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,教材研读,考点突破,栏目索引,教材研读,考点突破,栏目索引,教材研读,考点突破,栏目索引,*,*,教材研读,考点突破,栏目索引,*,*,教材研读,考点突破,栏目索引,教材研读,考点突破,栏目索引,*,*,理数,课标版,第五节几何概型,1/21,1.几何概型定义,假如每个事件发生概率只与组成该事件区域,长度(面积或体积),成百分比,则称这么概率模型为几何概率模型,简称几何概型.,教材研读,2.几何概型特点,(1)无限性:试验中全部可能出现结果(基本事件)有,无限多,个.,(2)等可能性:试验结果在每一个区域内,均匀,分布.,3.几何概型概率公式,P,(,A,)=,.,2/21,1,.,已知函数,f,(,x,)=,x,2,-2,x,-3,x,-1,4,则,f,(,x,)为增函数概率为,(),A.,B.,C.,D.,考点突破,答案,C,f,(,x,)=,x,2,-2,x,-3=(,x,-1),2,-4,x,-1,4,f,(,x,)在1,4上是增函数.,f,(,x,),为增函数概率为,P,=,=,.,3/21,2.若将一个质点随机投入如图所表示长方形,ABCD,中,其中,AB,=2,BC,=1,则质点落在以,AB,为直径半圆内概率是,(),A.,B.,C.,D.,答案,B概率为,P,=,=,=,.故选B.,4/21,3.(课标全国,8,5分)某路口人行横道信号灯为红灯和绿灯交替,出现,红灯连续时间为40秒.若一名行人来到该路口碰到红灯,则最少需,要等候15秒才出现绿灯概率为,(),A.,B.,C.,D.,答案,B行人在红灯亮起25秒内抵达该路口,即满足最少需要等候,15秒才出现绿灯,依据几何概型概率公式知所求事件概率,P,=,=,故选B.,5/21,4.如图所表示,边长为2正方形中有一封闭曲线围成阴影区域,在正方,形中随机撒一粒豆子,它落在阴影区域内概率为,则阴影区域面积,为,.,答案,解析,设阴影区域面积为,S,则由题意知,=,所以,S,=,.,6/21,5.在长为3 m线段,AB,上任取一点,P,则点,P,与线段,AB,两端点距离都大,于1 m概率等于,.,答案,解析,将线段,AB,平均分成3段,如图.,设中间两点分别为,C,D,当点,P,在线段,CD,上(不包含两端点)时,符合题,意,线段,CD,长度为1 m,所求概率,P,=,.,7/21,考点一与长度相关几何概型,典例1,(1)(重庆,15,5分)在区间0,5上随机地选择一个数,p,则方程,x,2,+2,px,+3,p,-2=0有两个负根概率为,;,(2)(山东,14,5分)在-1,1上随机地取一个数,k,则事件“直线,y,=,kx,与,圆(,x,-5),2,+,y,2,=9相交”发生概率为,.,答案,(1),(2),解析,(1)要使方程,x,2,+2,px,+3,p,-2=0有两个负根,必有,解得,p,1或,p,2,考点突破,8/21,结合,p,0,5得,p,2,5,故所求概率为,=,.,(2)直线,y,=,kx,与圆(,x,-5),2,+,y,2,=9相交充要条件为,3,解之得-,k,2,解得,k,2,又,k,-3,3,所以,k,-3,0),(2,3,故所求概率,P,=,=,.,11/21,考点二与面积相关几何概型,典例2,(1)(黑龙江试验中学期末)已知线段,AB,长为10,在线段,AB,上随机取两个点,C,、,D,则,CD,2概率为,(),A.,B.,C.,D.,(2)(课标全国,10,5分)从区间0,1随机抽取2,n,个数,x,1,x,2,x,n,y,1,y,2,y,n,组成,n,个数对(,x,1,y,1,),(,x,2,y,2,),(,x,n,y,n,),其中两数平方和小于1数对,共有,m,个,则用随机模拟方法得到圆周率近似值为,(),A.,B.,C.,D.,答案,(1)D(2)C,解析,(1)设,CA,=,x,DA,=,y,则,x,y,0,10,CD,=|,CA,-,DA,|=|,x,-,y,|.,12/21,由题意知点(,x,y,)形成区域是边长为10正方形及其内部,其面积为,S,=,10,10,而满足,CD,2区域如图中阴影部分所表示,其面积为,S,1,=2,8,8,=64,则,CD,2概率为,P,=,=,.,13/21,(2)如图,数对(,x,i,y,i,)(,i,=1,2,n,)表示点落在边长为1正方形,OABC,内,(包含边界),两数平方和小于1数对表示点落在半径为1四分之,一圆(阴影部分)内,则由几何概型概率公式可得,=,=,.故选,C.,14/21,方法技巧,与面积相关几何概型问题求解策略,求解与面积相关几何概型问题关键是搞清某事件对应面积,必要,时要依据题意结构两个变量,把变量看成点坐标,找到全部试验结果,组成平面图形,进而求解.,2-1,(安徽江淮十校第一次联考)设不等式组,所表示区域为,M,函数,y,=,图象与,x,轴所围成区,域为,N,向,M,内随机投一个点,则该点落在,N,内概率为,(),A.,B.,C.,D.,15/21,答案,B如图,不等式组,表示区域为,ABC,及其内部,函,数,y,=,图象与,x,轴所围成区域为阴影部分,易知区域,M,面积为,2,区域,N,面积为,由几何概型概率公式知所求概率为,=,.,16/21,2-2,(福建,13,4分)如图,点,A,坐标为(1,0),点,C,坐标为(2,4),函数,f,(,x,)=,x,2,.若在矩形,ABCD,内随机取一点,则此点取自阴影部分概率等于,.,答案,解析,由题图可知,S,阴影,=,S,矩形,ABCD,-,x,2,d,x,=1,4-,=4-,=,则所求,事件概率,P,=,=,=,.,17/21,考点二与面积相关几何概型,典例3,(1)在棱长为2正方体,ABCD,-,A,1,B,1,C,1,D,1,中,点,O,为底面,ABCD,中心,在正方体,ABCD,-,A,1,B,1,C,1,D,1,内随机取一点,P,则点,P,到点,O,距离大于,1概率为,(),A.,B.1-,C.,D.1-,(2)已知正棱锥,S,-,ABC,底面边长为4,高为3,在正棱锥内任取一点,P,使得,V,P,-,ABC,V,S,-,ABC,概率为,(),A.,B.,C.,D.,18/21,答案,(1)B(2)B,解析,(1)点,P,到点,O,距离大于1点位于以,O,为球心,以1为半径半球,外部.记点,P,到点,O,距离大于1为事件,A,则,P,(,A,)=,=1-,.,(2)如图,由题意知,当点,P,在三棱锥中截面以下时,满足,V,P,-,ABC,V,S,-,ABC,故,使得,V,P,-,ABC,V,S,-,ABC,概率,P,=1-,=,.,19/21,方法技巧,与体积相关几何概型问题求法关键点,对于与体积相关几何概型问题,关键是计算问题总体积(总空间)以,及事件体积(事件空间),对于一些较复杂事件也可利用其对立事件,去求.,20/21,3-1,(沈阳二十中月考)一个多面体直观图和三视图如图所表示,点,M,是,AB,中点,一只蝴蝶在几何体,ADF,-,BCE,内自由翱翔,则它飞入几何,体,F,-,AMCD,内概率为,(),A.,B.,C.,D.,答案,D因为,V,F,-,AMCD,=,S,四边形,AMCD,DF,=,a,3,V,ADF,-,BCE,=,a,3,所以蝴蝶飞入几何体,F,-,AMCD,内概率为,=,.,21/21,
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