以,v,海里,/,小时航行速度匀速行驶，经过,t,小时与轮船相遇,.,(1),若希望相遇时小艇航行距离最小，则小艇航行速度大小应为多少？,(2),假设小艇最高航行速度只能到达,30,海里,/,小时，试设计航行方案,(,即确定航行方向和航行速度大小,),，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由,.,函数思想在解三角形中应用,思想与方法系列,10,规范解答,思想方法指导,33/56,已知两边和其中一边对角解三角形时，能够设出第三边，利用余弦定理列方程求解；对于三角形中最值问题，可建立函数模型，转化为函数最值问题处理,.,返回,34/56,解,(1),设相遇时小艇航行距离为,S,海里，则,1,分,35/56,(2),设小艇与轮船在,B,处相遇,.,则,v,2,t,2,400,900,t,2,22030,t,cos(90,30),，,8,分,此时，在,OAB,中，有,OA,OB,AB,20.,11,分,故可设计航行方案以下：,航行方向为北偏东,30,，航行速度为,30,海里,/,小时,.12,分,返回,36/56,课时作业,37/56,1.,一艘海轮从,A,处出发，以每小时,40,海里速度沿南偏东,40,方向直线航行，,30,分钟后抵达,B,处，在,C,处有一座灯塔，海轮在,A,处观察灯塔，其方向是南偏东,70,，在,B,处观察灯塔，其方向是北偏东,65,，那么,B,，,C,两点间距离是,答案,解析,如图所表示，易知，在,ABC,中，,AB,20,，,CAB,30,，,ACB,45,，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,38/56,2.,在相距,2 km,A,，,B,两点处测量目标点,C,，若,CAB,75,，,CBA,60,，则,A,，,C,两点之间距离为,答案,解析,如图，在,ABC,中，由已知可得,ACB,45,，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,39/56,3.,一船向正北航行，看见正西方向相距,10,海里两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船南偏西,60,，另一灯塔在船南偏西,75,，则这艘船速度是每小时,答案,解析,如图所表示，依题意有,BAC,60,，,BAD,75,，,所以,CAD,CDA,15,，从而,CD,CA,10,，,在,Rt,ABC,中，得,AB,5,，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,40/56,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,4.,如图，两座相距,60 m,建筑物,AB,，,CD,高度分别为,20 m,，,50 m,，,BD,为水平面，则从建筑物,AB,顶端,A,看建筑物,CD,张角为,A.30 B.45C.60 D.75,答案,解析,41/56,又,CD,50,，所以在,ACD,中，,又,0,CAD,180,，所以,CAD,45,，,所以从顶端,A,看建筑物,CD,张角为,45.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,42/56,5.,如图所表示，测量河对岸塔高,AB,时能够选与塔底,B,在同一水平面内两个测点,C,与,D,，测得,BCD,15,，,BDC,30,，,CD,30,，并在点,C,测得塔顶,A,仰角为,60,，则塔高,AB,等于,答案,解析,在,BCD,中，,CBD,180,15,30,135.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,43/56,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,6.,一个大型喷水池中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出水柱高度，某人在喷水柱正西方向点,A,测得水柱顶端仰角为,45,，沿点,A,向北偏东,30,前进,100 m,抵达点,B,，在,B,点测得水柱顶端仰角为,30,，则水柱高度是,A.50 m B.100 mC.120 m D.150 m,答案,解析,44/56,设水柱高度是,h,m,，水柱底端为,C,，,在,ABC,中，,A,60,，,AC,h,，,AB,100,，,即,h,2,50,h,5 000,0,，即,(,h,50)(,h,100),0,，即,h,50,，,故水柱高度是,50 m.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,45/56,7.,江岸边有一炮台高,30 m,，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为,45,和,60,，而且两条船与炮台底部连线成,30,角，则两条船相距,_m.,答案,解析,如图，,OM,AO,tan 45,30(m),，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,在,MON,中，由余弦定理得,46/56,8.,如图，一艘船早晨,9,：,30,在,A,处测得灯塔,S,在它北偏东,30,处，之后它继续沿正北方向匀速航行，早晨,10,：,00,抵达,B,处，此时又测得灯塔,S,在它北偏东,75,处，且与它相距,n mile.,此船航速是,_ n mile/h.,答案,解析,32,设航速为,v,n mile/h,，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,47/56,9.,如图，某住宅小区平面图呈圆心角为,120,扇,形,AOB,，,C,是该小区一个出入口，且小区里有一条,平行于,AO,小路,CD,.,已知某人从,O,沿,OD,走到,D,用了,2,分钟，从,D,沿,DC,走到,C,用了,3,分钟,.,若此人步行速度为每分钟,50,米，则该扇形半径为,_,米,.,答案,解析,如图，连接,OC,，在,OCD,中，,OD,100,，,CD,150,，,CDO,60.,由余弦定理得,OC,2,100,2,150,2,2,100,150,cos 60,17 500,，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,48/56,*10.,在,Rt,ABC,中，,C,90,，,A,，,B,，,C,所正确边分别为,a,，,b,，,c,，且满足,a,b,cx,，则实数,x,取值范围是,_.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,49/56,11.,要测量电视塔,AB,高度，在,C,点测得塔顶,A,仰角是,45,，在,D,点测得塔顶,A,仰角是,30,，并测得水平面上,BCD,120,，,CD,40 m,，求电视塔高度,.,解答,如图，设电视塔,AB,高为,x,m,，,则在,Rt,ABC,中，由,ACB,45,，得,BC,x,.,在,BDC,中，由余弦定理得，,BD,2,BC,2,CD,2,2,BC,CD,cos 120,，,所以电视塔高为,40 m.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,50/56,(1),求,a,和,sin,C,值；,又由,b,c,2,，解得,b,6,，,c,4.,由,a,2,b,2,c,2,2,bc,cos,A,，可得,a,8.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,51/56,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,52/56,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,*13.,在海岸,A,处发觉北偏东,45,方向，距,A,处,(,1),海里,B,处有一艘走私船,.,在,A,处北偏西,75,方向，距,A,处,2,海里,C,处我方缉私船奉命以,10,海里,/,小时速度追截走私船，此时走私船正以,10,海里,/,小时速度从,B,处向北偏东,30,方向逃窜,.,问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间,.,解答,53/56,如图，设缉私船应沿,CD,方向行驶,t,小时，,才能最快截获走私船,(,在,D,点,),，,在,ABC,中，由余弦定理，得,BC,2,AB,2,AC,2,2,AB,AC,cos,A,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,54/56,ABC,45,，故,B,点在,C,点正东方向上，,CBD,90,30,120,，,BCD,30,，,缉私船沿北偏东,60,方向行驶,.,又在,BCD,中，,CBD,120,，,BCD,30,，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,55/56,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,缉私船应沿北偏东,60,方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要,15,分钟,.,56/56,