第四节函数的单调性和曲线的凹凸性省公开课金奖全国赛课一等奖微课获奖PPT课件.pptx

,高等数学电子教案,武汉科技学院数理系,第四节 函数单调性和曲线凹凸性,一、函数单调性之判定,在图象中我们发觉上升函数导数大于0,而下降函数,导数小于0,可见,函数单调性与函数导数符号相关.,x,y,Y=f(x),a,b,x,Y=f(x),a,b,y,1/19,定理1,设函数f(x)在闭区间a,b上连续,在开区间(a,b),内可导,则f(x)在a,b上单调上升(下降),充分必要条件是在(a,b)内f,(x),0(0),即,在a,b上f(x)单调上升,在(a,b)内f,(x),0;,在a,b上f(x)单调下降,在(a,b)内f,(x),0;.,证实:我们只证实单调上升情况,必要性,设在a,b上f(x)单调上升,任意取一点,x,0,(a,b),及x a,b,不论xx0还是xx0,因为f(x),单调上升,都有,2/19,x,y,Y=f(x),a,b,x,x,0,x,又函数在(a,b)内可导,f,(x,0,)存,在,对它取极限得到,由x,0,任意性,知必要性成立.,充分性.设在(a,b)内f,(x),0,再设x,1,x,2,是a,b内任意两点,设x,1,0,在a,b上f(x)严格单调上升.,(2)在(a,b)内f,(x),0,则f(x)在a,b上图形是凹,(2)若在(a,b)内f”(x)0,则f(x)在a,b上图形是凸.,证实:在(1)情况,设x,1,和x,2,是a,b内任意两点,且x,1,0)凹凸性,例2 讨论函数y=sinx在其一个周期(0,2,)内凹凸性,sinx在(0,)内上凸,在(,2)内上凹.,x,y,x,y,x,y,Y=lnx,记忆方法,解:,是上凸,解:,11/19,二 拐 点,在y=sinx曲线中,当x=,时,其左邻域为上凸(y,”,0).它是曲线凹凸性,分界点称为拐点,x,y=sinx,y,定义2 曲线f(x)向上凸部分与向下凹部分分解点称,为该曲线拐点.,12/19,定理3,(必要条件)若函数f(x)在(a,b)上二阶可导,则曲线,f(x)上点(x0,f(x0)为拐点必要条件是f”(x,0,)=0,可能拐点只有两种情况:,(1)它是方程f”(x0)=0根,(2)它f”(x)不存在点,即函数f(x)二阶不可导点.,(判别 时看左右两边是否变号).,13/19,例3 求以下曲线拐点,解:,则1，3可能是,拐点,曲线是凹,曲线是凸,曲线是凹,14/19,当x0,当x0,y“0,即在x=0左,右两边y“变号,表示它是拐点.,所以在两阶导数不存在时,需要用它左右是否变号来,分析它拐点.,没有使y,“,(x)=0点,但当x=0时y,“,不存在,点(0,0)可能是拐点.,y,x,x=1,x=3是曲线,拐点.,x,y,15/19,三 渐 近 线,x,y,y=f(x),y=kx+b,p,M,N,Q,1，斜渐近线 y=kx+b,p是动点,它到直线L距离,定义3 若曲线s上动点p,沿着曲线无限地远离原点时,点,p与某一固定直线L之间距离,趋近于0,则称直线L为曲线s渐近线.,16/19,L,p,N,M,假如已知曲线y=f(x),由(2)求出k,由(1)求出b,得到直线方程y=kx+b,17/19,2，水平渐近线y=b,3,竖直渐近线x=a,当由(2)求出k=0时,这时,在这时,动点p距离原点将越来越远,渐近线是y=kx+b,则b=f(x)-kx极限,k=f(x)/x极限,渐近线是y=b,则k=0,所以b是x时f(x)极限.,渐近线是x=a,则k为无穷大,f(x)极限为无穷大.,18/19,例4 求曲线渐近线,解:,所以x=1是曲线竖直渐近线,是曲线斜渐近线,19/19,