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,3.4,生活中优化问题举例,第1页,第2页,类型一面积、体(容)积相关最值问题,【典例1】,如图,四边形ABCD是一块边长为4km正方形,地域,地域内有一条河流MD,其经过路线是以AB中,点M为顶点且开口向右抛物线(河流宽度忽略不计).,新长城企业准备投资建一个大型矩形游乐园PQCN(P为,第3页,河流MD上任意一点),问怎样施工才能使游乐园面积最大?并求出最大面积.,第4页,【解题指南】,首先依据图形建立适当坐标系,设出点坐标,引入变量构建与面积相关函数关系式,再利用导数求最值.,第5页,【解析】,以M为原点,AB所在直线为y轴建立直角坐标系,则D(4,2).,第6页,设抛物线方程为y,2,=2px.,因为点D在抛物线上,所以2,2,=8p,解得p=.,所以抛物线方程为y,2,=x(0 x4).,设P(y,2,y)(0y2)是曲线MD上任一点,第7页,则|PQ|=2+y,|PN|=4-y,2,.,所以矩形游乐园面积为,S=|PQ|PN|=(2+y)(4-y,2,)=8-y,3,-2y,2,+4y.,求导得,S=-3y,2,-4y+4,令,S=0,得,3y,2,+4y-4=0,解得,y=,或,y=-2(,舍,).,第8页,当,y,时,S0,函数,S,为增函数,;,当y 时,S0,函数S为减函数.,所以当y=时,S有最大值,得,|PQ|=2+y=2+=,|PN|=4-y,2,=4-,第9页,所以游乐园最大面积为S,max,=(km,2,),即游乐园两邻边分别为 km,km时,面积最大,最,大面积为 km,2,.,第10页,【方法总结】,利用导数处理实际问题基本流程,第11页,【巩固训练】,已知矩形两个顶点位于x轴上,另两个顶点位于抛物线y=4-x,2,在x轴上方曲线上,求矩形面积最大时边长.,第12页,【解析】,设矩形边长AD=2x,则|AB|=y=4-x,2,.,则矩形面积为S=2x(4-x,2,)(0 x 时,S0,第13页,所以当x=时,S取得最大值,此时,S,最大,=,即矩形边长分别为 时,矩形面积最大.,第14页,【赔偿训练】,用长为90cm、宽为48cm长方形铁皮,做一个无盖容器,先在四个角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90角,再焊接而成(如图所表示),问该容器高为多少时,容器容积最大?最大容积是多少?,第15页,【解析】,设容器高为xcm,容器容积为V(x)cm,3,则V(x)=x(90-2x)(48-2x),=4x,3,-276x,2,+4320 x(0 x24),V(x)=12x,2,-552x+4320,=12(x,2,-46x+360)=12(x-10)(x-36).,令V(x)=0,得x,1,=10,x,2,=36(舍去).,第16页,当00,V(x)是增函数;,当10 x24时,V(x)0,得,2r ;,令f(r)0,得0r0,得,2r ;,令,y0,得,0r2,故当r 时,函数单调递减,故当r=时,y,min,=,第31页,【方法总结】,利用导数处理生活中优化问题普通步骤,(1)分析实际问题中各量之间关系,列出实际问题数学模型,写出实际问题中变量之间函数关系y=f(x).,(2)求函数导数f(x),解方程f(x)=0.,第32页,(3)比较函数在区间端点和使f(x)=0成立点数值大小,最大(小)者为最大(小)值.,(4)写出答案.,第33页,【赔偿训练】,甲、乙两地相距400千米,汽车从甲地匀,速行驶到乙地,速度不得超出100千米/时,已知该汽车,每小时运输成本P(元)关于速度v(千米/时)函数关,系是P=,第34页,(1)求全程运输成本Q(元)关于速度v函数关系式.,(2)为使全程运输成本最少,汽车应以多大速度行驶?并求此时运输成本最小值.,第35页,【解析】,(1)Q=P,第36页,(2)Q=-5v,令Q=0,则v=0(舍去)或v=80.,当0v80时,Q0;,当800,所以当v=80千米/时时,全程运输成本取得极小值,即最,小值,且Q,min,=Q(80)=(元).,第37页,类型三利润最大问题,【典例3】,某企业为了取得更大利益,每年要投入一定资金用于广告促销.经调查,每年投入广告费t(单位:百万元),可增加销售额约为-t,2,+5t(单位:百万元,且0t5).,第38页,(1)若该企业将当年广告费控制在3百万元之内,则应投入多少广告费,才能使该企业由此取得收益最大?,第39页,(2)现该企业准备共投入3百万元,分别用于广告促销和,技术改造.经预测,每投入技术改造费x(单位:百万元),可增加销售额约为-x,3,+x,2,+3x(单位:百万元).请设,计一个资金分配方案,使该企业由此取得收益最大,(注:收益=销售额-投入).,第40页,【解析】,(1)设投入t百万元广告费后增加收益为f(t)百万元,则有f(t)=(-t,2,+5t)-t=-t,2,+4t,=-(t-2),2,+4(0t3),所以当t=2时,f(t)取得最大值4,即投入2百万元广告费时,该企业由此取得收益最大.,第41页,(2)投入技术改造资金为x百万元,则用于广告促销,资金为(3-x)百万元,设由此取得收益是g(x),则,g(x)=-(3-x),2,+5(3-x)-3=-x,3,+4x+3,(0 x3),所以g(x)=-x,2,+4.,令g(x)=0,解得x=-2(舍去)或x=2.,第42页,当0 x0;当2x3时,g(x)0,故g(x)在0,2)上是增函数,在(2,3上是减函数.,所以当x=2时,g(x)取最大值,即将2百万元用于技术改造,1百万元用于广告促销时,该企业由此取得收益最大.,第43页,【方法总结】,利润问题中等量关系,处理这类相关利润实际应用题,应灵活利用题设条件,建立利润函数关系,常见基本等量关系有:,(1)利润=收入-成本;,(2)利润=每件产品利润销售件数.,第44页,【巩固训练】,某工厂生产某种产品,已知该产品月生产量x(吨)与,每吨产品价格p(元/吨)之间关系式为p=24200-,x,2,且生产x吨产品成本为R=50000+200 x(元).问该,工厂每个月生产多少吨产品才能使利润到达最大?最大利,润是多少?(利润=收入-成本),第45页,【解析】,每个月生产x吨时利润为,f(x)=(50000+200 x),=-x,3,+24000 x-50000(x0),则f(x)=-x,2,+24000,令f(x)=0,解得x,1,=200,x,2,=-200(舍去).,第46页,因为f(x)在0,+)内只有一个极大值点x=200,故它就是最大值点,且最大值为,f(200)=-200,3,+24000200-50000,=3150000(元).,所以每个月生产200吨产品时利润到达最大,最大利润为,315万元.,第47页,【赔偿训练】,(沈阳高二检测)某商品每件成本,9元,售价为30元,每星期卖出432件,假如降低价格,销售量将会增加,且每星期多卖出商品件数与商品单价降低值x(单位:元,0 x30)平方成正比,已知商品单价降低2元时,一星期将多卖出24件.,第48页,(1)将一个星期商品销售利润表示成x函数.,(2)怎样定价才能使一个星期商品销售利润最大?,第49页,【解题指南】,(1)先求出百分比系数,再依据题设求出多卖商品数,再依据销售利润=销售收入-成本,列出函数关系式,即可得到答案.(2)依据f(x)解析式,用导数求最值.,第50页,【解析】,(1)设商品降价x元,则多卖出商品件数为kx,2,若记商品一个星期赢利为f(x),则依题意有f(x)=(30-x-9),(432+kx,2,)=(21-x)(432+kx,2,).,又由已知条件,24=k2,2,于是有k=6.,所以f(x)=-6x,3,+126x,2,-432x+9072,x0,30.,第51页,(2)依据(1)有f(x)=-18x,2,+252x-432,=-18(x-2)(x-12),当x改变时,f(x),f(x)改变情况如表:,x,0,2),2,(2,12),12,(12,30,f(x),-,0,+,0,-,f(x),单调递,减,极小值,单调递增,极大值,单调递,减,第52页,故当x=12时,f(x)取到极大值,因为f(0)=9072,f(12)=11664,所以定价为30-12=18(元)时能使一个星期商品销售利润最大.,第53页,类型四效率最高问题,【典例4】,我们知道,汽油消耗量w(单位:L)与汽车,速度v(单位:km/h)之间有一定关系,汽油消耗量w,是汽车速度v函数.经过大量统计数据,并对数据进,行分析、研究,人们发觉,汽车在行驶过程中,汽油平均,消耗率g(即每小时汽油消耗量,单位:L/h)与汽车行,第54页,驶平均速度v(单位:km/h)之间有如图所表示函数关系g=f(v).且点(90,5)为直线y=kx与函数g=f(v)相切时切点,那么汽车平均速度为多少时,汽油使用率最高,此时每千米耗油量大约是多少L?,第55页,【解题指南】,研究汽油使用效率就是研究汽油消耗量,与汽车行驶旅程比值.假如用G表示每千米平均汽,油消耗量,那么G=,其中,w表示汽油消耗量(单位:L),s表示汽车行驶旅程(单位:km).从图中不能直接处理,汽油使用效率最高问题.所以,我们首先需要将问题,第56页,转化为汽油平均消耗率g(即每小时汽油耗量,单位:L/h)与汽车行驶平均速度v(单位:km/h)之间关系问题.然后利用图象中数据信息.处理汽油使用效率最高问题.,第57页,【解析】,设G表示每千米平均汽油消耗量,s表示汽车,行驶旅程(单位:km).,因为G=,第58页,这么,问题就转化为求 最小值.从图象上看,表示,经过原点与曲线上点直线斜率,深入发觉,当直,线与曲线相切时,其斜率最小.在此切点处速度约为,90km/h.,第59页,所以,当汽车行驶距离一定时,要使汽油使用效率最,高,即每千米汽油消耗量最小,此时车速约为,90km/h,从数值上看,每千米耗油量就是图中切线,斜率,即f(90),约为 (L/km).,第60页,【方法总结】,效率最高问题解题路径,第61页,【巩固训练】,统计表明:某种型号汽车在匀速行驶中每小时耗油,量y(升)关于行驶速度x(千米/时)函数解析式能够表,示为y=(0 x120).已知甲、乙两地,相距100千米,当汽车以多大速度匀速行驶时,从甲地,到乙地耗油最少?最少为多少升?,第62页,【解析】,当速度为x千米/时时,汽车从甲地到乙地行驶,了 小时,设耗油量为h(x)升,依题意得h(x)=,第63页,令h(x)=0,得x=80.,因为x(0,80)时,h(x)0,h(x)是增函数,所以当x=80时,h(x)取得极小值h(80)=11.25(升).,因为h(x)在(0,120上只有一个极小值,所以它是最小值.,第64页,答:汽车以80千米/时匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少,最少为11.25升.,第65页,【赔偿训练】,如图,在直线y=0和y=a(a0)之间表示,是一条河流,河流一侧河岸(x轴)是一条公路,且公路,随时随地都有公交车来往,家住A(0,a)某学生在位于,公路上B(d,0)(d0)处学校就读.天天早晨该学生都,要从家出发,能够先乘船渡河抵达公路上某一点,再乘,公交车去学校;或者直接乘船渡河抵达公路上B(d,0)处,第66页,学校.已知船速为v,0,(v,0,0),车速为2v,0,.(水流速度忽略不计),第67页,(1)若d=2a,求该学生早晨上课时,从家出发抵达学校所,用最短时间.,(2)若d=,求该学生早晨上课时,从家出发抵达学校所,用最短时间.,第68页,【解析】,(1)设该学生从家出发先乘船渡河抵达公路上,某一点P(x,0)(0 xd),再乘公交车去学校,所用时,间为t,则t=f(x)=(0 xd).令f(x)=0,得x=a,当0 x a时,f(x)0;,当 a0.,第69页,所以当x=a时,所用时间最短,最短时间,所以当d=2a时,该学生从家里出发到学校所用最短时,间是,第70页,(2)由(1)讨论知,当d=时,t=f(x)为 上减函,数,所以当d=时,即该学生直接乘船渡河抵达公路上,学校所用时间最短,最短时间为t=,第71页,【课堂小结】,1.知识总结,第72页,2.方法总结,(1)处理实际应用问题关键在于建立数学模型和目标函数,把“问题情景”译为数学语言,要先找出问题主要关系,并把问题主要关系近似化、形式化,抽象成数学问题,再化归为常规问题,最终选择适当数学方法求解.,第73页,(2)用导数处理生活中优化问题普通步骤:,函数建模:细致分析实际问题中各个量之间关系,正确设定所求最大值或最小值变量y与自变量x,把实际问题转化为数学问题,即列出函数关系式y=f(x).,确定定义域:一定要从问题实际意义去考查,舍去没有实际意义变量范围.,第74页,求最值:此处尽可能使用导数法求出函数最值.,下结论:紧紧围绕题目,给出圆满答案.,第75页,
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