高考数学复习第十五章平面解析几何初步15.3直线与圆圆与圆的位置关系市赛课公开课一等奖省名师优质课获.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,高考数学,(江苏省专用),15.3直线与圆、圆与圆位置关系,1/72,1.,(江苏,13,5分)在平面直角坐标系,xOy,中,A,(-12,0),B,(0,6),点,P,在圆,O,:,x,2,+,y,2,=50上.若,20,则点,P,横坐标取值范围是,.,A,组 自主命题江苏卷题组,五年高考,答案,-5,1,2/72,解析,本题考查平面向量数量积及其应用,圆方程应用及圆与圆相交.,解法一:设,P,(,x,y,),则由,20可得,(-12-,x,)(-,x,)+(-,y,)(6-,y,),20,即(,x,+6),2,+(,y,-3),2,65,所以,P,为圆(,x,+6),2,+(,y,-3),2,=65上或其内部一点.,又点,P,在圆,x,2,+,y,2,=50上,联立得,解得,或,即,P,为圆,x,2,+,y,2,=50劣弧,MN,上一点(如图),3/72,解法二:设,P,(,x,y,),则由,20,可得(-12-,x,)(-,x,)+(-,y,)(6-,y,),20,即,x,2,+12,x,+,y,2,-6,y,20,因为点,P,在圆,x,2,+,y,2,=50上,故12,x,-6,y,+30,0,即2,x,-,y,+5,0,点,P,为圆,x,2,+,y,2,=50上且满足2,x,-,y,+5,0点,即,P,为圆,x,2,+,y,2,=50劣弧,MN,上一点(如图),同解法一,可得,N,(1,7),M,(-5,-5),易知-5,x,1.,易知-5,x,1.,4/72,2.,(江苏,9,5分,0.82)在平面直角坐标系,xOy,中,直线,x,+2,y,-3=0被圆(,x,-2),2,+(,y,+1),2,=4截得弦长,为,.,答案,解析,易知圆心为(2,-1),r,=2,故圆心到直线距离,d,=,=,弦长为2,=2,=,.,5/72,3.,(江苏,17,14分,0.495)如图,在平面直角坐标系,xOy,中,点,A,(0,3),直线,l,:,y,=2,x,-4.设圆,C,半径,为1,圆心在,l,上.,(1)若圆心,C,也在直线,y,=,x,-1上,过点,A,作圆,C,切线,求切线方程;,(2)若圆,C,上存在点,M,使,MA,=2,MO,求圆心,C,横坐标,a,取值范围.,6/72,解析,(1)由题意知,圆心,C,是直线,y,=2,x,-4和,y,=,x,-1交点,解得点,C,(3,2),于是切线斜率必存在.设,过,A,(0,3)圆,C,切线方程为,y,=,kx,+3,由题意得,=1,解得,k,=0或-,故所求切线方程为,y,=3或3,x,+4,y,-12=0.,(2)因为圆心在直线,y,=2,x,-4上,所以圆,C,方程为(,x,-,a,),2,+,y,-2(,a,-2),2,=1.,设点,M,(,x,y,),因为,MA,=2,MO,所以=2,化简得,x,2,+,y,2,+2,y,-3=0,即,x,2,+(,y,+1),2,=4,所以点,M,在以,D,(0,-1)为圆心,2为,半径圆上.,由题意,点,M,(,x,y,)在圆,C,上,所以圆,C,与圆,D,有公共点,则2-1,|,CD,|,2+1,即1,3.,由5,a,2,-12,a,+8,0,得,a,R;,由5,a,2,-12,a,0,得0,a,.,所以点,C,横坐标,a,取值范围为,.,7/72,4.,(江苏,18,16分,0.35)如图,为保护河上古桥,OA,规划建一座新桥,BC,同时设置一个圆形保护,区.规划要求:新桥,BC,与河岸,AB,垂直;保护区边界为圆心,M,在线段,OA,上并与,BC,相切圆,且古,桥两端,O,和,A,到该圆上任意一点距离均不少于80 m.经测量,点,A,位于点,O,正北方向60 m处,点,C,位于点,O,正东方向170 m处(,OC,为河岸),tan,BCO,=,.,(1)求新桥,BC,长;,(2)当,OM,多长时,圆形保护区面积最大?,8/72,解析,解法一:(1)如图,以,O,为坐标原点,OC,所在直线为,x,轴,建立平面直角坐标系,xOy,.,由条件知,A,(0,60),C,(170,0),直线,BC,斜率,k,BC,=-tan,BCO,=-,.,因为,AB,BC,所以直线,AB,斜率,k,AB,=,.,设点,B,坐标为(,a,b,),9/72,则,k,BC,=,=-,k,AB,=,=,.,解得,a,=80,b,=120.,所以,BC,=150(m).,所以新桥,BC,长是150 m.,(2)设保护区边界圆,M,半径为,r,m,OM,=,d,m(0,d,60).,由条件知,直线,BC,方程为,y,=-,(,x,-170),即4,x,+3,y,-680=0.,因为圆,M,与直线,BC,相切,故点,M,(0,d,)到直线,BC,距离是,r,即,r,=,=,.,因为,O,和,A,到圆,M,上任意一点距离均不少于80 m,所以,即,解得10,d,35.,故当,d,=10时,r,=,最大,即圆面积最大.,所以当,OM,=10 m时,圆形保护区面积最大.,10/72,解法二:(1)如图,延长,OA,CB,交于点,F,.,因为tan,FCO,=,所以sin,FCO,=,cos,FCO,=,.,因为,OA,=60 m,OC,=170 m,所以,OF,=,OC,tan,FCO,=,m,CF,=,=,m,从而,AF,=,OF,-,OA,=,m.,因为,OA,OC,所以cos,AFB,=sin,FCO,=,.,11/72,又因为,AB,BC,所以,BF,=,AF,cos,AFB,=,m,从而,BC,=,CF,-,BF,=150 m.,所以新桥,BC,长是150 m.,(2)设保护区边界圆,M,与,BC,切点为,D,连接,MD,则,MD,BC,且,MD,是圆,M,半径,并设,MD,=,r,m,OM,=,d,m(0,d,60).,因为,OA,OC,所以sin,CFO,=cos,FCO,.,故由(1)知sin,CFO,=,=,=,=,所以,r,=,.,因为,O,和,A,到圆,M,上任意一点距离均不少于80 m,所以,即,解得10,d,35.,故当,d,=10时,r,=,最大,即圆面积最大.,12/72,所以当,OM,=10 m时,圆形保护区面积最大.,解后反思,本题数学背景是直线与圆,在解题时能够用直线与圆位置关系求解,还能够用解,三角形方法加以处理.,13/72,考点一直线与圆位置关系,1.,(课标全国理改编,10,5分)已知椭圆,C,:,+,=1(,a,b,0)左、右顶点分别为,A,1,A,2,且以,线段,A,1,A,2,为直径圆与直线,bx,-,ay,+2,ab,=0相切,则,C,离心率为,.,B组统一命题省(区、市)卷题组,答案,解析,本题考查椭圆性质,直线与圆位置关系.,以线段,A,1,A,2,为直径圆方程为,x,2,+,y,2,=,a,2,该圆与直线,bx,-,ay,+2,ab,=0相切,=,a,即2,b,=,a,2,=3,b,2,a,2,=,b,2,+,c,2,=,e,=,=,.,14/72,方法技巧,椭圆离心率求法:,(1)定义法:依据条件求出,a,c,直接利用公式,e,=,求解.,(2)方程法:依据已知条件建立关于,a,b,c,齐次式,然后转化为关于,e,方程求解.注意要依据,e,范围取舍方程解.,2.,(课标全国改编,6,5分)圆,x,2,+,y,2,-2,x,-8,y,+13=0圆心到直线,ax,+,y,-1=0距离为1,则,a,=,.,答案,-,解析,由圆方程可知圆心为(1,4).由点到直线距离公式可得,=1,解得,a,=-,.,易错警示,圆心坐标轻易误写为(-1,-4)或(2,8).,评析,本题考查了圆方程、点到直线距离公式.,15/72,3.,(课标全国,15,5分)设直线,y,=,x,+2,a,与圆,C,:,x,2,+,y,2,-2,ay,-2=0相交于,A,B,两点,若|,AB,|=2,则圆,C,面积为,.,答案,4,解析,把圆,C,方程化为,x,2,+(,y,-,a,),2,=2+,a,2,则圆心为(0,a,),半径,r,=,.圆心到直线,x,-,y,+2,a,=0距,离,d,=,.由,r,2,=,d,2,+,得,a,2,+2=,+3,解得,a,2,=2,则,r,2,=4,所以圆面积,S,=,r,2,=4.,评析,本题考查了直线与圆位置关系,考查了圆方程和点到直线距离公式,利用弦长一,半,圆心到直线距离及半径组成直角三角形求解是关键.,4.,(课标全国理,16,5分)已知直线,l,:,mx,+,y,+3,m,-,=0与圆,x,2,+,y,2,=12交于,A,B,两点,过,A,B,分别作,l,垂线与,x,轴交于,C,D,两点.若|,AB,|=2,则|,CD,|=,.,答案,4,16/72,解析,由题意可知直线,l,过定点(-3,),该定点在圆,x,2,+,y,2,=12上,不妨设点,A,(-3,),因为|,AB,|=2,r,=2,所以圆心到直线,AB,距离为,d,=,=3,又由点到直线距离公式可得,d,=,=3,解得,m,=-,所以直线,l,斜率,k,=-,m,=,即直线,l,倾斜角为30,.如图,过点,C,作,CH,BD,垂足为,H,所以|,CH,|=2,在Rt,CHD,中,HCD,=30,所以|,CD,|=,=4.,17/72,评析,本题主要考查直线过定点,点到直线距离公式,直线斜率等知识,考查学生运算求,解能力以及数形结合思想应用.,5.,(课标全国,15,5分)已知直线,l,:,x,-,y,+6=0与圆,x,2,+,y,2,=12交于,A,B,两点,过,A,B,分别作,l,垂,线与,x,轴交于,C,D,两点.则|,CD,|=,.,答案,4,18/72,解析,圆心(0,0)到直线,x,-,y,+6=0距离,d,=,=3,|,AB,|=2,=2,过,C,作,CE,BD,于,E,因,为直线,l,倾斜角为30,所以|,CD,|=,=,=,=4.,解后反思,本题包括直线和圆位置关系,要充分利用圆性质及数形结合思想方法求解.,19/72,6.,(课标,16,5分,0.293)设点,M,(,x,0,1),若在圆,O,:,x,2,+,y,2,=1上存在点,N,使得,OMN,=45,则,x,0,取,值范围是,.,答案,-1,1,20/72,解析,解法一:当,x,0,=0时,M,(0,1),由圆几何性质得在圆上存在点,N,(-1,0)或,N,(1,0),使,OMN,=45,.,当,x,0,0时,过,M,作圆两条切线,切点为,A,、,B,.,若在圆上存在,N,使得,OMN,=45,应有,OMB,OMN,=45,AMB,90,-1,x,0,0或00)相切于点,M,且,M,为线段,AB,中点.若这么直线,l,恰有4条,则,r,取值范围是,.,答案,(2,4),24/72,解析,当直线,AB,斜率不存在,且0,r,0和,k,AB,4(,y,0,0),即,r,2.,另首先,由,AB,中点为,M,知,B,(6-,x,1,2,y,0,-,y,1,),点,B,A,在抛物线上,(2,y,0,-,y,1,),2,=4(6-,x,1,),=4,x,1,由,得,-2,y,0,y,1,+2,-12=0,=4,-4(2,-12)0,12.,r,2,=(3-5),2,+,=4+,16,r,0,则,b,=,r,.,|,AB,|=2,2=2,r,=,故圆,C,标准方程为(,x,-1),2,+(,y,-,),2,=2.,(2)设,N,(,x,y,),而,A,(0,-1),B,(0,+1),则,=,=,又,x,2,+,y,2,=1,=,=,=(,+1),2,=,+1,同理,=,+1.,=,且,-,=,+1-,=2,+,=,+1+,=,+1+,-1=2,故正确结论序号是.,27/72,10.,(课标全国文,20,12分)在直角坐标系,xOy,中,曲线,y,=,x,2,+,mx,-2与,x,轴交于,A,B,两点,点,C,坐,标为(0,1).当,m,改变时,解答以下问题:,(1)能否出现,AC,BC,情况?说明理由;,(2)证实过,A,B,C,三点圆在,y,轴上截得弦长为定值.,28/72,解析,(1)不能出现,AC,BC,情况,理由以下:,设,A,(,x,1,0),B,(,x,2,0),则,x,1,x,2,满足,x,2,+,mx,-2=0,所以,x,1,x,2,=-2.,又,C,坐标为(0,1),故,AC,斜率与,BC,斜率之积为,=-,所以不能出现,AC,BC,情况.,(2),BC,中点坐标为,可得,BC,中垂线方程为,y,-,=,x,2,.,由(1)可得,x,1,+,x,2,=-,m,所以,AB,中垂线方程为,x,=-,.,联立,又,+,mx,2,-2=0,可得,所以过,A,B,C,三点圆圆心坐标为,半径,r,=,.,29/72,故圆在,y,轴上截得弦长为2,=3,即过,A,B,C,三点圆在,y,轴上截得弦长为定值.,11.,(广东,20,14分)已知过原点动直线,l,与圆,C,1,:,x,2,+,y,2,-6,x,+5=0相交于不一样两点,A,B,.,(1)求圆,C,1,圆心坐标;,(2)求线段,AB,中点,M,轨迹,C,方程;,(3)是否存在实数,k,使得直线,L,:,y,=,k,(,x,-4)与曲线,C,只有一个交点?若存在,求出,k,取值范围;若不存,在,说明理由.,30/72,解析,(1)圆,C,1,方程,x,2,+,y,2,-6,x,+5=0可化为(,x,-3),2,+,y,2,=4,所以圆心坐标为(3,0).,(2)设,A,(,x,1,y,1,),B,(,x,2,y,2,)(,x,1,x,2,),M,(,x,0,y,0,),则,x,0,=,y,0,=,.,由题意可知直线,l,斜率必存在,设直线,l,方程为,y,=,tx,.,将上述方程代入圆,C,1,方程,化简得(1+,t,2,),x,2,-6,x,+5=0.,由题意,可得,=36-20(1+,t,2,)0(*),x,1,+,x,2,=,所以,x,0,=,代入直线,l,方程,得,y,0,=,.,因为,+,=,+,=,=,=3,x,0,所以,+,=,.,由(*)解得,t,2,又,t,2,0,所以,0)相交于,M,N,两点,若=,3,则圆半径,r,=,答案,解析,设,M,(,x,1,y,1,),N,(,x,2,y,2,),将,x,-,y,+3=0与,x,2,+,y,2,=,r,2,(,r,0)联立,消去,y,得2,x,2,+6,x,+9-,r,2,=0,所以,x,1,+,x,2,=-3,x,1,x,2,=,(9-,r,2,),所以,y,1,y,2,=,(9-,r,2,),由,=3可得,(9-,r,2,)+,(9-,r,2,)=3,所以,r,=,.,44/72,5.,(江苏淮安五模,12)已知圆,O,:,x,2,+,y,2,=1,若直线,y,=,x,+2上总存在点,P,使得过点,P,圆,O,两,条切线相互垂直,则实数,k,最小值为,.,答案,1,解析,因为过点,P,O,两条切线相互垂直,所以点,P,到圆心,O,距离为,1=,又因为直线,y,=,x,+2上总存在这么点,P,所以圆心,O,到直线,y,=,x,+2距离小于或等于,则,k,1.故,k,最小值为1.,二、解答题(共35分),6.,(江苏如东高级中学期中,16)已知直线,l,与圆,C,:,x,2,+,y,2,+2,x,-4,y,+,a,=0相交于,A,B,两点,弦,AB,中,点为,M,(0,1).,(1)求实数,a,取值范围以及直线,l,方程;,(2)若以,AB,为直径圆过原点,O,求圆,C,方程.,45/72,解析,(1)由已知得2,2,+(-4),2,-4,a,0,所以,a,5.,因为,M,(0,1)在圆,C,内,所以1,2,-4+,a,0,所以,a,3.,所以,a,3.,由圆方程得,C,(-1,2).,因为弦,AB,中点为,M,(0,1),所以直线,l,CM,.,易求,k,CM,=-1,所以,k,l,=1.,所以直线,l,方程为,y,=,x,+1.,(2)由,得2,x,2,+,a,-3=0,故,x,1,=,x,2,=-,.,不妨设,A,B,因为以,AB,为直径圆过原点,O,所以,OA,OB,.,所以,=-,+1-,=,a,-2=0,故,a,=2.,故圆,C,方程为,x,2,+,y,2,+2,x,-4,y,+2=0.,46/72,7.,(江苏五校联考)已知圆,O,1,:,x,2,+,y,2,-8,x,-8,y,+48=0,圆,O,2,过点,A,(0,-4).,(1)若圆,O,2,与圆,O,1,相切于点,B,(2,2,),求圆,O,2,方程;,(2)若圆,O,2,过点,C,(4,0),圆,O,1,O,2,相交于点,M,N,且两圆在点,M,处切线相互垂直,求直线,MN,方程.,解析,(1)由已知得圆,O,1,圆心坐标为(4,4,),圆,O,2,与圆,O,1,相切于点(2,2,),圆,O,2,圆心在直线,y,=,x,上,不妨设其圆心为(,a,a,),圆,O,2,过点(2,2,),(0,-4),a,2,+(,a,+4),2,=2(,a,-2,),2,a,=0,a,2,+(,a,+4),2,=16,圆,O,2,方程为,x,2,+,y,2,=16.,(2)圆,O,2,过点(0,-4)、(4,0),圆,O,2,圆心所在直线为,y,=-,x,不妨设圆心坐标为(,m,-,m,),两圆在交点处切线相互垂直,且圆,O,1,圆心坐标为(4,4,),半径为4,(,m,-4,),2,+(-,m,-4,),2,=4,2,+,m,2,+(-,m,+4),2,m,=-4,圆,O,2,方程为(,x,+4),2,+(,y,-4),2,=80,圆,O,1,与圆,O,2,方程相减并整理得直线,MN,方程为,x,+(3-2,),y,-12(,-1)=0.,47/72,8.,(江苏南京模拟,17)在平面直角坐标系,xOy,中,圆,O,:,x,2,+,y,2,=1,P,为直线,l,:,x,=,t,(1,t,0)及圆上点,A,(0,-,r,),过点,A,直线,l,交圆于另一点,B,交,x,轴于点,C,若|,OC,|=|,BC,|,则直线,l,斜率为,.,答案,52/72,解析,直线,l,斜率显然存在,设为,k,则直线,l,:,y,=,kx,-,r,与,x,2,+,y,2,=,r,2,联立,解得,B,而,C,由|,OC,|=|,BC,|得,=,+,解得,k,=,.,思绪分析,直线,l,斜率显然存在,设为,k,则直线,l,方程为,y,=,kx,-,r,求出,B,、,C,坐标,利用|,OC,|=|,BC,|建立方程,即可求出直线,l,斜率.,3.,(苏锡常镇四市教学情况调研(一),10)在平面直角坐标系,xOy,中,过点,M,(1,0)直线,l,与圆,x,2,+,y,2,=5交于,A,B,两点,其中,A,点在第一象限内,且,=2,则直线,l,方程为,.,答案,y,=,x,-1,53/72,解析,设,AM,=,m,由,=2,得,AB,=3,m,设,AB,中点为,D,则,MD,=,m,-,m,=,m,所以,OD,2,=1-,=,5-,解得,m,=,从而,OD,=,易知直线,l,斜率存在且大于0,设其斜率为,k,则直线,l,方程为,y,=,k,(,x,-1),即,kx,-,y,-,k,=0,所以,=,解得,k,=1或,k,=-1(舍).,从而所求直线,l,方程为,y,=,x,-1.,4.,(江苏扬州期末,13)已知圆,O,:,x,2,+,y,2,=4,若不过原点,O,直线,l,与圆,O,交于,P,、,Q,两点,且满足直,线,OP,、,PQ,、,OQ,斜率依次成等比数列,则直线,l,斜率为,.,答案,1,54/72,解析,由已知得,l,斜率存在.设,l,:,y,=,kx,+,b,(,b,0),代入圆方程,化简得(1+,k,2,),x,2,+2,kbx,+,b,2,-4=0.,设,P,(,x,1,y,1,),Q,(,x,2,y,2,),得,x,1,+,x,2,=-,x,1,x,2,=,k,OP,k,OQ,=,=,=,k,2,+,kb,+,=,k,2,+,kb,+,=,=,由,k,OP,k,OQ,=,k,2,得,=,k,2,解得,k,=,1.,5.,(江苏泰州调研,13)在平面直角坐标系,xOy,中,过点,P,(-5,a,)作圆,C,:,x,2,+,y,2,-2,ax,+2,y,-1=0两条切,线,切点分别为,M,(,x,1,y,1,),N,(,x,2,y,2,),且,+,=0,则实数,a,值为,.,答案,3或-2,55/72,解析,圆心为,C,(,a,-1),由,+,=0得,+,=,+,+2(,x,2,-,x,1,),又因为点,M,N,在圆上,所以,+,=2,ax,1,-2,y,1,+1,+,=2,ax,2,-2,y,2,+1,所以(,a,-1)(,x,2,-,x,1,)=,y,2,-,y,1,即,k,MN,=,=,a,-1,由题意得,MN,PC,k,PC,=,所以,k,MN,=,所以,=,a,-1,解之得,a,=3或,a,=-2.,56/72,二、解答题(共50分),6.,(江苏如东高级中学第二次学情调研,18)如图所表示,已知圆,A,圆心在直线,y,=-2,x,上,且该圆,上存在两点关于直线,x,+,y,-1=0对称,已知圆,A,与直线,l,1,:,x,+2,y,+7=0相切,过点,B,(-2,0)动直线,l,与圆,A,相交于,M,N,两点,Q,是,MN,中点,直线,l,与,l,1,相交于点,P,.,(1)求圆,A,方程;,(2)当|,MN,|=2,时,求直线,l,方程;,(3)(,+),是否为定值?假如是,求出定值;假如不是,请说明理由.,57/72,解析,(1)由圆,A,上存在两点关于直线,x,+,y,-1=0对称知圆心,A,在直线,x,+,y,-1=0上,由,得,则,A,(-1,2).,设圆,A,半径为,R,因为圆,A,与直线,l,1,:,x,+2,y,+7=0相切,所以圆,A,半径,R,=,=2,.,所以圆,A,方程为(,x,+1),2,+(,y,-2),2,=20.,(2)当直线,l,与,x,轴垂直时,其方程为,x,=-2,易知符合题意;,当直线,l,与,x,轴不垂直时,设直线,l,方程为,y,=,k,(,x,+2),即,kx,-,y,+2,k,=0,连接,AQ,则,AQ,MN,|,MN,|=2,|,AQ,|=,=1,由|,AQ,|=,=1,得,k,=,.,直线,l,方程为,y,=,(,x,+2),即3,x,-4,y,+6=0.,所求直线,l,方程为,x,=-2或3,x,-4,y,+6=0.,(3),AQ,BP,=0,58/72,(,+,),=2,=2(,+,),=2(,+,)=2,当直线,l,与,x,轴垂直时,得,P,则,=,又,=(1,2),(,+),=2,=-10.,当直线,l,斜率存在时,设直线,l,方程为,y,=,k,(,x,+2),由,解得,P,=,(,+,),=2,=2,=-10.,总而言之,(,+),是定值,定值为-10.,易错警示,求解第(2)、(3)问时不要忘了当直线,l,与,x,轴垂直时情况.,59/72,7.,(江苏如东高级中学期中,18)如图,地面上有一竖直放置圆形标志物,圆心为,C,与地面,接触点为,G,.与圆形标志物在同一平面内地面上点,P,处有一个观察点,且,PG,=50 m.在观察点正,前方10 m处(即,PD,=10 m)有一个高为10 m(即,ED,=10 m)广告牌遮住了视线,所以在观察点所能,看到圆形标志最大部分即为图中从,A,到,F,圆弧.,(1)若圆形标志物半径为25 m,以,PG,所在直线为,x,轴,G,为坐标原点,建立直角坐标系,求圆,C,和直线,PF,方程;,(2)若在点,P,处观察该圆形标志最大视角(即,APF,)正切值为,求该圆形标志物半径.,60/72,解析,(1)建系后,圆,C,方程为,x,2,+(,y,-25),2,=25,2,.,设直线,PF,方程为,y,=,k,(,x,+50)(,k,0),因为直线,PF,与圆,C,相切,所以,=25,解得,k,=,(,k,=0舍去).,所以直线,PF,方程为,y,=,(,x,+50),即4,x,-3,y,+200=0.,(2)以,PG,所在直线为,x,轴,G,为坐标原点建立直角坐标系,设直线,PF,方程为,y,=,k,(,x,+50)(,k,0),圆,C,方程为,x,2,+(,y,-,r,),2,=,r,2,(,r,0).,由已知得直线,PE,倾斜角为,.,因为tan,APF,=tan(,GPF,-,GPA,)=,=,所以,k,=,.,所以直线,PF,方程为,y,=,(,x,+50),即40,x,-9,y,+2 000=0.,因为直线,PF,与圆,C,相切,所以,=,r,解得,r,=40.,故该圆形标志物半径为40 m.,61/72,8.,(江苏连云港调研,17)如图,某城市有一块半径为1(单位:百米)圆形景观,圆心为,C,有两条,与圆形景观相切且相互垂直道路.最初规划在拐角处(图中阴影部分)只有一块绿化地,以后有,众多市民提议在绿化地上建一条小路,方便市民往返两条道路.规划部门采纳了此提议,决定在,绿化地中增建一条与圆,C,相切小道,AB,.问:,A,B,两点应选在何处可使得小道,AB,长度最短?,62/72,解析,如图,分别由两条道路所在直线为,x,轴,y,轴,建立直角坐标系,xOy,.,设,A,(,a,0),B,(0,b,)(0,a,1,0,b,1),则直线,AB,方程为,+,=1,即,bx,+,ay,-,ab,=0.,因为,AB,与圆,C,相切,且,C,(1,1),所以,=1.,化简得,ab,-2(,a,+,b,)+2=0,即,ab,=2(,a,+,b,)-2.,所以|,AB,|=,=,63/72,=.,因为0,a,1,0,b,1,所以0,a,+,b,2,于是|,AB,|=2-(,a,+,b,).,又,ab,=2(,a,+,b,)-2,解得0,a,+,b,4-2,或,a,+,b,4+2,.,因为0,a,+,b,2,所以0,a,+,b,4-2,所以|,AB,|=2-(,a,+,b,),2-(4-2,)=2,-2,当且仅当,a,=,b,=2-,时取等号,所以|,AB,|最小值为2,-2,此时,a,=,b,=2-,.,答:当,A,B,两点离道路交点都为(2-,)百米时,小道,AB,长度最短.,64/72,9.,(江苏泰州一模,17)如图,本市有一个健身公园,由一个以,PQ,为直径半圆和一个以,PQ,为,斜边等腰直角三角形,PRQ,组成,其中,O,为,PQ,中点,PQ,=2 km.现准备在公园里修建一条四边,形健康跑道,ABCD,按实际需要,四边形,ABCD,两个顶点,C,、,D,分别在线段,QR,、,PR,上,另外两个,顶点,A,、,B,在半圆上,AB,CD,PQ,且,AB,与,CD,间距离为1 km.设四边形,ABCD,周长为,c,km.,(1)若,C,、,D,分别为,QR,、,PR,中点,求,AB,长;,(2)求,c,最大值.,65/72,解析,(1)连接,RO,并延长,分别交,CD,、,AB,于,N,、,M,连接,OB,C,、,D,分别为,QR,、,PR,中点,PQ,=2,km,CD,=,PQ,=1 km,PRQ,为等腰直角三角形,PQ,为斜边,RO,=,PQ,=1 km,NO,=,RO,=,km.由题意知,MN,=1 km,MO,=,km.,易知,RO,PQ,RM,AB,在Rt,BMO,中,BO,=1 km,BM,=,=,km,AB,=2,BM,=,km.,(2)设,BOM,=,0,.,在Rt,BMO,中,BO,=1 km,BM,=sin,km,OM,=cos,km.,66/72,MN,=,RO,=1 km,CN,=,RN,=1-,ON,=,OM,=cos,km,BC,=,AD,=km,c,=,AB,+,CD,+,BC,+,AD,=2(sin,+cos,+),2,=2,当且仅当,=,或,时取等号,当,=,或,=,时,c,最大值为2,.,67/72,一、填空题,1.,(南通第三次调研考试)在平面直角坐标系,xOy,中,圆,C,1,:(,x,-1),2,+,y,2,=2,圆,C,2,:(,x,-,m,),2,+(,y,+,m,),2,=,m,2,若圆,C,2,上存在一点,P,满足:过点,P,向圆,C,1,作两条切线,PA,PB,切点分别为,A,B,ABP,面积为1,则,正数,m,取值范围是,.,C,组 高考模拟创新题组,答案,1,3+2,68/72,解析,设,P,(,x,y,),PA,与,PB,夹角为2,.,则,S,ABP,=,PA,2,sin 2,=,PA,2,=1,所以,PA,3,=,P,=,PA,2,+2,即,PA,3,-4+2-,PA,2,=0,亦即,PA,3,-(,),3,+(,+,PA,)(,-,PA,)=0,所以(,PA,2,+,PA,+,)(,-,PA,)=0,解得,PA,=,所以,PC,1,=2,所以点,P,在圆:(,x,-1),2,+,y,2,=4上.,所以|,m,-2|,m,+2,解得1,m,3+2,.,思绪分析,因为定圆,C,1,半径是已知,所以要考虑把面积转化为切线及夹角关系,利用直角,三角形再转化为切线长关系,从而转化为两圆位置关系求解.,易错警示,对形如,x,3,+,px,+,q,多项式分解因式,普通采取拆一次项方法.,69/72,2.,(江苏常州第一中学、江阴南菁高中联考,14)已知,P,点为圆,O,1,与圆,O,2,公共点,圆,O,1,:(,x,-,a,),2,+,(,y,-,b,),2,=,b,2,+1,圆,O,2,:(,x,-,c,),2,+(,y,-,d,),2,=,d,2,+1,若,ac,=8,=,则点,P,与直线,l,:3,x,-4,y,-25=0上任意一点,M,之间,距离最小值为,.,答案,2,70/72,解析,因为,ac,=8,=,所以,=,从而两圆圆心,O,1,(,a,b,)、,O,2,(,c,d,)、原点三点共线,不妨设,=,=,k,结合,ac,=8得,c,=,b,=,ka,d,=,kc,=,因为,O,1,:(,x,-,a,),2,+(,y,-,b,),2,=,b,2,+1,O,2,:(,x,-,c,),2,+(,y,-,d,),2,=,d,2,+1,所以公共弦所,在直线方程为(2,c,-2,a,),x,+(2,d,-2,b,),y,=,c,2,-,a,2,即2,x,+2,k,y,-,=0,当,a,2,时,公共弦所在直线方程为2,x,+2,ky,=,+,a,即2,ax,+2,kay,=,a,2,+8,亦即2,ax,+2,by,=,a,2,+8,因为圆,O,1,:(,x,-,a,),2,+(,y,-,b,),2,=,b,2,+1可化为,x,2,+,y,2,=2,ax,+2,by,-,a,2,+1,所以,x,2,+,y,2,=9,所以点,P,为圆,x,2,+,y,2,=9上点,且易知圆心,O,(0,0),半径,r,=3.,因为圆心,O,到直线3,x,-4,y,-25=0距离,d,1,=,=5,所以点,P,(,x,y,)到直线3,x,-4,y,-25=0距离最小,值为2.此时,点,P,(,x,y,)与直线3,x,-4,y,-25=0上任意一点,M,之间距离最小值为2.,当,a,=,2,时,a,=,c,b,=,d,此时两圆重合,不符合题意,故答案为2.,71/72,二、解答题,3.,(江苏丹阳高级中学创新班练习)定义直线关于圆圆心距单位,:圆心到直线距离与圆,半径之比.显然有:当直线与圆相交时,圆心距单位,小于1;当直线与圆相切时,圆心距单位,等,于1;当直线与圆相离时,圆心距单位,大于1.,(1)设圆,C,0,:,x,2,+,y,2,=1,求过点,P,(2,0)直线关于圆,C,0,圆心距单位,=,直线方程;,(2)若圆,C,与,x,轴相切于点,A,(3,0),且直线,y,=,x,关于圆,C,圆心距单位,=,求圆,C,方程.,解析,(1)由题意可得出圆,C,0,圆心到过点,P,(2,0)直线距离为,易得所求直线方程为,y,=,(,x,-2).,(2)由题意可设所求圆方程为(,x,-3),2,+(,y,-,r,),2,=,r,2,或(,x,-3),2,+(,y,+,r,),2,=,r,2,因为直线,y,=,x,关于圆,C,圆心距,单位,=,所以圆心到直线距离为,r,即,r,=,r,=1或3,所以所求圆,C,方程为(,x,-3),2,+,(,y,-1),2,=1或(,x,-3),2,+(,y,+3),2,=9.,72/72,