资源描述
Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,*,*,*,专题3 导数及其应用,1/68,目录,600分基础 考点考法,考点19 导数概念及其运算,考点20 导数与函数单调性,考点21 利用导数求函数极值与最值,考点22 定积分与微积分基本定理,700分基础 考点考法,综合问题5 导数实际应用及综合利用,2/68,考点19导数概念及其运算,1,导数几何意义,2,几个常见函数导数,考点19导数概念及其运算,【注意】若函数在点处导数存在，则曲线在该点必有切线；若函数在一点处导数不存在，曲线在该点处未必没有切线.所以，“函数在一点处导数存在”是“曲线在该点处有切线”充分条件.,3/68,考点19导数概念及其运算,1,导数几何意义,2,几个常见函数导数,求分式类函数导数时，导数分母是函数分母平方，分子是两个式子差，前者是函数分子导函数与分母积，后者是函数分子导函数与分母积.,4,复合函数导数,注意,3,导数运算法则,考点19导数概念及其运算,4/68,考法1 导数运算,考法2 用导数几何意义，处理曲线切线问题,导数概念及其运算,考点19,考点19导数概念及其运算,5/68,类型1 已知函数解析式，求导函数或导函数值,类型2 对抽象函数求导,考法1 导数概念及其运算,考点1集合含义与表示、集合之间关系,6/68,类型,1,已知函数解析式,求导函数或导函数值,(1)求函数导数详细方法：,将函数划分为基本初等函数和、差、积、商，再求导；,碰到连乘积形式，先展开化为多项式形式，再求导；,碰到根式形式，先化为分数指数幂，再求导；,碰到复杂分式，先将分式化简，再求导；,碰到不符合求导法则函数形式，应利用代数、三角恒等变换等伎俩对函数变形，再求导.,(2)复合函数求导，要选择恰当中间变量，分清复合关系，切记复合函数求导法则按“由内向外”标准处理.,考点19,考法1,导数运算,考点19导数概念及其运算,7/68,类型,1 已知函数解析式,求导函数或导函数值,考点19,考法1,导数运算,考点19导数概念及其运算,8/68,考点19,考法1,导数运算,考点19导数概念及其运算,9/68,类型2 对抽象函数求导,近几年高考求导问题中，常包括一类解析式中含有导数值函数，解析式类似为f(x)=f(x,0,)g(x)+h(x)(x,0,为常数)函数，处理这类问题关键是明确f(x,0,)是常数，其导数值为0.所以先求导数f(x)，令x=x,0,，即可得到f(x,0,)值，进而确定函数解析式.,考点19,考法1,导数运算,考点19导数概念及其运算,10/68,类型1 已知切点求斜率或倾斜角，已知切线斜率求切点,类型2 曲线,y,=,f,(,x,),切线问题,考法2 用导数几何意义，处理曲线切线问题,考点1集合含义与表示、集合之间关系,11/68,类型1 已知切点求斜率或倾斜角，已知切线斜率求切点,处理这类问题方法都是依据曲线在点(x,0,y,0,)处切线斜率k=f(x,0,)，直接求解或结合已知所给平行或垂直等条件得出关于斜率等式来求解.处理这类问题关键是抓住切点.,考点19,考法2,用导数几何意义，处理曲线切线问题,考点19导数概念及其运算,12/68,类型,2,曲线,y,f,（,x,）,切线方程,考点19,考法2,用导数几何意义，处理曲线切线问题,(1)“过点,A,曲线切线方程”与“在点,A,处曲线切线方程”是不相同,后者,A,必为切点,前者未必是切点(2)曲线在某点处切线，若有，则只有一条；曲线过某点切线往往不止一条.切线与曲线公共点不一定只有一个,注意,考点19导数概念及其运算,题型,1,求曲线在某点处切线方程,题型2 求曲线过某点切线方程,13/68,考点19,考法2,用导数几何意义，处理曲线切线问题,考点19导数概念及其运算,14/68,考点19,考法2,用导数几何意义，处理曲线切线问题,考点19导数概念及其运算,15/68,考点19,考法2,用导数几何意义，处理曲线切线问题,考点19导数概念及其运算,16/68,考点20导数与函数单调性,1.函数单调性与导数关系,已知函数f(x)在某个区间内可导，,(1)假如f(x)0，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增，该区间是函数f(x)单调增区间.,(2)假如f(x)0，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减，该区间是函数f(x)单调减区间.,(3)若f(x)=0，则f(x)在这个区间内是常数函数.,2.由导数与函数单调性关系可得结论,(1)函数f(x)在(a，b)内可导，且f(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于零.,当x (a,b)时，f(x)0函数f(x)在(a,b)上单调递增；,f(x)0函数f(x)在(a,b)上单调递减.,(2)f(x)0(0)在(a,b)上成立是f(x)在(a,b)上单调递增(减)充分条件.,考点20导数与函数单调性,【注意】(1)注意培养定义域优先解题习惯.,(2)在划分函数单调区间时，除了必须确定使导数等于0点外，还要注意定义区间内不连续点或不可导点.,(3)求得导函数零点要判断是否在定义域中.,17/68,考法3 利用导数讨论函数单调性或求单调区间,考法4 已知单调性求解参数范围,导数与函数单调性,考点20,考点20导数与函数单调性,18/68,类型1 确定函数单调性,类型2 求函数单调区间,类型3 函数单调性与导函数图象间关系,考法3 利用导数讨论函数单调性或求单调区间,考点1集合含义与表示、集合之间关系,19/68,类型,1 确定函数单调性,方法一：说明在对应区间上导数取值范围满足相关定理即可.,方法二：（1）确定函数f(x)定义域；,（2）求导函数f(x)，并求f(x)=0实数根.,（3）结合(2)中根讨论f(x)正负，其中f(x)0对应x所在区间内，函数f(x)单调递增；f(x)0对应x所在区间内，函数f(x)单调递减.,考点20,考法3,利用导数讨论函数单调性或求单调区间,考点20导数与函数单调性,20/68,求函数单调区间步骤以下：,(1)确定函数f(x)定义域.,(2)求导数f(x)，并求f(x)=0实数根.,(3)解f(x)0得到x所在区间，即为函数f(x)递增区间；解f(x)0得到x所在区间，即为函数f(x)递减区间.,考点20,考法3,利用导数讨论函数单调性或求单调区间,(1)处理问题过程中,只能在函数定义域内进行.(2)在划分函数单调区间时,除了必须确定使导数等于0点外,还要注意定义区间内不连续点或不可导点另外，求得根要判断是否在定义域中.,考点20导数与函数单调性,求单调区间要注意是？,类型2 求函数单调区间,利用导数研究函数单调性关键在于准确判定导数符号，当,f(x),含参数时，需依据参数取值对不等式解集影响进行分类讨论.,21/68,类型,3 函数单调性与导函数图象间关系,了解导函数y=f(x)图象与函数f(x)图象升降关系，导函数大于0对应原函数图象由左至右上升，导函数小于0对应原函数图象由左至右下降，在解题时要注意原函数定义域，如判断定义域是否含有对称性等.,考点20,考法3,利用导数讨论函数单调性或求单调区间,考点20导数与函数单调性,22/68,考点20,考法3,利用导数讨论函数单调性或求单调区间,考点20导数与函数单调性,23/68,类型1 若函数,f,(,x,)在区间,D,上单调递增(减)，求参数,m,范围,类型2 已知可导函数,f,(,x,)在区间(,a,b,)上存在单调区间,求解参数范围,类型3 已知,f,(,x,)在区间,I,上单调递增(减),区间,I,含有参数,求参数取值范围,考法4 已知单调性求解参数范围,考点1集合含义与表示、集合之间关系,24/68,类型1 若函数,f,(,x,)在区间,D,上单调递增(减)，求参数,m,范围,考点20,考法4,已知单调性求解参数范围,考点20导数与函数单调性,注意点是什么？,25/68,考点20,考法4,已知单调性求解参数范围,考点20导数与函数单调性,26/68,类型2 已知可导函数,f,(,x,)在区间(,a,b,)上存在单调区间,求解参数范围,考点20,考法4,已知单调性求解参数范围,考点20导数与函数单调性,2,27/68,类型2 已知可导函数,f,(,x,)在区间(,a,b,)上存在单调区间,求解参数范围,考点20,考法4,已知单调性求解参数范围,考点20导数与函数单调性,28/68,类型3,已知,f,(,x,)在区间,I,上单调递增(减),区间,I,含有参数,求参数取值范围,考点20,考法4,已知单调性求解参数范围,考点20导数与函数单调性,(1)求出f(x)单调区间;,(2)令I是其单调区间子集，列不等式（组）,求出参数取值范围.,29/68,考点21利用导数求函数极值与最值,1.函数极值与导数,(1)判断f(x,0,)是极值方法,普通地,当函数f(x)在点x,0,处连续且f(x,0,)=0,且在x,0,两侧f(x)值异号,则x,0,是f(x)极值点,f(x,0,)是极值.,假如f(x)在,x,0,两侧满足“左正右负”,则x,0,是f(x)极大值点,f(x,0,)是极大值,假如f(x)在x,0,两侧满足“左负右正”,则x,0,是f(x)极小值点,f(x,0,)是极小值,（1）极值点是导数变号零点，当函数在某区间上单调时，在该区间上无极值.,（2）极值点不是点，是自变量值，极值是对应函数值,考点21利用导数求函数极值与最值,30/68,考点21利用导数求函数极值与最值,(1)判断f(x,0,)是极值方法,1.函数极值与导数,考点21利用导数求函数极值与最值,(2)求可导函数极值步骤,求f(x)；,求方程f(x)=0实数根；,检验f(x)在方程f(x)=0根左、右两侧符号.假如左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；假如左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值.,31/68,考点21利用导数求函数极值与最值,2.函数最值与导数,(1)函数f(x)在a，b上有最值条件,假如在区间a，b上函数y=f(x)图象是连续不停曲线，那么它必有最大值和最小值.,(2)设函数f(x)在a，b上连续且在(a，b)内可导，求f(x)在a，b上最大值和最小值,步骤以下,：,求f(x)在(a，b)内极值；,将f(x)各极值与f(a),f(b)比较，其中最大一个是最大值，最小一个是最小值.,(1),函数最值是定义域内函数值最大者和最小者；函数极值是极值点附近函数值最大者和最小者.,(2),函数在其定义域内最大值、最小值最多各有一个，最大值一定大于最小值，而函数极值可能没有，可能有一个，也可能有多个，而且极大值不一定比极小值大.,极值与最值区分,(3),最值应在极值点或区间端点处取得.,(4),在开区间内只有一个极值时，该极值必是最值.,考点21利用导数求函数极值与最值,32/68,考法5 利用导数求函数极值,考法6 利用导数求函数最值,利用导数求函数极值与最值,考点21,考法7 已知函数极值、最值求参数值（或取值范围）,考点21利用导数求函数极值与最值,33/68,求可导函数f(x)极值步骤,(1)确定函数定义域,求导数f(x).,(2)求方程f(x)=0实数根.,(3)用上述方程根顺次将函数定义域分成若干个小区间，并列成表格.明确f(x)在方程根左右值符号，假如左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；假如左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；假如左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值.,考点21,考法5,利用导数求函数极值,考点21利用导数求函数极值与最值,求解是需要注意什么？假如解析式中有参数呢？,【注意】(1)首先考虑定义域.,(2)导数值为0点不一定是函数极值点，它是函数在该点取得极值必要而不充分条件.,(3)对于解析式中含有参数函数求极值问题，普通要对方程,f(x)=0,根情况进行讨论.分两个层次讨论：第一层，讨论方程在定义域内是否有根；第二层，在有根条件下，再讨论根大小.,34/68,考点21,考法5,利用导数求函数极值,考点21利用导数求函数极值与最值,35/68,考点21,考法5,利用导数求函数极值,考点21利用导数求函数极值与最值,36/68,考点21,考法6,利用导数求函数最值,考点21利用导数求函数极值与最值,求函数最值是高考每年必考考点，是高考考查热点.,利用导数知识求可导函数f(x)在闭区间a，b上最值步骤以下：,(1)求f(x)在(a，b)内极值；,(2)将极大值与f(a)，f(b)比较，其中较大者即为最大值，将极小值与f(a)，f(b)比较，其中较小者即为最小值.,【注意】(1)对含参数函数解析式在求最值时，经常分类讨论，分类标准是极值点在给定区间内部还是外部，从而依据单调性求出最值.,(2)求一个函数在闭区间上最值和在无穷区间(或开区间)上最值时，方法是不一样.求函数在无穷区间(或开区间)上最值，不但要研究其极值情况，还要研究其单调性，并经过单调性和极值情况，画出函数大致图象，然后借助图象观察得到函数最值.,37/68,考点21,考法6,利用导数求函数最值,考点21利用导数求函数极值与最值,38/68,考点21,考法6,利用导数求函数最值,考点21利用导数求函数极值与最值,39/68,考点21,考法6,利用导数求函数最值,考点21利用导数求函数极值与最值,40/68,已知函数极值求参数值(或取值范围)时，通常是利用函数导数在极值点处函数值等于零建立关于参数方程；也能够求出函数极值(含参数)，利用极值列方程；或依据极值情况，列出关于参数不等式(或组).,已知函数最值求参数值(或取值范围)，通常是求出函数最值(含参数)，然后依据最值列方程或依据最值情形列关于参数不等式(或组)求解.,考点21,考法7,已知函数极值、最值情况求参数取值（或取值范围）,考点21利用导数求函数极值与最值,41/68,考点21,考法7,已知函数极值、最值求参数值（或取值范围）,考点21利用导数求函数极值与最值,42/68,考点21,考法7,已知函数极值、最值求参数值（或取值范围）,考点21利用导数求函数极值与最值,43/68,考点22定积分与微积分基本定理,1,用化归法计算矩形面积和用迫近思想方法求出曲边梯形面积详细步骤,2,定积分定义,考点22定积分与微积分基本定理,(1)分割；(2)近似代替；(3)求和；(4)取极限.,3.定积分运算性质,44/68,考点22定积分与微积分基本定理,5.定积分几何意义,4,微积分基本定理,考点22定积分与微积分基本定理,45/68,考法8 求定积分,考法9 定积分应用,定积分与微积分基本定理,考点22,考点22定积分与微积分基本定理,46/68,求解定积分普通步骤为：,(1)确定被积函数；,(2)可考虑利用定积分性质将所求定积分转化为几个定积分和，使得每个被积函数原函数易得；,(3)利用微积分基本定理求解并确定所求结果.,详细以下：,考点22,考法8,求定积分,考点22定积分与微积分基本定理,类型1求简单函数(原函数易求)定积分,利用微积分基本定理求解.步骤以下：,求被积函数f(x)一个原函数F(x)；,计算F(b)-F(a).,类型2求被积函数是绝对值函数或分段函数定积分,需利用定积分对积分区间可加性，将积分区间分解，代入对应解析式，分别求出积分值相加.,47/68,考点22,考法8,求定积分,考点22定积分与微积分基本定理,类型3求复杂函数(原函数无法求出)定积分,类型4奇函数、偶函数定积分,48/68,考点22,考法8,求定积分,考点22定积分与微积分基本定理,49/68,考点22,考法8,求定积分,考点22定积分与微积分基本定理,50/68,考点22,考法9,定积分应用,类型1求曲边多边形面积,步骤以下：,(1)画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线大致图形.,(2)借助图形确定被积函数，求出交点坐标，确定积分上限、下限.,(3)将曲边梯形面积表示为若干个定积分之和.,(4)计算定积分.,考点22定积分与微积分基本定理,类型2定积分在物理中应用,51/68,考点22,考法9,定积分应用,考点22定积分与微积分基本定理,52/68,考点22,考法9,定积分应用,考点22定积分与微积分基本定理,53/68,综合点1 导数与方程、不等式综合,综合点2 利用导数求解生活中优化问题,导数实际应用及综合利用,综合问题5,综合问题5导数实际应用及综合利用,54/68,综合问题5导数实际应用及综合利用,综合点1 导数与方程、不等式综合,导数与方程、不等式结合，是高考一个永恒主题，能够以选择题、填空题形式出现，也能够以解答题形式出现，大部分难度都比较大，多为压轴题.,1.不等式问题,(1)证实不等式,依据待证不等式特征、变量取值范围及不等式性质，将待证不等式化简.,依据不等式结构函数.,利用导数研究函数单调性，求其最值.,依据单调性及最值，得到待证不等式.,综合问题5导数实际应用及综合利用,55/68,综合问题5导数实际应用及综合利用,综合点1 导数与方程、不等式综合,1.不等式问题,(1)证实不等式,(2)不等式恒成立与存在性问题,能够将问题转化为函数极值或最值问题，也能够考虑将参数分离出来，将参数范围问题转化为研究新函数值域问题.求解时，第一步将不等式转化为对应函数最值问题或将参数分离出来转化为不含参数函数最值问题；第二步是求解函数极值；第三步依据题意确定范围.,“恒成立”与“存在性”问题求解是“互补”关系，即f(x)g(a)对于xD恒成立，应求f(x)最小值；若存在xD，使得f(x)g(a)成立，应求f(x)最大值.在详细问题中终究是求最大值还是最小值，能够先联想“恒成立”是求最大值还是最小值，这么也就能够处理对应“存在性”问题是求最大值还是最小值.尤其需要注意等号是否成立，以免细节犯错.,综合问题5导数实际应用及综合利用,56/68,综合问题5导数实际应用及综合利用,综合点1 导数与方程、不等式综合,2.利用导数研究方程解或图象交点问题,(1)利用导数研究高次式、分式、指数式、对数式方程解或图象交点个数问题普通思绪：,将问题转化为函数零点问题，进而转化为函数图象与x轴(或直线y=k)在该区间上交点问题.,利用导数研究该函数在该区间上单调性、极值(最值)、端点值等性质，进而画出其图象.,结合图象求解.,(2)证实复杂方程在某区间上有且仅有一解步骤：第一步，利用导数证实该函数在该区间上单调；第二步，证实端点值异号.,综合问题5导数实际应用及综合利用,57/68,综合问题5导数实际应用及综合利用,综合点1 导数与方程、不等式综合,综合问题5导数实际应用及综合利用,58/68,综合问题5导数实际应用及综合利用,综合点1 导数与方程、不等式综合,综合问题5导数实际应用及综合利用,59/68,综合问题5导数实际应用及综合利用,综合点1 导数与方程、不等式综合,综合问题5导数实际应用及综合利用,60/68,综合问题5导数实际应用及综合利用,综合点1 导数与方程、不等式综合,综合问题5导数实际应用及综合利用,61/68,综合问题5导数实际应用及综合利用,综合点1 导数与方程、不等式综合,综合问题5导数实际应用及综合利用,62/68,综合问题5导数实际应用及综合利用,综合点1 导数与方程、不等式综合,综合问题5导数实际应用及综合利用,63/68,综合问题5导数实际应用及综合利用,综合点1 导数与方程、不等式综合,综合问题5导数实际应用及综合利用,64/68,综合问题5导数实际应用及综合利用,综合点1 导数与方程、不等式综合,综合问题5导数实际应用及综合利用,65/68,综合问题5导数实际应用及综合利用,综合点2 利用导数处理生活中优化问题,通常求利润最大、用料最省、效率最高等问题称为优化问题，普通地，对于实际问题，若函数在给定定义域内只有一个极值点，那么该点也是最值点.普通步骤:,(1)分析实际问题中各量之间关系，列出实际问题数学模型，写出实际问题中变量之间函数关系式y=f(x)，并确定函数定义域.,(2)求函数导数f(x)，解方程f(x)=0.,(3)比较函数在区间端点和f(x)=0点函数值大小，最大(小)者为最大(小)值.,(4)回归实际问题作答.,综合问题5导数实际应用及综合利用,66/68,综合问题5导数实际应用及综合利用,综合点2 利用导数处理生活中优化问题,综合问题5导数实际应用及综合利用,67/68,敬请期待下一专题,Thanks！,68/68,
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