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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,空间向量证实,立体几何问题,1/44,空间,向量,空间,向量,运,算,空间,向量,基本,定理,空间,向量,坐,标运,算,加减,和数,乘运,算,共线,向量,共面,向量,空间,向量,数,量积,知识结构,夹角和距离,平行和垂直,2/44,1、空间直角坐标系,以单位正方体 顶点O为原点，分别以射线OA，OC，方向 为正方向，以线段OA，OC，长为单位长，建立三条数轴：x轴,y轴,z轴,这时我们建立了一个,空间直角坐标系,C,D,B,A,C,O,A,B,y,z,x,O为坐标原点，x轴,y轴,z轴叫坐标轴，经过每两个坐标轴平面叫坐标平面,一、基本概念,3/44,右手直角坐标系,空间直角坐标系,Oxyz,横轴,纵轴,竖轴,4/44,2、空间直角坐标系中点坐标,有序实数组（x,y,z）叫做点M在此,空间直角坐标系中坐标，,记作M（x,y,z）,其中x叫做点M横坐标，y叫做点M纵坐标,z叫做点M竖坐标,点M,（X，Y，Z）,5/44,假如表示向量n有向线段所在直线垂直于平面,称这个向量垂直于平面,记作n,这时向量n叫做平面法向量.,4、平面法向量,n,3、直线方向向量,6/44,1、假设平面法向量坐标为,n,=(x,y,z).,2、依据,na=0,且,nb=0,可列出方程组,3、取某一个变量为常数(当然取得越简单越好),便得到平面法向量,n,坐标.,a,n,b,5、平面法向量求法,设a=(x,1,y,1,z,1,)、b=(x,2,y,2,z,2,)是平面内两个不共线非零向量,由直线与平面垂直判定定理知,若na且nb,则n.换句话说,若na=0且nb=0,则n.可按以下步骤求出平面法向量坐标,7/44,例、已知A(2,1,1),B(-2,7,0),C(6,4,-1).求平面ABC法向量,解：,平面ABC法向量为:,8/44,例、在棱长为2正方体ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中,O是面AC中心,求面OA,1,D,1,法向量.,解：以A为原点建立空间直角坐标系O-xyz（如图），,则O（1，1，0），A,1,（0，0，2），D,1,（0，2，2），,设平面OA,1,D,1,法向量法向量为n=(x,y,z),由 =（-1，-1，2），=（-1，1，2）得,解得,取z=1得平面OA,1,D,1,法向量坐标n=(2,0,1),A,A,B,O,z,y,A1,C1,B1,A,x,C,D,D1,9/44,5、两法向量所成角与二面角关系,设n,1,、n,2,分别是二面角两个半平面、法向量，由几何知识可知，二面角-L-大小与法向量n,1,、n,2,夹角相等或互补，于是求二面角大小可转化为求两个平面法向量夹角.,10/44,二、基本公式：,1、两点间距离公式（线段长度）,2、向量长度公式（向量模）,11/44,3、向量坐标运算公式,12/44,4、两个向量平行条件,5、两个向量垂直条件,或,13/44,7、重心坐标公式,6、中点坐标公式,14/44,9、直线与平面,所成角公式,(,为,法向量),8、直线与直线所成角公式,10、平面与平面所成角公式,(为二面角两个半平面法向量）,15/44,11、点到平面,距离公式,（PM为平面 斜线,为平面 法向量）,12、异面直线,距离公式,（A,B为异面直线上两点,为公垂线方向向量）,16/44,利用向量求角,直线与直线所成角,直线与平面所成角,平面与平面所成角（二面角）,利用向量求距离,点到直线距离,点到平面距离,直线到平面距离,平行到平面距离,直线到直线距离,三、基本应用,17/44,利用向量证平行,利用向量证垂直,直线与直线垂直,直线与平面垂直,平面与平面垂直,直线与直线平行,直线与平面平行,平面与平面平行,18/44,、垂直问题,19/44,四、基本方法,1、平行问题,20/44,、角度问题,21/44,、距离问题,（）点到点距离、点到平面距离、直线到直线距离直接用公式求解。,（）点到直线距离、直线到平面距离、平面到平面距离转化为点到平面距离求解。,22/44,例：,题型一：线线角,五、经典例题,23/44,所以：,题型一：线线角,解：以点,C,为坐标原点建立空间,直角坐标系 如图所表示，,不妨设 则,C,|,|,所以 与 所成角余弦值为,24/44,题型二：线线垂直,25/44,题型三：线面角,N,解：如图建立坐标系A-xyz,则,即,在长方体 中，,例：,26/44,题型三：线面角,N,又,例：,在长方体 中，,27/44,A,B,D,C,A,1,B,1,D,1,C,1,例,.,在正方体AC,1,中，E为DD,1,中点，求证：DB,1,/面A,1,C,1,E,E,F,题型四：线面平行,x,y,z,即,28/44,D,A,C,B,B,C,D,A,F,E,X,Y,Z,题型五：线面垂直,或先求平面BDE法向量 再证实,29/44,题型六：面面角,设平面,x,y,z,30/44,X,Y,Z,例：在正方体ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中，求证：面A,1,BD面CB,1,D,1,题型七：面面平行,或先求两平面法向量 再证实,31/44,例、在正方体AC,1,中，E、F分别是BB,1,、CD中点，,求证：面AED面A,1,FD,1,A,B,C,D,A,1,B,1,C,1,D,1,E,F,X,Y,Z,题型八：面面垂直,或证实两平面法向量垂直,32/44,练习,33/44,练习,34/44,练习,35/44,练习,36/44,练习,37/44,题型九：异面直线距离,z,x,y,A,B,C,C,1,即,取x=1,z则y=-1,z=1,所以,E,A,1,B,1,38/44,A,B,C,D,E,F,G,X,Y,Z,题型十：点到平面距离,39/44,练习,40/44,练习,41/44,练习,42/44,练习,43/44,已知正方形ABCD边长为1，PD 平面ABCD，且PD=1，E、F分别为AB、BC中点。,求证：PE AF；,求点D到平面PEF距离；,求直线AC到平面PEF距离；,求直线PA与EF距离；,求直线PA与EF所成角；,求PA与平面PEF所成角；,求二面角A-PE-F大小。,A,B,C,D,E,F,P,x,y,z,练习,44/44,
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