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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第二节,证实不等式基本方法,1/64,2/64,【,教材基础回顾,】,1.,比较法,ab,ab,aa,3,b,2,+a,2,b,3,.,【,证实,】,因为,a,5,+b,5,-(a,3,b,2,+a,2,b,3,)=a,5,-a,2,b,3,+b,5,-a,3,b,2,=a,2,(a,3,-b,3,)+b,2,(b,3,-a,3,)=(a,3,-b,3,)(a,2,-b,2,),=(a-b),2,(a,2,+ab+b,2,)(a+b),8/64,又因为,ab,所以,(a-b),2,0,又,a,bR,+,所以,a,2,+ab+b,2,0,a+b0,故,(a-b),2,(a,2,+ab+b,2,)(a+b)0,即,a,5,+b,5,a,3,b,2,+a,2,b,3,.,9/64,2.,已知,a0,b0,c0,且,a,b,c,不全相等,求证,:,10/64,【,证实,】,因为,a,b,c(0,+),所以,同理,因为,a,b,c,不全相等,所以上述三个不等式中最少有一个等号不成立,三式,相加,得,2(a+b+c),即,a+b+c.,11/64,3.,求证,:,【,证实,】,故原不等式成立,.,12/64,4.,已知,a0,且,a1,P=log,a,(a,3,+1),Q=log,a,(a,2,+1),试比较,P,Q,大小,.,【,解析,】,P-Q=log,a,(a,3,+1)-log,a,(a,2,+1)=,当,0a1,时,0a,3,+1a,2,+1,0 0,所以,PQ.,13/64,当,a1,时,a,3,+1a,2,+10,1,所以,即,P-Q0,所以,PQ.,所以,总而言之,PQ.,14/64,【,母题变式溯源,】,题号,知识点,源自教材,1,作差法比,较大小,P21,例,1,2,综正当,P23,例,1,3,分析法,P24,例,3,4,作差法比,较大小,P26,习题,2.2T7,15/64,考向一 综正当证实不等式,【,典例,1】,(,全国卷,),设,a,b,c,d,均为正数,且,a+b=c+d.,证实,:,(1),若,abcd,则,(2),是,|a-b|cd,得,所以,17/64,(2)(i),若,|a-b|c-d|,则,(a-b),2,(c-d),2,即,(a+b),2,-4abcd.,由,(1),得,18/64,(ii),若 则,即,因为,a+b=c+d,所以,abcd.,于是,(a-b),2,=(a+b),2,-4ab(c+d),2,-4cd,=(c-d),2,.,19/64,所以,|a-b|c-d|.,综上,是,|a-b|0,b0,a,3,+b,3,=2,证实,:(1)(a+b)(a,5,+b,5,)4.,(2)a+b2.,27/64,【,证实,】,(1)(a+b)(a,5,+b,5,)=a,6,+ab,5,+a,5,b+b,6,=(a,3,+b,3,),2,-2a,3,b,3,+ab(a,4,+b,4,),=4+ab(a,2,-b,2,),2,4.,(2),因为,(a+b),3,=a,3,+3a,2,b+3ab,2,+b,3,=2+3ab(a+b),所以,(a+b),3,8,所以,a+b2.,28/64,2.,已知,ABC,中角,A,B,C,所正确边长分别为,a,b,c,且其中任意两边长均不相等,.,若,a,b,c,成等差数列,.,求证,:0B,29/64,【,证实,】,因为,ABC,三边,a,b,c,成等差数列,所以,2b=a+c,再依据,所以,B,所以,00,b0,2ca+b,求证,:,31/64,【,证实,】,要证,只要证,即要证,|a-c|,即要证,(a-c),2,c,2,-ab,即要证,a,2,-2ac0,所以即要证,a-2c-b,即要证,a+b0,a,bR,求证,:,36/64,【,证实,】,因为,m0,所以,1+m0.,欲证 成立,.,只需证实,(a+mb),2,(1+m)(a,2,+mb,2,),即证,m(a,2,-2ab+b,2,)0,只要证实,a,2,-2ab+b,2,0,37/64,又,a,2,-2ab+b,2,=(a-b),2,0,显然成立,故,38/64,2.,已知,ab,求证,:,【,证实,】,要证,只需证,:,(a-b),2,即,1+a,2,-+1+b,2,a,2,-2ab+b,2,化简,1+ab,39/64,当,1+ab0,时,显然成立,当,1+ab0,时,只需证,(1+ab),2,(1+a,2,)(1+b,2,),即,1+2ab+a,2,b,2,2ab,即只需证,a,2,+b,2,2ab,即可,40/64,又,ab,所以,a,2,+b,2,2ab,综上可知,当,ab,时,成立,.,41/64,考向三 比较法证实不等式,高频考点,42/64,【,典例,3】,(1),当,p,q,都是正数且,p+q=1,时,试比较,(px+qy),2,与,px,2,+qy,2,大小,.,(2),已知,a,bR,+,求证,:a,a,b,b,43/64,【,解析,】,(1)(px+qy),2,-(px,2,+qy,2,),=p,2,x,2,+q,2,y,2,+2pqxy-(px,2,+qy,2,),=p(p-1)x,2,+q(q-1)y,2,+2pqxy.,因为,p+q=1,所以,p-1=-q,q-1=-p.,所以,(px+qy),2,-(px,2,+qy,2,),=-pq(x,2,+y,2,-2xy)=-pq(x-y),2,.,44/64,因为,p,q,为正数,所以,-pq(x-y),2,0,所以,(px+qy),2,px,2,+qy,2,.,当且仅当,x=y,时,不等式中等号成立,.,45/64,(2),当,a=b,时,当,ab,时,由指数函数性质知,46/64,当,ab0,时,49/64,当,ba0,时,所以 ,1,即,a,b,b,a,50/64,【,技法点拨,】,比较法证实不等式步骤,1.,作差比较法,(1),作差比较法证实不等式普通步骤,:,作差,:,将不等式左右两边式子看作一个整体作差,;,51/64,变形,:,将差式进行变形,化简为一个常数,或通分,因式分解变形为若干个因式积,或配方变形为一个或几个平方和等,;,判号,:,依据已知条件与上述变形结果,判断不等式两边差正负号,;,结论,:,必定不等式成立结论,.,52/64,(2)作差比较法应用范围:,当被证不等式两端是多项式、分式或对数式时,普通使用作差比较法.,53/64,2.作商比较法,(1)作商比较法证实不等式普通步骤:,作商:将不等式左右两边式子作商;,变形:将商式分子放(缩),分母不变,或分子不变,分母放(缩),或分子放(缩),分母缩(放),从而化简商式为轻易和1比较大小形式;,54/64,判断:判断商与1大小关系,就是判断商大于1或小于1或等于1;,结论.,(2)作商比较法应用范围:,当被证不等式两边含有幂式或指数式或乘积式时,普通使用作商比较法.,55/64,【,同源异考,金榜原创,】,命题点,1,作差法证实不等式,1.,已知,a,b,为正实数,.,(1),求证,:a+b.,(2),利用,(1),结论求函数,y=(0 x0,b0,所以,当且仅当,a=b,时等号成立,.,所以 ,a+b.,57/64,(2),因为,0 x0,由,(1),结论,函数,y=,(1-x)+x=1.,当且仅当,1-x=x,即,x=,时等号成立,.,所以函数,y=(0 x0,所以只需证,a,2,+c,2,-b,2,0,即,a,2,+c,2,b,2,因为,a,2,+c,2,2ac,所以只需证,2acb,2,63/64,由已知得,2ac=b(a+c).,所以只需证,b(a+c)b,2,即,a+cb,显然成立,.,所以,B,为锐角,.,64/64,
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