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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,概率论与数理统计复习课,武汉理工大学统计学系 毛树华,第1页,例1、填空题：,1、已知,(1)当,A、B,互不相容时，,(2)当,A、B,相互独立时，,(3)当 时，,2、已知,则,二、常见例题精解,第2页,3、一个零件加工由两道工序组成，第一道工序废品率为,p,，第二道工序废品率为,q,则该零件加工成品率为,_。,4、甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.5和0.4，现已知目标被击中，则它是乙射中概率是,。,5、设三次独立试验中，事件A出现概率相等，若已知A最少出现一次概率为 ，则在一次试验中事件A出现概率为,。,第3页,例2、单项选择题：,1、以,A,表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件为（）,A,“甲种产品滞销，乙种产品畅销”；,B,“甲、乙两种产品均畅销”；,C,“甲种产品滞销”；,D,“甲种产品滞销或乙种产品畅销”。,第4页,2、假如事件 、有 ，则下述结论正确是（）,A,与 必同时发生,B,发生，必发生；,C,不发生，必不发生,D,不发生，必不发生,3、掷两枚均匀硬币，出现“一正一反”概率是（）,A,；,B,；,C,；,D,。,第5页,4、设 、为任意两个事件，且 ，,，则以下选项必定成立是（）,5、已知 ，假如它们满足条件（）时，则能使等式,成立。,A,是一个完备事件组；,B,两两互斥；,第6页,C,相互独立；,D,并集是全集。,，,且 ，,例3、设两两独立三个事件,A、B、C,，满足,求,答案：,解：因为 三事件两两独立，所以,第7页,又因为,所以,例4、用三个机床加工同一个零件，零件由各机床加工概率分别为0.5、0.3、0.2，各机床加工零件为合格品概率分别为0.94、0.90、0.95，求全部产品合格率。,第8页,解：设 分别表示零件由第一、第二、第三个车床加工，表示产品为合格品。则由题意得：,从而:,第9页,例5、假定某工厂甲、乙、丙个车间生产同一螺钉。产量依次占全厂45%，35%，20%，假如每个车间次品率依次为4%，%，5%。现在从待出厂产品中检验出个次品，问它是由甲车间生产概率是多少？,解：设 分别表示螺钉由甲、乙、丙三个厂生产，表示螺钉为次品。则由题意得：,第10页,从而:,例6、甲、乙两人各自向同一目标射击，已知甲命中目标概率为 0.7，乙命中目标概率为0.8 求：,第11页,(1)甲、乙两人同时命中目标概率；,(2)恰有一人命中目标概率；,(3)目标被命中概率。,解:设 分别表示甲乙命中目标,。则,第12页,例7、设 ,，,证实：。,证:,第13页,例8、将二信息分别编码为0和1传送出去，接收站接收时，0被误收作1概率为0.02，而1被误收作0概率为0.01，信息0和1传送频繁程度为2:,1,，若接收站收到信息是0，问原发信息是0概率是多少？,解:设 表示发送编码为0;表示接收编码为0;由题意知,第14页,从而:,第15页,第二章 习题课,第16页,一、内容概要,1、随机变量定义,设 是随机试验，它样本空间 ，假如对于每一个 ，有一个实数 与之对应，这么就得到一个定义在 上单实值函数 ，称之为,随机变量,。,2、离散型随机变量及其分布列,第17页,假如随机变量 只取有限个或可数个值,而且取各个值对应概率为,即,则称 为,离散型随机变量,，上式称为,概率分布,，又称,分布密度,或,分布列,。,离散型随机变量分布列含有以下性质：,第18页,（2）,（1）,3、分布函数及其性质,设 是一个随机变量，是任意实数，函数,称为,分布函数,。,第19页,4、连续型随机变量及其概率密度,即 是右连续。,分布函数含有以下性质：,第20页,则称 为连续型随机变量，为,概率密度函数,，简称,概率密度,。,设 是随机变量 分布函数，假如存在一非负函数 ，使对任意实数 有,概率密度函数含有以下性质：,第21页,（3）对任意实数 有,（4）若 在点 处连续，则,5、惯用概率分布,（1）0-1分布,第22页,（2）二项分布,（3）泊松分布,第23页,（4）几何分布,（5）均匀分布,（6）正态分布,第24页,当 时，称为标准正态分布,记为 。其密度函数和分布函数惯用,和 表示：,第25页,（7）指数分布,6、二维随机变量及联合分布,第26页,设 是两个随机变量，假如对任意一组实数 ，使得,是一个随机事件，则称为,二维随机变量,。,为二维随机变量 联合分布函数。,对应地，称,第27页,为 分别关于 和,边缘分布函数,。,称,第28页,7、二维离散随机变量概率分布,为,联合分布列,或,分布列,。,设二维离散型随机变量 可能取值为 ，对应概率为,，则称,第29页,称,分别为关于 和,边缘分布列,。,8、二维连续随机变量概率密度,第30页,设二维随机变量 分布函数 ，假如存在一非负可积二元函数 ，使对任意实数 有,则称 是,二维连续型随机变量,，对应二元函数 称为,联合密度,。它含有以下性质：,第31页,（3）在 连续点,，,有,（4）对平面上任意区域,第32页,（5）和 边缘密度函数分别为,9、二维均匀分布和正态分布,设 是平面上有界区域，其面积为 。若二维随机变量 含有概率密度,第33页,则称 在 上服从,二维均匀分布,。,若二维随机变量 含有概率密度：,第34页,其中,均为常数,且,则称 服从参数为,二维正态分布,。,10、随机变量独立性,设 是两个随机变量，若对任意实数,有,第35页,则称 与 是,相互独立,。,随机变量 和 相互独立充分必要条件是：,连续型随机变量 与 相互独立充分必要条件是：,第36页,离散,型随机变量 与 相互独立充分必要条件是：,11、随机变量函数分布,则 也是一离散型随机变量，且其分布列为：,若,是一维,离散型随机变量，其,分布列为,第37页,若已知 ，,是严格单调函数，其反函数 有连续导数。则,也是连续型随机变量，其概率密度为：,（注：,使反函数无意义 ，,定义概率密度为0）,第38页,假如 联合概率密度为 ，,则随机变量,概率密度为,尤其地，当 与 相互独立时，,上式称为 和,卷积公式,。,第39页,二、常见例题精解,例1、填空题,1、设随机变量X与Y相互独立，且它们分布列均为：，则,=,。,2、设X,N,（），其中 =2，未知，若已知P（2X4）=0.3，则,P,（,X,1）=,。,5、已知随机变量 X 分布函数为：,则 A=,，B=,=,，,X,密度函数,。,第41页,例2、设随机变量 X 概率密度函数为：,试求：（1）系数 ；,（2）求 （3）分布函数,答案：1、；2、0.2；3、；4、1-3e,-2,；5、；,解：（1），所以,第42页,当 时，,（3）,当 时，,当 时，。,所以,第43页,解：,例4、设随机变量X服从区间（2，5）上,例3、某种电池寿命服从正态分布,N,（），其中 ，求 ，使寿命在 与,之间概率大于0.9。,第44页,均匀分布，现在对X进行三次独立观察，试求最少有两次观察值大于3概率。,解:设 表示观察值大于3次数 ,则,例5、已知,X,和,Y,为同一分布随机变量，并知道 且有 ，试求,（,X，Y,）联合分布列；并求,第45页,解：因为,第46页,依据联合分布与边缘分布列关系，有：,所以(,X,，,Y,)联合分布列以下表：,第47页,（1）求关于 和 边缘概率密度 ；,（2）判断 与 是否相互独立；,满足 点为 它们对应概率全为0，所以,例6、已知 联合概率密度为：,（3）求 ；。,第48页,，,解：（1）对于,所以,（2）显然 ，所以 与,不独立。,（3）,对于 ，所以,第49页,第50页,例,2,(1)求,F,(,x,y,);,1,D,1,O,x,y,(2)求(,X,Y,)落在区域,D,内概率,区域,D,如图,所表示.,第51页,解,(1),第52页,(2),1,D,1,0,x,y,第53页,第54页,第55页,第56页,第57页,第58页,第59页,第60页,备用题,第61页,第62页,第63页,备用题,第64页,第65页,第三章 习题课,第66页,一、内容概要,1、数学期望,（1）设离散型随机变量 分布列为,假如 收敛，则称级数,和为随机变量,X,数学期望,，记为,第67页,即,（2）设,X,为连续型随机变量，概率密度,为 ，假如积分 绝对收敛，则称,积分 值为连续型随机变量,X,数学期望,，记为 ，即,第68页,(3)设 是随机变量 函数：,若 是离散型随机变量，其分布列为,假如级数 收敛，则,若 是连续型随机变量，概率密度为,第69页,假如 收敛，则有,（4）二维随机变量函数数学期望,假如 是二维随机变量，是关于,X,和,Y,二元函数，,当 是二维离散型随机变量，其联,合分布列为,第70页,则,当 是二维连续型随机变量，其联合概率密度为 ，则,第71页,（5）数学期望性质,假如,X,、,Y,是两个随机变量，,C,为任意常数，且 都存在，则数学期望有以下四条常见性质。,假如,X,与,Y,相互独立，则,第72页,2、方差,（1）对随机变量,X,，假如 存在，则称 值为随机变量,X,方差,，即,（2）方差性质,第73页,3、协方差和相关系数,设（,X，Y,）是二维随机变量,假如,存在,则称之为,X,与,Y,协方差,记为,第74页,即,而,称之为,X,与,Y,相关系数,。,协方差和相关系数含有以下几条性质：,第75页,充分必要条件是存在,常数a，b 使,当,X,、,Y,相互独立时，,第76页,4、常见分布数学期望和方差,泊松分布,几何分布,二项分布,0-1分布,名 称,2,/,),1,(,p,p,-,第77页,名 称,均匀分布,正态分布,指数分布,第78页,例1、填空题,1、已知,。,2、相互独立，则,；,3、若,X,服从区间 上均匀分布，则,。,二、常见例题精解,第79页,4、若 ，则,。,5、某人进行投篮训练，命中率为,p,，一旦投中就可结束训练,则需要投篮次数方差是,。,答案：1、37;2、11;3、0;4、2.5;5、。,例2、设随机变量 服从参数为1指数分布，求数学期望 。,解：,故,第80页,例3、飞机在第一次飞行后必须进行检修概率是0.4，在以后两次飞行中，每一次飞行后其被检修概率各增加0.1，求三次飞行后修理次数数学期望。,解：表示第 次飞行后须进行检修次数，,则,，其分布列为：,第81页,所以,例4、设随机变量 与 独立，且均服从正态分布 ，求 、及,解：因为 ，所以,又,所以,第82页,例5、若二维随机变量（,X,Y,）概率密度为,求,（1）,，；,（2）,（3）,问 是否相互独立。,第83页,解：（1）,（2）由（1）同理可知：,第84页,（3）因为 ，所以 不相互独立。,第85页,第四章 习题课,第86页,一、内容概要,1、切比雪夫不等式,设随机变量,X,有数学期望 和 方差,则对于任意给定正数 总成立不,等式,第87页,2、依概率收敛,设 为一个随机变量序列，,a,是一个常数，若对于任意正数 都有,则称随机变量序列,依概率收敛,于,a,。,(,),.,1,lim,=,G,=,-,-,0,0,0,),2,(,2,1,),;,(,2,1,2,2,2,x,x,e,x,n,n,x,x,n,n,c,第110页,分布含有以下性质：,（1）,设 ，且它们相互独立，则,（2）,设 则有,第111页,5、分布,所服从分布是自由度为,n,t,分布，记作:,则称统计量,设,且,X,与,Y,相互独立，,第112页,6、分布及其性质,所服从分布为自由度是（,m,n,),F,分布，,则称,设,且,X,与,Y,相互独立,则,假如,第113页,7、正态总体样本均值与样本方差分布,（1）,（2）与 相互独立;,（3）,与,方差，则,若,是来自正态总体,一个样本，,分别为样本均值与样本,第114页,（4）,),2,(,1,1,),(,),(,12,2,1,-,+,+,-,-,-,=,m,n,t,m,n,S,Y,X,T,m,m,样本，且它们相互独立，则,设,和,来自正态总体,和,是分别,两个,第115页,其中,第116页,二、常见例题精解,例1填空题,1设统计量 ，则,；,2设 ，为样本，是样,本均值。则 服从分布为,；,3设,则,=,；,第117页,4 ，为样本。若要求,则 =,；,5总体 与 相互独立，且,与,是两总,体中抽取独立样本。,与 是两样本方差,则,。,答案 1.；2.；3.；4.；,5.,第118页,例2设总体 ,是简单随机样本,为样本均值,(1)若 ,计算 ;(2)若要求 ,最少 取多大？,解：（1）因为 所以,（2）为使,第119页,所以 最少取 1537。,例3设 ，是简单随机样本,试决定常数 ,使 服从 分布。,解：因为,第120页,所以,故 。,例4 ，抽取样本容量 简单随机样本，计算:,解：因为 ，所以，,第121页,当 时，有,解：因为 所以,例5设 ，为样本,为样本方差，即,已知,求,第122页,例6 ，且相互独立，,从 、两总体中分别抽取 ，和 简单随机样本，样本方差分别为 与 计算,解：因为，所以,第123页,第124页,第六章 习题课,第125页,一、内容概要,1、预计量与预计值,设总体 分布函数 形式为已知，是待估参数,是 一个样本,是对应一个样本值,点预计问题就是要结构一个适当统计量 用其观察值 来预计未知参数。,称为,预计量,，,称为,预计值,。,第126页,2、矩预计法,用样本各阶原点矩作为总体各阶原点矩预计而求得求知参数预计量称为矩预计量。,3、极大似然预计,设总体 含有概率密度函数 或分布列函数 ，是 维参数向量，样本 联合密度函数,第127页,称为,似然函数,。,或者,假定在 给定条件下，存在 维统计量,第128页,使得似然函数,在,取得极大值，则称 是,极大似然预计量,。,假如似然函数关于 可微，则使似然函数到达最大 一定满足以下正则方程组：,第129页,4、预计量衡量标准,（1）无偏性,是,一个预计量，假如,成立，则称,是,一个,无偏预计量,。,设,（2）有效性,设,都是未知参数,无偏预计,若,则称,预计,量,较,有效,。,第130页,若,无偏预计,满足,则称,为,有效预计,或,最小方差无偏预计,。,（3）一致性,设,为未知参数,预计量，若对任意正数,有,则称,为,一致预计,。,1,),(,lim,=,-,e,q,q,n,n,P,第131页,5、置信区间,且,若对于给定,有,则称随机区间 是参数,置信区间,或,区间预计,，分别称为,设总体,X,分布中含有未知参数,由样本,结构两统计量：,及,1,),(,2,1,a,q,q,q,-,=,P,第132页,置信下限,和,置信上限,，称为,置信水平,或,置信度,或,置信概率,。,第133页,二、常见例题精解,例1填空题,1、设是来自正态总体容量 为3样本，其中,则 皆为,预计，其中,_,在 预计中最有效。,_,2、设 总体服从0 上均匀分布，其中,第134页,为未知参数，为来自总体,X,样,本，则 矩预计量是,，极大似然预计是,。,3、设总体 概率密度是,(是未知参数),为来自总体,X,样本，则极大似然函数,_,极大,似然预计量是,_。,4,、设总体,X,服从 ，已知。,第135页,为来自总体,X,样本，则 置信度为 置信区间是,。,5、设总体,X,服从分布 ，其中 为未知参数，为固定整数，则 极大似然预计量是,。,答案：1.无偏预计，2.，,3.，；,4.5.,第136页,解：由总体,X,概率密度函数知，似然函,数为：,例2设总体,X,分布列为：，,是来自总体X容量为,样本，求 极大似然预计量。,取对数,令,第137页,解得极大似然预计值为：,所以,极大似然预计量为：。,例3设总体,X,分布列为：,0 1 2 3,其中 是未知参数，利用总体,X,以下样本值：3，1，3，0，3，1，2，3，求,第138页,矩预计值和极大似然预计值。,解：（1）利用 得：,所以 矩预计值为：。,（2）由已知似然函数为：,取对数,令,，解之得：,解得极大似然预计值为：,第139页,例4设总体,X,服从1，2，,N,上均匀分布，即,其中,N,是未知,参数（,N,为正整数），试求,N,矩预计量。,解：利用 得：，,解之得：，所以,N,矩预计量为：,例5设 是来自总体,X,一个简单随机样本，,X,密度函数,第140页,求未知参数 矩预计量与极大似然预计量。,解：,由替换原,则 ，得：,所以，为,又似然函数为：,第141页,两边对 求导得似然方程,，即,，所以，极大似然预计量为,第142页,
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