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,第2课时,导数运算法则,1/65,2/65,主题导数运算法则,1.试依据导数定义,写出以下函数导数.,(1)若F(x)=x+x,2,则F(x)=_.,(2)若F(x)=x-x,2,则F(x)=_.,(3)若F(x)=x,3,则F(x)=_.,3/65,提醒:,(1)F(x)=,答案:,1+2x,4/65,(2)F(x)=,=(1-2x-x)=1-2x.,答案:,1-2x,(3)F(x)=,3x,x+3x,2,+(x),2,=3x,2,.,答案:,3x,2,5/65,2.问题1中,若令f(x)=x,g(x)=x,2,则F(x)导数与f(x),g(x)导数各有什么关系?,提醒:,因为f(x)=1,g(x)=2x,故(1)中F(x)=f(x)+g(x),(2)中F(x)=f(x)-g(x),(3)中F(x)=f(x),g(x)+f(x),g(x).,6/65,结论:,(1)f(x)g(x,)=_.,(2)f(x)g(x)=_.,(3)=_.,(4)cf(x)=_.,f(x)g(x),f(x)g(x)+f(x)g(x),cf(x),7/65,【微思索】,1.在导数运算法则中,函数f(x),g(x)一定有导函数吗?,提醒,:,一定有导函数,不然法则不成立,.,8/65,2.依据两个函数和差导数运算法则,试着推广到任意有限个可导函数和差.,提醒:,f,1,(x)f,2,(x)f,n,(x)=f,1,(x)f,2,(x)f,n,(x).,af(x)bg(x)=af(x)bg(x)(a,b为常数).,9/65,3.依据乘法导数法则,试着推广f(x)g(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x)到有限个函数积情形:,提醒,:,若,y=f,1,(x)f,2,(x),f,n,(x),则有,y,=,f,1,(x)f,2,(x),f,n,(x)+f,1,(x)f,2,(x),f,n,(x)+,+,f,1,(x)f,2,(x),f,n,(x).,10/65,【预习自测】,1.函数y=xlnx导数是(),A.x B.,C.lnx+1,D.lnx+x,【解析】,选C.y=x,lnx+x,(lnx),=lnx+x,=lnx+1.,11/65,2.已知函数f(x)=ax,2,+c,且f(1)=2,则a值为(),A.1 B.,C.-1,D.0,【解析】,选A.因为f(x)=ax,2,+c,所以f(x)=2ax,又因为f(1)=2a,所以2a=2,所以a=1.,12/65,3.曲线y=x,3,+x在点 处切线与坐标轴围成三角形面积为(),13/65,【解析】,选A.对函数y=x,3,+x求导得y=x,2,+1,将x=1代,入得曲线y=x,3,+x在点 处切线斜率为k=2,故切,线方程是y-=2(x-1),该切线与坐标轴交点是,故围成三角形面积为 .,14/65,4.函数y=导数是(),【解析】,选,A.y,=,15/65,5.求函数y=(2x,2,+3)(3x-2)导数y=_.,【解析】,y,=(2x,2,+3),(3x-2)+(2x,2,+3)(3x-2),=4x(3x-2)+(2x,2,+3)3=18x,2,-8x+9.,答案,:,18x,2,-8x+9,16/65,【一题多解】,因为y=(2x,2,+3)(3x-2),=6x,3,-4x,2,+9x-6,所以y=18x,2,-8x+9.,答案:,18x,2,-8x+9,17/65,6.求函数y=x,5,-x,3,+x-5导数.(仿照教材P84例2解析过程),【解析】,因为y=(x,5,)-(x,3,)+(x)-(5)=5x,4,-3x,2,+1,所以函数y=x,5,-x,3,+x-5导数是y=5x,4,-3x,2,+1.,18/65,类型一导数运算法则,【典例1】,求以下函数导数:,(1)y=(x+1),2,(x-1).,(2)y=x,2,sinx.,(3)y=,19/65,【解析】,(1),方法一,:y=(x+1),2,(x-1)+(x+1),2,(x-1)=2(x+1),(x-1)+(x+1),2,=3x,2,+2x-1.,方法二,:y=(x,2,+2x+1)(x-1)=x,3,+x,2,-x-1,y=(x,3,+x,2,-x-1)=3x,2,+2x-1.,(2)y=(x,2,sinx)=(x,2,)sinx+x,2,(sinx),=2xsinx+x,2,cosx.,20/65,21/65,【方法总结】,应用导数运算法则求函数导数技巧,(1)对三角式求导要先进行化简,然后再求导,这么既降低了计算量,又可少犯错.,(2)利用代数恒等变形能够避开对商形式求导.,(3)在函数中有两个以上因式相乘时,要注意屡次使用积求导法则,能展开先展开成多项式,再求导.,22/65,【巩固训练】,求以下函数导数:,(1)y=2xcosx.(2)y=2x+lnx.,23/65,【解析】,(1)y=(2x)cosx+2x(cosx),=2cosx-2xsinx.,(2)y=(2x)+(lnx)=2+.,24/65,(3)方法一:,方法二:因为,所以,(4),25/65,【赔偿训练】,求以下函数导数,(1)y=e,x,cosx.,(2)y=x,2,+tanx.,(3)y=2x,3,+cosx.,26/65,【解析】,(1)y=e,x,cosx,所以,y=(e,x,)cosx+e,x,(cosx),=e,x,cosx-e,x,sinx.,(2),因为,y=x,2,+,所以,y=(x,2,)+,27/65,(3)y=(2x,3,)+()+(cosx),=6x,2,+-sinx.,28/65,类型二导数运算法则应用,【典例2】,(1)已知函数y=f(x)图象在点(1,f(1)处,切线方程是x-2y+1=0,若g(x)=,则g(1)=(),29/65,(2)(烟台高二检测)已知函数f(x)=x,3,+x-16.,求曲线y=f(x)在点(2,-6)处切线方程.,直线,l,为曲线y=f(x)切线,且经过原点,求直线,l,方程及切点坐标.,30/65,【解题指南】,(1)由g(x)=联想商导数运算法则,利用条件,“,在点(1,f(1)处切线方程为x-2y+1=0,”,求出f(1),f(1).,(2)先求出函数f(x)导数,因为点在曲线上,可将点坐标代入求切线斜率,进而得出切线方程.因为原点不在曲线上,可先设切点坐标,列方程解出切点坐标,再求切线方程.,31/65,【解析】,(1)选A.由切线方程得1-2f(1)+1=0,所以f(1)=1,由导数几何意义得f(1)=,32/65,(2)因为f(x)=x,3,+x-16,所以f(x)=3x,2,+1.,由已知f(x)=x,3,+x-16,且f(2)=2,3,+2-16=-6,所以点(2,-6)在曲线y=f(x)上,所以在点(2,-6)处切线斜率为k=f(2)=32,2,+1,=13,所以切线方程为:y+6=13(x-2),即13x-y-32=0.,33/65,方法一:设切点为(x,0,y,0,),则直线,l,斜率为f(x,0,)=3x,0,2,+1,所以直线,l,方程为:y-y,0,=(3x,0,2,+1)(x-x,0,),即:y-x,0,3,-x,0,+16=(3x,0,2,+1)(x-x,0,),又因为切线,l,过原点,所以0-x,0,3,-x,0,+16=(3x,0,2,+1)(-x,0,),34/65,整理得:x,0,3,=-8,所以x,0,=-2.,所以y,0,=(-2),3,+(-2)-16=-26,斜率k=3(-2),2,+1=13,所以切线方程为y+26=13(x+2),化简得:13x-y=0,切点坐标为(-2,-26).,35/65,方法二:设直线,l,方程为y=kx,切点为(x,0,y,0,),则,又因为k=f(x,0,)=3x,0,2,+1,所以 =3x,0,2,+1,解得x,0,=-2,所以y,0,=(-2),3,+(-2)-16=-26,斜率k=3(-2),2,+1=13,所以切线方程为y+26=13(x+2),化简得:13x-y=0,切点坐标为(-2,-26).,36/65,【延伸探究】,1.若本例(2)条件不变,试判定函数图象上哪一点处切线斜率最小.,【解析】,因为f(x)=x,3,+x-16,所以f(x)=3x,2,+11,即当x=0时,切线斜率最小,此时点纵坐标y=-16.,所以,当切线斜率最小时,切点坐标为(0,-16).,37/65,2.若过本例(2)曲线上某点处切线平行于直线4x-y+1=0,求切点坐标.,【解析】,因为f(x)=x,3,+x-16,所以f(x)=3x,2,+1,设切点为(x,0,y,0,),则过切点处切线斜率为k=3x,0,2,+1,又此切线平行于直线4x-y+1=0,38/65,所以3x,0,2,+1=4,所以x,0,=1,当x,0,=1时,y,0,=-14,当x,0,=-1时,y,0,=-18.,所以切点坐标为(1,-14)或(-1,-18).,39/65,【方法总结】,求曲线在某一点处切线方程普通步骤,(1)先判断给出点(x,0,y,0,)是否在曲线上,假如在曲线,上,则它是切点,不然不是,此时设切点坐标为(x,1,y,1,).,(2)求切线斜率.假如点(x,0,y,0,)是切点,则切线斜率为,f(x,0,),若(x,0,y,0,)不是切点,则切线斜率k=f(x,1,),=,40/65,(3)利用点斜式方程,求出切线方程.,41/65,【赔偿训练】,若曲线y=xlnx上点P处切线平行于直线2x-y+1=0,则点P坐标是_.,42/65,【解析】,由题意得y=lnx+x,=1+lnx,直线2x-y+1=0斜率为2.,设P(m,n),则1+lnm=2,解得m=e,所以n=elne=e,即点P坐标为(e,e).,答案:,(e,e),43/65,类型三导数公式及运算法则综合应用,【典例3】,(1)如图是函数y=f(x)图象,直线,l,:y=kx+2,是图象在x=3处切线,令g(x)=xf(x),则g(3)=(),A.-1 B.0,C.2,D.4,44/65,(2)(天津高考)已知函数f(x)=(2x+1)e,x,f(x)为f(x)导函数,则f(0)值为_.,45/65,【解题指南】,(1)先利用导数几何意义求出y=f(x)在x=3处导数,再利用导数公式求出g(3).,(2)求出f(x),代入x=0即可.,46/65,【解析】,(1)选B.由题意直线,l,:y=kx+2是曲线y=f(x)在x=3处切线,由图象可知其切点为(3,1),代入直线方程得k=-,所以f(3)=-,故g(x)=(xf(x),=xf(x)+xf(x)=f(x)+xf(x),所以g(3)=f(3)+3f(3)=1+3 =0.,47/65,(2)因为f(x)=(2x+3)e,x,所以f(0)=3.,答案:,3,48/65,【延伸探究】,若本例(2)中条件不变,则f(2)值是多少?,【解析】,由,(2),解析可知,f,(2)=(4+3)e,2,=7e,2,.,49/65,【方法总结】,利用导数几何意义及运算法则处理综合问题策略,(1)求某点处导数值,分清该点是否为切点,若为切点利用导数几何意义求值.,(2)求范围:注意导数就是切线斜率,切线斜率与倾斜角关系,求倾斜角范围可先求导数范围.,50/65,【巩固训练】,已知曲线方程f(x)=sin,2,x+2ax(xR),若对任意实数m,直线,l,:x+y+m=0都不是曲线y=f(x)切线,则a取值范围是(),A.(-,-1)(-1,0)B.(-,-1)(0,+),C.(-1,0)(0,+)D.aR且a0,a-1,51/65,【解析】,选B.f(x)=2sinxcosx+2a=sin2x+2a,直线,l,斜率为-1,由题知关于x方程sin2x+2a=-1无解,所以|2a+1|1,所以a0.,52/65,【赔偿训练】,已知点P在曲线y=上,为曲线在点P处切线倾斜角,则取值范围是(),53/65,【解析】,选D.函数导数y=,因为e,x,+2,所以y-1，0),所以 .,54/65,拓展类型:曲线公切线,【典例】,已知定义在正实数集上函数f(x)=x,2,+2ax,g(x)=3a,2,lnx+b(a0),设两曲线f(x),g(x)有公共点,且,在公共点处切线相同.,(1)若a=1,求b值.,(2)试写出b关于a函数关系式.,55/65,【解题指南】,注意转化先设公共点坐标,利用切点处导数相等建立关系式.,56/65,【解析】,(1)因为y=f(x)与y=g(x)(x0)在公共点(x,0,y,0,)处切线相同,且f(x)=x+2,g(x)=,由题意知f(x,0,)=g(x,0,),f(x,0,)=g(x,0,),所以,由x,0,+2=,得x,0,=1或x,0,=-3(舍去),即有b=.,57/65,(2)因为y=f(x)与y=g(x)(x0)在公共点(x,0,y,0,)处切线相同,且f(x)=x+2a,g(x)=,由题意知f(x,0,)=g(x,0,),f(x,0,)=g(x,0,),即,58/65,解得x,0,=a或x,0,=-3a(舍去),所以b=a,2,-3a,2,lna(a0).,59/65,【方法总结】,曲线公切线问题处理思绪,1.切点处导数值:公切点处导数值相等.,2.切点处函数值:公切点处对应函数值相等.,60/65,【巩固训练】,若曲线f(x)=x,2,与曲线g(x)=alnx在它们公共点P(s,t)处含有公共切线,则实数a=(),A.-2 B.,C.1,D.2,61/65,【解析】,选C.依据题意可知:f(x)=x,g(x)=,两曲线在点P(s,t)处有公共切线,所以 即:,s=,代入 =alns解得:a=1.,62/65,【课堂小结】,1.知识总结,63/65,2.方法总结,(1)在两个函数积与商导数运算中,不能认为f(x)g(x)=f(x)g(x)以及,(2)注意区分两个函数积与商求导公式中符号异同,积导数公式中是“+”,而商导数公式中分子上是“-”.,64/65,(3)f,1,(x)+f,2,(x)+f,n,(x)=f,1,(x)+f,2,(x)+,f,n,(x);,cf(x)=cf(x),也就是说,常数与函数积导数等于常数乘以函数导数.,65/65,
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