高考数学复习选考部分不等式选讲2证明不等式的基本方法文市赛课公开课一等奖省名师优质课获奖课件.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第二节,证实不等式基本方法,1/64,2/64,【,教材基础回顾,】,1.,比较法,ab,ab,aa,3,b,2,+a,2,b,3,.,【,证实,】,因为,a,5,+b,5,-(a,3,b,2,+a,2,b,3,)=a,5,-a,2,b,3,+b,5,-a,3,b,2,=a,2,(a,3,-b,3,)+b,2,(b,3,-a,3,)=(a,3,-b,3,)(a,2,-b,2,),=(a-b),2,(a,2,+ab+b,2,)(a+b),8/64,又因为,ab,所以,(a-b),2,0,又,a,bR,+,所以,a,2,+ab+b,2,0,a+b0,故,(a-b),2,(a,2,+ab+b,2,)(a+b)0,即,a,5,+b,5,a,3,b,2,+a,2,b,3,.,9/64,2.,已知,a0,b0,c0,且,a,b,c,不全相等,求证,:,10/64,【,证实,】,因为,a,b,c(0,+),所以,同理,因为,a,b,c,不全相等,所以上述三个不等式中最少有一个等号不成立,三式,相加,得,2(a+b+c),即,a+b+c.,11/64,3.,求证,:,【,证实,】,故原不等式成立,.,12/64,4.,已知,a0,且,a1,P=log,a,(a,3,+1),Q=log,a,(a,2,+1),试比较,P,Q,大小,.,【,解析,】,P-Q=log,a,(a,3,+1)-log,a,(a,2,+1)=,当,0a1,时,0a,3,+1a,2,+1,0 0,所以,PQ.,13/64,当,a1,时,a,3,+1a,2,+10,1,所以,即,P-Q0,所以,PQ.,所以,总而言之,PQ.,14/64,【,母题变式溯源,】,题号,知识点,源自教材,1,作差法比,较大小,P21,例,1,2,综正当,P23,例,1,3,分析法,P24,例,3,4,作差法比,较大小,P26,习题,2.2T7,15/64,考向一 综正当证实不等式,【,典例,1】,(,全国卷,),设,a,b,c,d,均为正数,且,a+b=c+d.,证实,:,(1),若,abcd,则,(2),是,|a-b|cd,得,所以,17/64,(2)(i),若,|a-b|c-d|,则,(a-b),2,(c-d),2,即,(a+b),2,-4abcd.,由,(1),得,18/64,(ii),若 则,即,因为,a+b=c+d,所以,abcd.,于是,(a-b),2,=(a+b),2,-4ab(c+d),2,-4cd,=(c-d),2,.,19/64,所以,|a-b|c-d|.,综上,是,|a-b|0,b0,a,3,+b,3,=2,证实,:(1)(a+b)(a,5,+b,5,)4.,(2)a+b2.,27/64,【,证实,】,(1)(a+b)(a,5,+b,5,)=a,6,+ab,5,+a,5,b+b,6,=(a,3,+b,3,),2,-2a,3,b,3,+ab(a,4,+b,4,),=4+ab(a,2,-b,2,),2,4.,(2),因为,(a+b),3,=a,3,+3a,2,b+3ab,2,+b,3,=2+3ab(a+b),所以,(a+b),3,8,所以,a+b2.,28/64,2.,已知,ABC,中角,A,B,C,所正确边长分别为,a,b,c,且其中任意两边长均不相等,.,若,a,b,c,成等差数列,.,求证,:0B,29/64,【,证实,】,因为,ABC,三边,a,b,c,成等差数列,所以,2b=a+c,再依据,所以,B所以,00,b0,2ca+b,求证,:,31/64,【,证实,】,要证,只要证,即要证,|a-c|,即要证,(a-c),2,c,2,-ab,即要证,a,2,-2ac0,所以即要证,a-2c-b,即要证,a+b0,a,bR,求证,:,36/64,【,证实,】,因为,m0,所以,1+m0.,欲证 成立,.,只需证实,(a+mb),2,(1+m)(a,2,+mb,2,),即证,m(a,2,-2ab+b,2,)0,只要证实,a,2,-2ab+b,2,0,37/64,又,a,2,-2ab+b,2,=(a-b),2,0,显然成立,故,38/64,2.,已知,ab,求证,:,【,证实,】,要证,只需证,:a-b),2,即,1+a,2,-+1+b,2,a,2,-2ab+b,2,化简,1+ab,39/64,当,1+ab0,时,显然成立,当,1+ab0,时,只需证,(1+ab),2,(1+a,2,)(1+b,2,),即,1+2ab+a,2,b,2,2ab,即只需证,a,2,+b,2,2ab,即可,40/64,又,ab,所以,a,2,+b,2,2ab,综上可知,当,ab,时,成立,.,41/64,考向三 比较法证实不等式,高频考点,42/64,【,典例,3】,(1),当,p,q,都是正数且,p+q=1,时,试比较,(px+qy),2,与,px,2,+qy,2,大小,.,(2),已知,a,bR,+,求证,:a,a,b,b,43/64,【,解析,】,(1)(px+qy),2,-(px,2,+qy,2,),=p,2,x,2,+q,2,y,2,+2pqxy-(px,2,+qy,2,),=p(p-1)x,2,+q(q-1)y,2,+2pqxy.,因为,p+q=1,所以,p-1=-q,q-1=-p.,所以,(px+qy),2,-(px,2,+qy,2,),=-pq(x,2,+y,2,-2xy)=-pq(x-y),2,.,44/64,因为,p,q,为正数,所以,-pq(x-y),2,0,所以,(px+qy),2,px,2,+qy,2,.,当且仅当,x=y,时,不等式中等号成立,.,45/64,(2)当,a=b,时,当,ab,时,由指数函数性质知,46/64,当,ab0,时,49/64,当,ba0,时,所以 ,1,即,a,b,b,a,50/64,【,技法点拨,】,比较法证实不等式步骤,1.,作差比较法,(1),作差比较法证实不等式普通步骤,:,作差,:,将不等式左右两边式子看作一个整体作差,;,51/64,变形,:,将差式进行变形,化简为一个常数,或通分,因式分解变形为若干个因式积,或配方变形为一个或几个平方和等,;,判号,:,依据已知条件与上述变形结果,判断不等式两边差正负号,;,结论,:,必定不等式成立结论,.,52/64,(2)作差比较法应用范围:,当被证不等式两端是多项式、分式或对数式时,普通使用作差比较法.,53/64,2.作商比较法,(1)作商比较法证实不等式普通步骤:,作商:将不等式左右两边式子作商;,变形:将商式分子放(缩),分母不变,或分子不变,分母放(缩),或分子放(缩),分母缩(放),从而化简商式为轻易和1比较大小形式;,54/64,判断:判断商与1大小关系,就是判断商大于1或小于1或等于1;,结论.,(2)作商比较法应用范围:,当被证不等式两边含有幂式或指数式或乘积式时,普通使用作商比较法.,55/64,【,同源异考,金榜原创,】,命题点,1,作差法证实不等式,1.,已知,a,b,为正实数,.,(1),求证,:a+b.,(2),利用,(1),结论求函数,y=(0 x0,b0,所以,当且仅当,a=b,时等号成立,.,所以 ,a+b.,57/64,(2),因为,0 x0,由,(1),结论,函数,y=,(1-x)+x=1.,当且仅当,1-x=x,即,x=,时等号成立,.,所以函数,y=(0 x0,所以只需证,a,2,+c,2,-b,2,0,即,a,2,+c,2,b,2,因为,a,2,+c,2,2ac,所以只需证,2acb,2,63/64,由已知得,2ac=b(a+c).,所以只需证,b(a+c)b,2,即,a+cb,显然成立,.,所以,B,为锐角,.,64/64,