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,单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第三章 平均数、标准差与变异系数,第一节 平均数,下一张,主 页,退 出,上一张,第1页,平均数是统计学中最惯用统计量，用来表明资料中各观察值相对集中较多中心位置。平均数主要包含有：,算术平均数,（arithmetic mean）,中位数,（median）,众数,（mode）,几何平均数,（geometric mean）,调和平均数,（harmonic mean）,下一张,主 页,退 出,上一张,第2页,一、算术平均数,算术平均数,是指资料中各观察值总和除以观察值个数所得商，简称,平均数或均数,，记为。,算术平均数可依据样本大小及分组情况而采取直接法或加权法计算。,(一)直接法,主要用于样本含量,n,30以下、未经分组资料平均数计算。,下一张,主 页,退 出,上一张,第3页,设某一资料包含,n,个观察值：,x,1,、x,2,、x,n,，,则样本平均数可经过下式计算：,（3-1）,其中，为总和符号；表示从第一个观察值,x,1,累加到第,n,个观察值,x,n,。当 在意义上已明确时，可简写为,x,，（3-1）式可改写为：,下一张,主 页,退 出,上一张,第4页,【例3.1】某种公牛站测得10头成年公牛体重分别为500、520、535、560、585、600、480、510、505、490（,kg,），求其平均数。,因为 ,x,=500+520+535+560+58,+600+480+510+505+49,=5285，,n,=10,下一张,主 页,退 出,上一张,第5页,得：,即10头种公牛平均体重为528.5,kg,。,（二）加权法,对于样本含量,n,30 以上且已分组资料，能够在次数分布表基础上采取加权法计算平均数，计算公式为：,（3-2）,下一张,主 页,退 出,上一张,第6页,式中：第,i,组组中值；,第,i,组次数；,分组数,第,i,组次数,f,i,是权衡第,i,组组中值,x,i,在资料中所占比重大小数量，所以将,f,i,称为是,x,i,“权”，加权法也由此而得名。,【例3.2】将100头长白母猪仔猪一月窝重（单位：,kg,）资料整理成次数分布表以下，求其加权数平均数。,下一张,主 页,退 出,上一张,第7页,表31 100头长白母猪仔猪一月窝重次数分布表,下一张,主 页,退 出,上一张,第8页,利用（32）式得：,即这100头长白母猪仔猪一月龄平均窝重为45.2,kg,。,计算若干个来自同一总体样本平均数平均数时，假如样本含量不等，也应采取加权法计算。,下一张,主 页,退 出,上一张,第9页,【例3.3】某牛群有黑白花奶牛 1500头，其平均体重为750,kg,，而另一牛群有黑白花奶牛1200头，平均体重为725,kg,，假如将这两个牛群混合在一起，其混合后平均体重为多少？,此例两个牛群所包含牛头数不等，要计算两个牛群混合后平均体重，应以两个牛群牛头数为权，求两个牛群平均体重加权平均数，即,下一张,主 页,退 出,上一张,第10页,即两个牛群混合后平均体重为738.89,kg,。,（三）平均数基本性质,1、样本各观察值与平均数之差和为零，即,离均差之和等于零,。,或简写成,下一张,主 页,退 出,上一张,第11页,2、样本各观察值与平均数之差平方和为最小，即,离均差平方和为最小,。,(,x,i,-),2,(,x,i,-a,),2,（常数,a,）,或简写为：几何平均数调和平均数,上述五种平均数，最惯用是算术平均数。,第29页,第二节 标准差,一、标准差意义,用平均数作为样本代表，其代表性强弱受样本资料中各观察值变异程度影响。仅用平均数对一个资料特征作统计描述是不全方面，还需引入一个表示资料中观察值变异程度大小统计量。,下一张,主 页,退 出,上一张,第30页,全距（极差）,是表示资料中各观察值变异程度大小最简便统计量。不过全距只利用了资料中最大值和最小值，并不能准确表示资料中各观察值变异程度，比较粗略。当资料很多而又要快速对资料变异程度作出判断时，能够利用全距这个统计量。,下一张,主 页,退 出,上一张,第31页,为 了 准 确 地 表示样本内各个观察值变异程度，人们 首 先会考虑到以平均数为标准，求出各个观察值与平均数离差，（），称为,离均差,。,即使离均差能表示一个观察值偏离平均数性质和程度，但因为离均差有正、有负，离均差之和 为零，即（）=0，因 而 不 能 用离均差之和（）来 表 示 资料中全部观察值总偏离程度。,下一张,主 页,退 出,上一张,第32页,为了处理离均差有正、有负，离均差之和为零问 题 ，可先求 离 均 差绝 对 值 并 将 各 离 均 差 绝对 值 之 和 除以 观 测 值 个 数,n,求 得 平 均 绝 对 离差，即,|/n,。即使平均绝对离差能够表示资料中各观察值变异程度，但因为平均绝对离差包含绝对值符号，使用很不方便，在统计学中未被采取。,第33页,我们还能够采取将离均差平方方法来处理离均差有正、有负，离均差之和为零问题。,先将各 个离 均差平方，即(),2,，再求,离均差平方和,，即 ，简称,平方和,，记为,SS,；由 于 离差平方和 常 随 样 本 大 小 而 改 变，为 了 消 除 样 本大小 影 响，用平方和 除 以 样 本 大 小，即 ，求出离均差平方和平均数；,下一张,主 页,退 出,上一张,第34页,为了使所得统计量是对应总体参数无 偏预计量，统计学证实，在求离均差平方和平均数时，分母不用样本含量,n,，而用自由度,n-,1，于是，我们 采 用统计量 表示资料变异程度。,统计量 称 为,均 方,（mean square缩写为MS）,又称,样本方差,，记为,S,2,，即,S,2,=（39）,下一张,主 页,退 出,上一张,第35页,对应总体参数叫,总体方差,，记为,2,。对于有限总体而言，,2,计算公式为：,（310）,第36页,因为 样本方差 带有原观察单位 平方单位，在仅表示一个资料中各观察值变异程度而不作其它分析时 ，常需要与平均数配合使用，这 时应 将平方单位还原，即应求出样本方差平方根。统计学上把样本方差,S,2,平方根叫做,样本标准 差,，记为,S,，即：,（3-11）,下一张,主 页,退 出,上一张,第37页,因为,所以（3-11）式可改写为：,（3-12）,下一张,主 页,退 出,上一张,第38页,对应总体参数叫,总体标准差,，记为。对于有限总体而言，计算公式为：,（3-13）,在统计学中，惯用样本标准差S预计总体标准差。,下一张,主 页,退 出,上一张,第39页,二、标准差计算方法,（一）直接法,对于未分组或小样本资料，可直接利用（311）或（3-12）式来计算标准差。,第40页,【例3.9】计算10只辽宁绒山羊产绒量：450，450，500，500，500，550，550，550，600，600，650（g）标准差。,此例,n,=10，经计算得：,x,=5400，,x,2,=2955000，代入（312）式得：,(g),即10只辽宁绒山羊产绒量 标准差 为65.828g。,下一张,主 页,退 出,上一张,第41页,（二）加权法,对于已制成次数分布表大样本资料，可利用次数分布表，采取加权法计算标准差。计算公式为：,（314）,式中，,f,为各组次数；,x,为各组组中值；,f,=,n,为总次数。,下一张,主 页,退 出,上一张,第42页,【例3.10】利用某纯系蛋鸡200枚蛋重资料次数分布表（见表3-4）计算标准差。,将表3-4中,f、,fx、,代入（314）式得：,(,g,),即某 纯 系 蛋 鸡200枚 蛋 重标准差为3.5524,g,。,下一张,主 页,退 出,上一张,第43页,表34 某纯系蛋鸡200枚蛋重资料次数分布,及标准差计算表,下一张,主 页,退 出,上一张,第44页,三、标准差特征,（一）,标准差大小，受资料中每个观察值影响，如观察值间变异大，求得标准差也大，反之则小。,（二）,在计算标准差时，在各观察值加上或减去一个常数，其数值不变。,（三）,当每个观察值乘以或除以一个常数,a,，则所得标准差是原来标准差,a,倍或1,/a,倍。,下一张,主 页,退 出,上一张,第45页,（四）,在资料服从正态分布条件下，资料中约有68.26%观察值在平均数左右一倍标准差（S）范围内；约有95.43%观察值在平均数左右两倍标准差（2S）范围内；约有99.73%观察值在平均数左右三倍标准差（3S）范 围内。也就是说全距近似地等于6倍标准差，可用（全距/6）来粗略预计标准差。,下一张,主 页,退 出,上一张,第46页,第三节 变异系数,变异系数是衡量资料中各观察值变异 程度另一个统计量。,标 准差与平均数比值称为,变异系数,，记为,CV,。,变异系数能够消除单位 和（或）平 均数不一样对两个或多个资料变异程度比较影响。,下一张,主 页,退 出,上一张,第47页,变异系数计算公式为：,（315）,【例3.11】已知某良种猪场长白成年母猪平均体重为 190,kg,，标准差为10.5,kg,，而大约克成年母猪平均体重为196,kg,，标准差为8.5,kg,，试问两个品种成年母猪，那一个体重变异程度大。,下一张,主 页,退 出,上一张,第48页,因为，长白成年母猪体重变异系数：,大约克成年母猪体重变异系数：,所以，长白成年母猪体重变异程度大于大约克成年母猪。,下一张,主 页,退 出,上一张,第49页,注意，变异系数大小，同时受平均数和标准差两个统计量影响，因而在利用变异系数表示资料变异程度时，最好将平均数和标准差也列出。,下一张,主 页,退 出,上一张,第50页,
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