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,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1.4.1 曲边梯形面积与定积分,1/26,1.,曲边梯形,：,在直角坐标系中，由连续曲线,y,=,f,(,x,)，直线,x,=,a,、,x,=,b,及,x,轴所围成图形叫做曲边梯形。,O,x,y,a,b,y=f,(,x,),一.,求曲边梯形面积,x=a,x=b,2/26,y,=,f,(,x,),b,a,x,y,O,A,1,A,A,1,.,用一个矩形面积,A,1,近似代替曲边梯形面积,A,，,得,3/26,A,A,1,+,A,2,用两个矩形面积 近似代替曲边梯形面积,A,，得,y,=,f,(,x,),b,a,x,y,O,A,1,A,2,4/26,A,A,1,+,A,2,+,A,3,+,A,4,用四个矩形面积 近似代替曲边梯形面积,A,，得,y,=,f,(,x,),b,a,x,y,O,A,1,A,2,A,3,A,4,5/26,y,=,f,(,x,),b,a,x,y,O,A,A,1,+,A,2,+,+,A,n,将曲边梯形分成 n个小曲边梯形，并用小矩阵形面积代替小曲边梯形面积，于是曲边梯形面积,A,近似为,A,1,A,i,A,n,以直代曲,无限迫近,6/26,2曲边梯形面积,求曲边梯形面积即,求 下面积,分成很窄小曲边梯形，,然后用矩形面积代后求和。,若“梯形”很窄，,可近似地用矩形面积代替,在不很窄时怎么办？,以直代曲,7/26,例1.求抛物线,y,=,x,2,、直线,x,=1和,x,轴所围成曲边梯形,面积。,解:把底边0,1分成n等份,然后在每个分点作底边垂线,这么曲边三角形被分成n个窄条,用矩形来近似代替,然后把这些小矩形面积加起来,得到一个近似值:,所以,我们有理由相信,这个曲边三角形面积为:,8/26,小结:,求由连续曲线,y,=,f,(,x,)对应,曲边梯形,面积方法,有理由相信，分点越来越密时，即分割越来越细时，矩形面积和极限即为曲边形面积。,（1）,分割,（2）,近似代替,把这些矩形面积相加,作为整个曲边形面积S,近似值。,（4）,取极限,(3)求和,9/26,3.求由连续曲线,y,=,f,(,x,)对应,曲边梯形,面积方法,(2),以直代曲:,任取,x,i,x,i,-,1,x,i,，第,i,个小曲边梯形面积用高为,f,(,x,i,),宽为,D,x,小矩形面积,f,(,x,i,),D,x,近似地去代替.,(4),迫近:,所求曲边,梯形面积,S,为,(3),作和:,取,n,个小矩形面积和作为曲边梯形面积,S,近似值：,x,i-1,y,=,f,(,x,),x,y,O,b,a,x,i,x,i,(1),分割:,在区间,a,b,上等间隔地插入n-1个点,将它等分成,n个小区间:,每个小区间宽度x,10/26,假如当n,+,时，,S,n,就无限靠近于某个常数，,这个常数为函数,f,(,x,)在区间,a,b,上定积分，记作,从求曲边梯形面积S过程中能够看出,经过,“,四个步骤,”,:,分割,-,以直代曲-求和-迫近.,11/26,设函数,f(x),在区间,a,b,上有定义,将区间,a,b,分,成,n,个小区间,每个小区间长度为,x,i,记,为这些小区间长度最大者，当,趋近于0时，全部小区间长度都趋近于0.,在每个区间上取一点,依次为,1,2,i,n,.作和,I,n,=f,(,1,),x,1,+f,(,2,),x,2,+f,(,i,),x,i,+f,(,n,),x,n,假如,无限趋近于0(亦即,n,趋向于+,)时,I,n,无限趋近,于常数,S,那么称该常数为函数,f,(,x,)在区间,a,b,上定,积分，记作,二、定积分定义,12/26,被积函数,被积表示式,积分变量,积分下限,积分上限,13/26,定积分相关名称：,叫做积分号，,f,(,x,),dx,叫做被积表示式，,f,(,x,)叫做被积函数,x,叫做积分变量，,a,叫做积分下限，,b,叫做积分上限，,a,b,叫做积分区间。,被积函数,被积表示式,积分变量,积分下限,积分上限,14/26,按定积分定义，有,(1)由连续曲线,y,=,f,(,x,)(,f,(,x,),0)，直线,x,=,a,、,x,=,b,及,x,轴所围成曲边梯形面积为,(2)设物体运动速度,v,=,v,(,t,)，则此物体在时间区间,a,b,内运动距离,s,为,(3)设物体在变力,F,=,F,(,r,)方向上有位移r，则,F,在位移区间,a,b,内所做功,W,为,15/26,1,x,y,O,f(x),=,x,2,16/26,说明：,(1)定积分是一个数值,它只与被积函数及积分区间相关，,而与积分变量记法无关，即,17/26,三.定积分几何意义：,O,x,y,a,b,y,f,(,x,),x,=,a,、,x,=,b,与,x,轴所围成曲边梯形面积。,18/26,当,f,(,x,),0时，由,y,f,(,x,)、,x,a,、,x,b,与,x,轴所围成曲边梯形位于,x,轴下方，,x,y,O,=-,a,b,y,f,(,x,),y,-,f,(,x,),=-,S,上述曲边梯形面积负值。,定积分几何意义：,=-,S,19/26,定积分几何意义：,在区间a,b上曲线与x轴所围成图形面积代数和(x轴上方面积为正，x轴下方面积为负).,-4,6,5,O,x,y,A,B,20/26,例：计算以下定积分.,第（1）-（5）小题可用定积分几何意义求解。第（6）小题现在只能用定积分定义求，很繁，等下节学了牛顿-莱布尼兹公式再做。,21/26,课堂练习,书本P39练习A.1，3，4,22/26,四.,定积分基本性质,性质1.,性质2.,23/26,四.,定积分基本性质,定积分关于积分区间含有,可加性,性质3.,O,x,y,a,b,y,f,(,x,),24/26,a,b,y,f,(,x,),O,x,y,探究:,依据定积分几何意义,怎样用定积分表示图中阴影部分面积?,a,b,y,f,(,x,),O,x,y,25/26,说明,本课件是依据网上老师们作品结合新课标教材改编而成。,26/26,
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