高考数学复习第八章立体几何8.7立体几何中的向量方法市赛课公开课一等奖省名师优质课获奖PPT课件.pptx

8.7,立体几何中向量方法,1/79,基础知识自主学习,课时训练,题型分类深度剖析,内容索引,2/79,基础知识自主学习,3/79,1.,直线方向向量与平面法向量确实定,(1),直线方向向量：在直线上任取一,向量作为它方向向量,.,(2),平面法向量可利用方程组求出：设,a,，,b,是平面,内两不共线向量，,n,为平面,法向量，则求法向量方程组为,知识梳理,非零,4/79,2.,用向量证实空间中平行关系,(1),设直线,l,1,和,l,2,方向向量分别为,v,1,和,v,2,，则,l,1,l,2,(,或,l,1,与,l,2,重合,),_,.,(2),设直线,l,方向向量为,v,，与平面,共面两个不共线向量,v,1,和,v,2,，则,l,或,l,.,(3),设直线,l,方向向量为,v,，平面,法向量为,u,，则,l,或,l,.,(4),设平面,和,法向量分别为,u,1,，,u,2,，则,.,v,1,v,2,存在两个实数,x,，,y,，使,v,x,v,1,y,v,2,v,u,u,1,u,2,5/79,3.,用向量证实空间中垂直关系,(1),设直线,l,1,和,l,2,方向向量分别为,v,1,和,v,2,，则,l,1,l,2,0.,(2),设直线,l,方向向量为,v,，平面,法向量为,u,，则,l,.,(3),设平面,和,法向量分别为,u,1,和,u,2,，则,.,v,1,v,2,v,1,v,2,v,u,u,1,u,2,u,1,u,2,0,6/79,4.,两条异面直线所成角求法,设,a,，,b,分别是两异面直线,l,1,，,l,2,方向向量，则,l1与l2所成角,a与b夹角,范围,(0,，,0,，,求法,cos,cos,7/79,5.,直线与平面所成角求法,设直线,l,方向向量为,a,，平面,法向量为,n,，直线,l,与平面,所成角为,，,a,与,n,夹角为,，则,sin,|cos,|,.,6.,求二面角大小,(1),如图,，,AB,，,CD,分别是二面角,l,两个面内与棱,l,垂直直线，则二面角大小,_.,8/79,(2),如图,，,n,1,，,n,2,分别是二面角,l,两个半平面,，,法向量，则二面角大小,满足,|cos,|,，二面角平面角大小是向量,n,1,与,n,2,夹角,(,或其补角,).,|cos,n,1,，,n,2,|,9/79,判断以下结论是否正确,(,请在括号中打,“”,或,“”,),(1),平面单位法向量是唯一确定,.(,),(2),若两平面法向量平行，则两平面平行,.(,),(3),若两直线方向向量不平行，则两直线不平行,.(,),(4),直线方向向量和平面法向量所成角就是直线与平面所成角,.(,),思索辨析,10/79,(5),两异面直线夹角范围是,(0,，,，直线与平面所成角范围是,0,，,，二面角范围是,0,，,.,(,),(6),若二面角,a,两个半平面,，,法向量,n,1,，,n,2,所成角为,，则二面角,a,大小是,.(,),11/79,考点自测,答案,解析,12/79,2.(,杭州模拟,),如图，在空间直角坐标系中,有直三棱柱,ABC,A,1,B,1,C,1,，,CA,CC,1,2,CB,，,则直线,BC,1,与直线,AB,1,所成角余弦值为,答案,解析,13/79,3.(,教材改编,),设,u,，,v,分别是平面,，,法向量，,u,(,2,2,5),，当,v,(3,，,2,2),时，,与,位置关系为,_,；当,v,(4,，,4,，,10),时，,与,位置关系为,_.,当,v,(3,，,2,2),时，,u,v,(,2,2,5)(3,，,2,2),0,.,当,v,(4,，,4,，,10),时，,v,2,u,.,答案,解析,14/79,4.(,教材改编,),如图所表示，在正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，,O,是底面正方形,ABCD,中心，,M,是,D,1,D,中点，,N,是,A,1,B,1,中点，则直线,ON,，,AM,位置关系是,_.,垂直,答案,解析,15/79,题型分类深度剖析,16/79,题型一利用空间向量证实平行问题,例,1,(,重庆模拟,),如图所表示，平面,PAD,平面,ABCD,，,ABCD,为正方形，,PAD,是直角三角形，且,PA,AD,2,，,E,，,F,，,G,分别是线段,PA,，,PD,，,CD,中点,.,求证：,PB,平面,EFG,.,证实,17/79,平面,PAD,平面,ABCD,，,ABCD,为正方形，,PAD,是直角三角形，且,PA,AD,，,AB,，,AP,，,AD,两两垂直，以,A,为坐标原点，,建立如图所表示空间直角坐标系,Axyz,，,则,A,(0,0,0),，,B,(2,，,0,0),，,C,(2,2,0),，,D,(0,2,0),，,P,(0,，,0,2),，,E,(0,0,1),，,F,(0,1,1),，,G,(1,，,2,0).,18/79,19/79,引申探究,本例中条件不变，证实平面,EFG,平面,PBC,.,证实,又,EF,平面,PBC,，,BC,平面,PBC,，,EF,平面,PBC,，,同理可证,GF,PC,，从而得出,GF,平面,PBC,.,又,EF,GF,F,，,EF,平面,EFG,，,GF,平面,EFG,，,平面,EFG,平面,PBC,.,20/79,(1),恰当建立空间直角坐标系，准确表示各点与相关向量坐标，是利用向量法证实平行和垂直关键,.,(2),证实直线与平面平行，只需证实直线方向向量与平面法向量数量积为零，或证直线方向向量与平面内不共线两个向量共面，或证直线方向向量与平面内某直线方向向量平行，然后说明直线在平面外即可,.,这么就把几何证实问题转化为向量运算,.,思维升华,21/79,跟踪训练,1,(,北京海淀区模拟,),正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，,M,，,N,分别是,C,1,C,，,B,1,C,1,中点,.,求证：,MN,平面,A,1,BD,.,证实,22/79,如图所表示，以,D,为坐标原点，,DA,，,DC,，,DD,1,所在直线分别为,x,轴、,y,轴、,z,轴建立空间直角坐标系,.,设正方体棱长为,1,，,设平面,A,1,BD,法向量为,n,(,x,，,y,，,z,),，,23/79,取,x,1,，得,y,1,，,z,1.,所以,n,(1,，,1,，,1).,又,MN,平面,A,1,BD,，所以,MN,平面,A,1,BD,.,24/79,题型二利用空间向量证实垂直问题,例,2,(,绍兴模拟,),如图，在多面体,ABC,A,1,B,1,C,1,中，,四边形,A,1,ABB,1,是正方形，,AB,AC,，,BC,AB,，,B,1,C,1,綊,BC,，二面角,A,1,AB,C,是直二面角,.,求证：,(1),A,1,B,1,平面,AA,1,C,；,证实,25/79,二面角,A,1,AB,C,是直二面角，四边形,A,1,ABB,1,为正方形，,AA,1,平面,BAC,.,又,AB,AC,，,BC,AB,，,CAB,90,，即,CA,AB,，,AB,，,AC,，,AA,1,两两相互垂直,.,建立如图所表示空间直角坐标系，点,A,为坐标原点，,设,AB,2,，则,A,(0,0,0),，,B,1,(0,2,2),，,A,1,(0,0,2),，,C,(2,0,0),，,C,1,(1,1,2),，,26/79,27/79,(2),AB,1,平面,A,1,C,1,C,.,证实,28/79,思维升华,证实垂直问题方法,(1),利用已知线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点坐标，从而将几何证实转化为向量运算,.,其中灵活建系是解题关键,.,(2),其一证实直线与直线垂直，只需要证实两条直线方向向量垂直；其二证实线面垂直，只需证实直线方向向量与平面内不共线两个向量垂直即可，当然,，也可证直线方向向量与平面法向量平行；,其三证实面面垂直：,证实两平面法向量相互垂直；,利用面面垂直判定定理，只要能证实一个平面内一条直线方向向量为另一个平面法向量即可,.,29/79,跟踪训练,2,(,宁波模拟,),如图，在四棱锥,P,ABCD,中，底面,ABCD,是边长为,a,正方形，侧面,PAD,底面,ABCD,，且,PA,PD,AD,，设,E,，,F,分别为,PC,，,BD,中点,.,(1),求证：,EF,平面,PAD,；,证实,30/79,如图，取,AD,中点,O,，连接,OP,，,OF,.,因为,PA,PD,，所以,PO,AD,.,因为侧面,PAD,底面,ABCD,，,平面,PAD,平面,ABCD,AD,，,所以,PO,平面,ABCD,.,又,O,，,F,分别为,AD,，,BD,中点，所以,OF,AB,.,又,ABCD,是正方形，所以,OF,AD,.,31/79,所以,OF,EF,，又因为,EF,平面,PAD,，,所以,EF,平面,PAD,.,以,O,为原点，,OA,，,OF,，,OP,所在直线分别为,x,轴，,y,轴，,z,轴建立空间,32/79,(2),求证：平面,PAB,平面,PDC,.,证实,所以,PA,CD,.,又,PA,PD,，,PD,CD,D,，,PD,平面,PDC,，,CD,平面,PDC,，,所以,PA,平面,PDC,.,又,PA,平面,PAB,，所以平面,PAB,平面,PDC,.,33/79,题型三利用空间向量求空间角,命题点,1,求直线和平面所成角,例,3,(,杭州二中月考,),如图,1,，,在,Rt,ACB,中，,C,90,，,BC,3,，,AC,6,，,D,，,E,分别是,AC,，,AB,上点，,且,DE,BC,，,DE,2,，将,ADE,沿,DE,折起到,A,1,DE,位置，使,A,1,C,CD,，如图,2.,(1),求证：,A,1,C,平面,BCDE,；,证实,34/79,因为,C,90,，,DE,BC,，,所以,BC,CD,，,BC,A,1,D,，,因为,CD,A,1,D,D,，,CD,平面,A,1,CD,，,A,1,D,平面,A,1,CD,，,所以,BC,平面,A,1,CD,，,因为,A,1,C,平面,A,1,CD,，所以,BC,A,1,C,，,DE,A,1,C,，,又,A,1,C,CD,，,CD,BC,C,，,CD,DE,D,，,DE,BC,，,所以,A,1,C,平面,BCDE,.,35/79,(2),若,M,是,A,1,D,上点，试确定点,M,位置，使得直线,CM,与平面,A,1,BE,所,成角正弦值为,.,解答,36/79,以,C,为原点，以,CB,，,CD,，,CA,1,所在直线为,x,轴，,y,轴，,z,轴建立空间直,37/79,所以,M,为线段,A,1,D,(,靠近点,A,1,),四分之一处点或三分之二处点,.,38/79,命题点,2,求二面角,例,4,已知点,E,，,F,分别在正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,棱,BB,1,，,CC,1,上，且,B,1,E,2,EB,，,CF,2,FC,1,，则平面,AEF,与平面,ABCD,所成二面角正切,值为,_.,答案,解析,39/79,如图，建立空间直角坐标系,Dxyz,，设,DA,1,，由已知条件得,设平面,AEF,法向量为,n,(,x,，,y,，,z,),，,平面,AEF,与平面,ABCD,所成二面角为,，由图知,为锐角，,40/79,令,y,1,，则,z,3,，,x,1,，即,n,(,1,1,，,3),，,取平面,ABCD,法向量为,m,(0,0,，,1),，,41/79,利用向量法求空间角方法,(1),先求出直线方向向量和平面法向量，将求空间角转化为求两个向量夹角,.,(2),利用数量积求向量夹角，然后依据和所求角关系得到空间角，但要注意所求角大小,.,思维升华,42/79,跟踪训练,3,(,全国丙卷,),如图，,四棱锥,P,-,ABCD,中，,PA,底面,ABCD,，,AD,BC,，,AB,AD,AC,3,，,PA,BC,4,，,M,为线段,AD,上一点，,AM,2,MD,，,N,为,PC,中点,.,(1),证实,MN,平面,PAB,；,证实,取,BP,中点,T,，连接,AT,，,TN,，由,N,为,PC,中点知,TN,BC,，,TN,BC,2.,又,AD,BC,，故,TN,綊,AM,，,四边形,AMNT,为平行四边形，于是,MN,AT,.,因为,AT,平面,PAB,，,MN,平面,PAB,，所以,MN,平面,PAB,.,43/79,(2),求直线,AN,与平面,PMN,所成角正弦值,.,解答,44/79,取,BC,中点,E,，连接,AE,.,由,AB,AC,得,AE,BC,，,设,n,(,x,，,y,，,z,),为平面,PMN,法向量，,建立如图所表示空间直角坐标系,Axyz,.,45/79,46/79,典例,(14,分,)(,吉林试验中学月考,),如图,1,所表示，,正,ABC,边长为,4,，,CD,是,AB,边上高，,E,，,F,分别,是,AC,和,BC,边中点，现将,ABC,沿,CD,翻折成直二面,角,A,DC,B,，如图,2,所表示,.,(1),试判断直线,AB,与平面,DEF,位置关系，并说明理由；,(2),求二面角,E,DF,C,余弦值；,(3),在线段,BC,上是否存在一点,P,，使,AP,DE,？证实你结论,.,利用向量法处理立体几何问题,思想与方法系列,21,规范解答,思想方法指导,47/79,对于较复杂立体几何问题可采取向量法,(1),用向量法处理立体几何问题，是空间向量一个详细应用，表达了向量工具性，这种方法可把复杂推理证实、辅助线作法转化为空间向量运算，降低了空间想象演绎推理难度，表达了由,“,形,”,转,“,数,”,转化思想,.,(2),两种思绪：,选好基底，用向量表示出几何量，利用空间向量相关定理与向量线性运算进行判断,.,建立空间直角坐标系，进行向量坐标运算，依据运算结果几何意义解释相关问题,.,返回,48/79,(1),AB,平面,DEF,，理由以下：,在,ABC,中，由,E,，,F,分别是,AC,，,BC,中点，得,EF,AB,.,又,AB,平面,DEF,，,EF,平面,DEF,，,AB,平面,DEF,.,2,分,(2),以,D,为原点，建立如图所表示空间直角坐标系，,则,A,(0,0,2),，,B,(2,0,0),，,C,(0,2,，,0),，,E,(0,，,，,1),，,F,(1,，,，,0),，,3,分,易知平面,CDF,法向量为,(0,0,2),，,设平面,EDF,法向量为,n,(,x,，,y,，,z,),，,49/79,50/79,返回,51/79,课时训练,52/79,1.(,西安质检,),若平面,，,法向量分别是,n,1,(2,，,3,5),，,n,2,(,3,1,，,4),，则,A.,B.,C.,，,相交但不垂直,D.,以上答案均不正确,n,1,n,2,2,(,3),(,3),1,5,(,4),0,，,n,1,与,n,2,不垂直，且不共线,.,与,相交但不垂直,.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,53/79,2.,已知平面,内有一点,M,(1,，,1,2),，平面,一个法向量为,n,(6,，,3,6),，则以下点,P,中，在平面,内是,A.,P,(2,3,3)B.,P,(,2,0,1),C.,P,(,4,4,0)D.,P,(3,，,3,4),答案,解析,点,P,在平面,内，同理可验证其它三个点不在平面,内,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,54/79,答案,解析,AB,与平面,CDE,平行或在平面,CDE,内,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,55/79,4.,设,u,(,2,2,，,t,),，,v,(6,，,4,4),分别是平面,，,法向量,.,若,，则,t,等于,A.3 B.4 C.5 D.6,，,则,u,v,2,6,2,(,4),4,t,0,，,t,5.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,56/79,5.(,泰安模拟,),如图所表示，在正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，棱长为,a,，,M,，,N,分,别为,A,1,B,和,AC,上点，,A,1,M,AN,，,则,MN,与平面,BB,1,C,1,C,位置关系是,A.,斜交,B.,平行,C.,垂直,D.,MN,在平面,BB,1,C,1,C,内,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,57/79,建立如图所表示空间直角坐标系，,又,MN,平面,BB,1,C,1,C,，所以,MN,平面,BB,1,C,1,C,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,58/79,6.,在正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，点,E,为,BB,1,中点，则平面,A,1,ED,与平面,ABCD,所成锐二面角余弦值为,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,59/79,以,A,为原点建立如图所表示空间直角坐标系,Axyz,，,设平面,A,1,ED,一个法向量为,n,1,(1,，,y,，,z,),，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,60/79,平面,ABCD,一个法向量为,n,2,(0,0,1),，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,61/79,7.(,广州质检,),已知平面,内三点,A,(0,0,1),，,B,(0,1,0),，,C,(1,0,0),，平面,一个法向量,n,(,1,，,1,，,1),，则不重合两个平面,与,位置关系是,_.,答案,解析,设平面,法向量为,m,(,x,，,y,，,z,),，,m,(1,1,1),，,m,n,，,m,n,，,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,62/79,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,63/79,1,9.,如图，正方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,棱长为,1,，,E,，,F,分别是棱,BC,，,DD,1,上点，假如,B,1,E,平面,ABF,，,则,CE,与,DF,和值为,_.,答案,解析,以,D,1,为原点，,D,1,A,1,，,D,1,C,1,，,D,1,D,所在直线分别为,x,，,y,，,z,轴建立空间直角坐标系，设,CE,x,，,DF,y,，,则易知,E,(,x,1,1),，,B,1,(1,1,0),，,F,(0,0,1,y,),，,B,(1,1,1),，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,64/79,*10.,如图，圆锥轴截面,SAB,是边长为,2,等边三角形，,O,为底面中心，,M,为,SO,中点，动点,P,在圆锥底面内,(,包含圆周,).,若,AM,MP,，则点,P,形成轨迹长度为,_.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,65/79,由题意可知，建立空间直角坐标系，如图所表示,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,66/79,11.(,泉州模拟,),如图所表示，已知直三棱柱,ABC,A,1,B,1,C,1,中，,ABC,为等腰直角三角形，,BAC,90,，且,AB,AA,1,，,D,，,E,，,F,分别为,B,1,A,，,C,1,C,，,BC,中点,.,求证：,(1),DE,平面,ABC,；,证实,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,67/79,以,A,为坐标原点，,AB,，,AC,，,AA,1,所在直线为,x,轴，,y,轴，,z,轴，建立如图所表示空间直角坐标系,Axyz,，,令,AB,AA,1,4,，,则,A,(0,0,0),，,E,(0,4,2),，,F,(2,2,0),，,B,(4,0,0),，,B,1,(4,0,4).,取,AB,中点为,N,，连接,CN,，,则,N,(2,0,0),，,C,(0,4,0),，,D,(2,0,2),，,(,2,4,0),，,(,2,4,0),，,，,DE,NC,，,又,NC,平面,ABC,，,DE,平面,ABC,.,故,DE,平面,ABC,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,68/79,(2),B,1,F,平面,AEF,.,证实,又,AF,EF,F,，,AF,平面,AEF,，,EF,平面,AEF,，,B,1,F,平面,AEF,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,69/79,12.(,杭州模拟,),在平面四边形,ABCD,中，,AB,BD,CD,1,，,AB,BD,，,CD,BD,.,将,ABD,沿,BD,折起，使得平面,ABD,平面,BCD,，,如图所表示,.,(1),求证：,AB,CD,；,证实,平面,ABD,平面,BCD,，平面,ABD,平面,BCD,BD,，,AB,平面,ABD,，,AB,BD,，,AB,平面,BCD,.,又,CD,平面,BCD,，,AB,CD,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,70/79,(2),若,M,为,AD,中点，求直线,AD,与平面,MBC,所成角正弦值,.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,71/79,过点,B,在平面,BCD,内作,BE,BD,，如图所表示,.,由,(1),知,AB,平面,BCD,，,BE,平面,BCD,，,BD,平面,BCD,.,为,x,轴，,y,轴，,z,轴正方向建立空间直角坐标系,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,72/79,设平面,MBC,法向量,n,(,x,0,，,y,0,，,z,0,),，,取,z,0,1,，得平面,MBC,一个法向量,n,(1,，,1,1).,设直线,AD,与平面,MBC,所成角为,，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,73/79,*13.(,嘉兴二模,),如图，长方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，,AB,2,，,BC,CC,1,1,，点,P,是,CD,上一点，,PC,PD,.,(1),若,A,1,C,平面,PBC,1,，求,值；,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,74/79,方法一,A,1,C,BC,1,，,若,A,1,C,PB,，则,A,1,C,平面,PBC,1,，只需,A,1,C,PB,即可，,方法二,建立如图所表示空间直角坐标系,Oxyz,，,则,B,(1,2,0),，,C,1,(0,2,1),，,A,1,(1,0,1),，,C,(0,2,0),，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,75/79,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,76/79,(2),设,1,1,，,2,3,所对应点,P,为,P,1,，,P,2,，二面角,P,1,BC,1,P,2,大小为,，求,cos,值,.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,77/79,方法一,过点,C,作,CH,BC,1,交,BC,1,于点,H,，连接,P,1,H,，,P,2,H,(,图略,),，则,P,1,HP,2,就是所求二面角一个平面角,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,78/79,设平面,BC,1,P,1,与平面,BC,1,P,2,法向量分别是,n,1,，,n,2,，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,79/79,