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高中数学第一章导数及其应用1.4.1曲边梯形的面积与定积分笔记省公开课一等奖新名师优质课获奖PPT课.pptx

1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1.4.1 曲边梯形面积与定积分,1/26,1.,曲边梯形,:,在直角坐标系中,由连续曲线,y,=,f,(,x,),直线,x,=,a,、,x,=,b,及,x,轴所围成图形叫做曲边梯形。,O,x,y,a,b,y=f,(,x,),一.,求曲边梯形面积,x=a,x=b,2/26,y,=,f,(,x,),b,a,x,y,O,A,1,A,A,

2、1,.,用一个矩形面积,A,1,近似代替曲边梯形面积,A,,,得,3/26,A,A,1,+,A,2,用两个矩形面积 近似代替曲边梯形面积,A,,得,y,=,f,(,x,),b,a,x,y,O,A,1,A,2,4/26,A,A,1,+,A,2,+,A,3,+,A,4,用四个矩形面积 近似代替曲边梯形面积,A,,得,y,=,f,(,x,),b,a,x,y,O,A,1,A,2,A,3,A,4,5/26,y,=,f,(,x,),b,a,x,y,O,A,A,1,+,A,2,+,+,A,n,将曲边梯形分成 n个小曲边梯形,并用小矩阵形面积代替小曲边梯形面积,于是曲边梯形面积,A,近似为,A,1,A,i,A

3、n,以直代曲,无限迫近,6/26,2曲边梯形面积,求曲边梯形面积即,求 下面积,分成很窄小曲边梯形,,然后用矩形面积代后求和。,若“梯形”很窄,,可近似地用矩形面积代替,在不很窄时怎么办?,以直代曲,7/26,例1.求抛物线,y,=,x,2,、直线,x,=1和,x,轴所围成曲边梯形,面积。,解:把底边0,1分成n等份,然后在每个分点作底边垂线,这么曲边三角形被分成n个窄条,用矩形来近似代替,然后把这些小矩形面积加起来,得到一个近似值:,所以,我们有理由相信,这个曲边三角形面积为:,8/26,小结:,求由连续曲线,y,=,f,(,x,)对应,曲边梯形,面积方法,有理由相信,分点越来越密时,即分

4、割越来越细时,矩形面积和极限即为曲边形面积。,(1),分割,(2),近似代替,把这些矩形面积相加,作为整个曲边形面积S,近似值。,(4),取极限,(3)求和,9/26,3.求由连续曲线,y,=,f,(,x,)对应,曲边梯形,面积方法,(2),以直代曲:,任取,x,i,x,i,-,1,x,i,,第,i,个小曲边梯形面积用高为,f,(,x,i,),宽为,D,x,小矩形面积,f,(,x,i,),D,x,近似地去代替.,(4),迫近:,所求曲边,梯形面积,S,为,(3),作和:,取,n,个小矩形面积和作为曲边梯形面积,S,近似值:,x,i-1,y,=,f,(,x,),x,y,O,b,a,x,i,x,i

5、1),分割:,在区间,a,b,上等间隔地插入n-1个点,将它等分成,n个小区间:,每个小区间宽度x,10/26,假如当n,+,时,,S,n,就无限靠近于某个常数,,这个常数为函数,f,(,x,)在区间,a,b,上定积分,记作,从求曲边梯形面积S过程中能够看出,经过,“,四个步骤,”,:,分割,-,以直代曲-求和-迫近.,11/26,设函数,f(x),在区间,a,b,上有定义,将区间,a,b,分,成,n,个小区间,每个小区间长度为,x,i,记,为这些小区间长度最大者,当,趋近于0时,全部小区间长度都趋近于0.,在每个区间上取一点,依次为,1,2,i,n,.作和,I,n,=f,(,1,),x,

6、1,+f,(,2,),x,2,+f,(,i,),x,i,+f,(,n,),x,n,假如,无限趋近于0(亦即,n,趋向于+,)时,I,n,无限趋近,于常数,S,那么称该常数为函数,f,(,x,)在区间,a,b,上定,积分,记作,二、定积分定义,12/26,被积函数,被积表示式,积分变量,积分下限,积分上限,13/26,定积分相关名称:,叫做积分号,,f,(,x,),dx,叫做被积表示式,,f,(,x,)叫做被积函数,x,叫做积分变量,,a,叫做积分下限,,b,叫做积分上限,,a,b,叫做积分区间。,被积函数,被积表示式,积分变量,积分下限,积分上限,14/26,按定积分定义,有,(1)由连续曲线

7、y,=,f,(,x,)(,f,(,x,),0),直线,x,=,a,、,x,=,b,及,x,轴所围成曲边梯形面积为,(2)设物体运动速度,v,=,v,(,t,),则此物体在时间区间,a,b,内运动距离,s,为,(3)设物体在变力,F,=,F,(,r,)方向上有位移r,则,F,在位移区间,a,b,内所做功,W,为,15/26,1,x,y,O,f(x),=,x,2,16/26,说明:,(1)定积分是一个数值,它只与被积函数及积分区间相关,,而与积分变量记法无关,即,17/26,三.定积分几何意义:,O,x,y,a,b,y,f,(,x,),x,=,a,、,x,=,b,与,x,轴所围成曲边梯形面积。,

8、18/26,当,f,(,x,),0时,由,y,f,(,x,)、,x,a,、,x,b,与,x,轴所围成曲边梯形位于,x,轴下方,,x,y,O,=-,a,b,y,f,(,x,),y,-,f,(,x,),=-,S,上述曲边梯形面积负值。,定积分几何意义:,=-,S,19/26,定积分几何意义:,在区间a,b上曲线与x轴所围成图形面积代数和(x轴上方面积为正,x轴下方面积为负).,-4,6,5,O,x,y,A,B,20/26,例:计算以下定积分.,第(1)-(5)小题可用定积分几何意义求解。第(6)小题现在只能用定积分定义求,很繁,等下节学了牛顿-莱布尼兹公式再做。,21/26,课堂练习,书本P39练习A.1,3,4,22/26,四.,定积分基本性质,性质1.,性质2.,23/26,四.,定积分基本性质,定积分关于积分区间含有,可加性,性质3.,O,x,y,a,b,y,f,(,x,),24/26,a,b,y,f,(,x,),O,x,y,探究:,依据定积分几何意义,怎样用定积分表示图中阴影部分面积?,a,b,y,f,(,x,),O,x,y,25/26,说明,本课件是依据网上老师们作品结合新课标教材改编而成。,26/26,

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