高中数学第一讲线性变换与二阶矩阵一些重要线性变换对单位正方形区域的作用省公开课一等奖新名师优质课获奖.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,（二）一些主要线性变换对单位正方形区域作用,内容,：,线性空间普通概念,重点：空间结构和其中数量关系,线性变换,重点：其中矩阵处理方法,特点,：,研究代数结构含有线性运算集合。,看重不是研究对象本身，而是对象之间结构关系。,研究关注点：对象之间数量关系矩阵处理。,学习特点：含有抽象性和普通性。,1/62,一,.,集合与映射,集合,集合,：作为整体看一堆东西,.,集合元素,：组成集合事物,.,设,S,表示集合，,a,表示,S,元素，记为,a,S,读为,a,属于,S,；用记号,a,S,表示,a,不属于,S,.,集合表示：,(1),列举法,2,1.1,线性空间,(Linear Spaces),2/62,比如,空集合,：不包含任何元素集合，记为,子集合,：设 表示两个集合，假如集合,都是集合 元素，即由 ，,那么就称 子集合，记为,相等,：即,(2),特征性质法,3,3/62,集合交：,集合并：,集合和：,比如,数域,数域,：是一个含,0,和,1,且对加，减，乘，除（,0,不为除数）封闭,数集,.,4,4/62,比如：有理数域,Q,，实数域,R,，复数域,C,.,映射,映射,：设,S,与,S,是两个集合，一个法则（规则）,，它使,S,中每个元素,a,都有,S,中一,个确定元素,a,与之对应，记为,称为集合,S,到,S,映射,，,a,称为,a,在映射,下,象,，而,a,称为,a,在映射,下一个,原象,.,5,5/62,变换,：,S,到,S,本身映射,.,比如：将方阵映射为数,将数映射为矩阵,可看成变换。,其中,相等,：设 都是集合,S,到 映射，假如对于 都有 ，则称,相等，记为,.,6,6/62,乘法,：设 依次是集合,S,到 ，,映射，乘积 定义以下,是,S,到 一个映射,.,注,：，（是,映射）,7/62,二、线性空间概念,线性空间,=,集合,+,两种运算（所成完美集合）,Example,R,3,=,x=,（,x,1,，,x,2,，,x,3,）,T,：,x,i,R,=,空间中全部向量,定义向量加法，数与向量乘积。,运算封闭,八条运算律成立,8/62,线性空间,=,集合,+,两种运算（所成完美集合）,Definition:(,线性空间或向量空间,),关键点：,集合,V,与数域,F,向量加法和数乘向量运算,（,运算之后结果跑不出去,）,八条运算律,（,能够确保向量混合运算几乎与数运算一样完美,）,9/62,常见线性空间,F,n,=,X=,（,x,1,，,x,2,，,，,x,n,）,T,：,x,F,运算,：向量加法和数乘向量,F,m,n,=A=,a,ij,m,n,：,a,ij,F,；,运算,：矩阵加法和数乘矩阵,R,m,n,；,C,m,n,。,Ft,n,=f(x)=,a,0,+,a,1,x+,a,2,x,2,+.+,a,n-1,x,n-1,：,a,i,R,运算,：多项式加法和数乘,C,a,，,b,=f,（,x,）：,f,（,x,）在,a,，,b,上连续,运算,：函数加法和数乘,Example：,V=R,+,，,F=R,，,a,b,=,ab,，,a=a,F=R,或,C,10/62,不是线性空间集合,V,=,X=,（,x,1,，,x,2,，,1,）,T,：,x,i,R,运算,：向量加法和数乘向量,要证实一个集合不是线性空间，定义中有很多漏洞能够攻击。,11/62,线性空间普通性观点：,线性空间简单性质（共性）：,（,1,）,V,中零元素是惟一。,（,2,）,V,中任何元素负元素是惟一。,（,3,）数零和零元素性质：,0,=0,，,k0=0,，,k=0 =0,或,k=,0,（,4,）,=,（,1,）,数0,向量0,12/62,三、向量组探讨（,Review),向量线性相关与线性无关：,向量,可由,1,，,2,，,，,s,线性表示;（其工作可由多人协力完成）,向量组,1,，,2,，,，,s,线性无关,任何一个向量不能由其余向量线性表示,要使,k,1,1,+k,2,2,+,+k,s,s,=0,只有系数都为0,向量组,1,，,2,，,，,s,线性相关,其中一个向量能够由其余向量线性表示,要使,k,1,1,+k,2,2,+,+k,s,s,=0,必须有非零系数,13/62,三、向量组探讨（,Review),向量组极大线性无关组：,1,，,2,，,，,s,为向量组,A,一个部分组,（,精英组合,）,满足,向量组,1,，,2,，,，,s,线性无关,（,彼此工作不可替换,）,任意,A,向量能够由,1,，,2,，,，,s,线性表示,（,企业任何人工作可由精英组合完成,）,向量组秩(rank)：最大无关组中向量个数,14/62,四、线性空间基和维数,抽象线性空间元素称之为向量,(vector),全部线性空间中向量线性相关性定义和,R,n,一样：,定义形式和向量空间,R,n,中定义一样。,相关性质与定理和,R,n,中结果一样。,所以，要研究线性空间，只需要研究它最大线性无关组-即为基(basis),15/62,四、线性空间基和维数,基,(basis),：线性空间极大无关组；,维数,(dimension),：基中向量个数；,常见线性空间基与维数：,F,n,，自然基,e,1,，,e,2,，,e,n,，,dim,F,n,=n,R,m,n,，自然基,E,ij,，,dim,R,m,n,=,m,n,。,F,t,3,，,自然基,1,，,t,，,t,2,，,dimF,t,3,=3,Ca,，,b,，,1,，,x,，,x,2,，,x,3,x,n-1,Ca,b,，,dim,Ca,，,b=,约定：,本书主要研究有限维线性空间。,16/62,五、坐标,坐标来历：,设,1,，,2,，,，,n,是空间,V,一组基，,V,能够由基,1,，,2,，,，,n,唯一线性表示,=,x,1,1,+,x,2,2,+,+,x,n,n,则,x,1,，,x,2,，,，,x,n,是,在基,i,下坐标。,例1,：,求,R,2,2,中向量 在基,E,ij,下坐标。,关键点：,坐标与基相关,坐标表示形式,17/62,例,2,设空间,Fx,4,两组基为：,1,，,x,，,x,2,，,x,3,和,1,，（,x-1,）,1,，（,x-1,）,2,，（,x-1,）,3,求,f,（,x,）,=2+3x+4x,2,+x,3,在这两组基下坐标,。,归纳,：,有了基，就能够将一个抽象线性空间中元素和一个实际 元素对应起来，从而将抽象详细化进行研究。,18/62,*例,3,设,R,2,2,中向量组,A,i,1,讨论,A,i,线性相关性,.,2求向量组秩和极大线性无关组,.,3把其余向量表示成极大线性无关组,线性组合,.,19/62,六、基变换和坐标变换,讨论：,不一样基之间关系,同一个向量在不一样基下坐标之间关系,1 基变换公式,设空间中有两组基：,过渡矩阵,C,性质：,C,为可逆矩阵,C,第,i,列是,i,在基,i,下坐标,则,过渡矩阵,20/62,2,坐标变换公式,已知,空间中两组基：,满足,:,:;,讨论,X,和,Y,关系,X=CY,21/62,例,已知空间,R,中两组基,（,I,）,E,ij,（,II,）；,求从基（,I,）到基（,II,）过渡矩阵,C,。,求向量 在基（,II,）坐标,Y,。,例,1.1.8 P8,22/62,线性空间,V,与,F,n,同构,坐标关系,V F,n,V,基,1,，,2,，。,n,由此建立一个一一对应关系,V,，,X,F,n,，（）,=X,（,1,+,2,）,=,（,1,）,+,（,2,）,（,k,）,=k,（）,在关系下，线性空间,V,和,F,n,同构。,23/62,同构性质,定理,1.3,:,V,中向量,1,，,2,，,n,线性相关,它们坐标,X,1,X,2,X,n,在,F,n,中线性相关。,同构保持线性关系不变。,应用,：,借助于空间,F,n,中已经有结论和方法研究普通线性空间线性关系。,24/62,1.,2,子空间,概述：,线性空间,V,中，向量集合,V,能够有集合运算和关系：,W,i,V,，,W,1,W,2,，,W,1,W,2,，,问题：,这些关系或运算结果是否依然为线性空间？,25/62,1,、子空间概念,定义：,设非空集合,W,V,，,W,，假如,W,中元素关于,V,中线性运算为线性空间，则称,W,是,V,子空间,。,判别方法：,Important Theorem,W,是子空间,W,对,V,线性运算封闭,。,子空间本身就是线性空间。,子空间判别方法能够作为判别线性空间方法,26/62,子空间和非子空间例子：,V=x=(,x,1,，,x,2,，,0,R,3,，,V=x=(,x,1,，,x,2,，,1,R,3,，,矩阵,A,R,mn,，,齐次线性方程组,AX=0,解集合：,S,=,X,：,AX=0,R,n,，,非齐次线性方程解集合：,M,=,X,：,AX=,b,R,n,，,27/62,主要子空间：,生成子空间,设向量组,1,，,2,，,，,m,V,，由它们一切线性组合生成子空间：,Span,1,，,2,，,，,m,=L(,1,，,2,，,，,m,),=,k,1,1,+,k,2,2,+,k,m,m,|,k,i,生成子空间主要性质：,1,）假如,1,，,2,，,，,m,线性无关，则其为生成子空间,Span,1,，,2,，,，,m,一组基；,2,）假如,1,，,2,，,，,r,是向量组,1,，,2,，,，,m,最大线性无关组，则,Span,1,，,2,，,，,m,1,，,2,，,，,r,是,Span,1,，,2,，,，,m,一组基,28/62,2,、,子空间“交空间”与“和空间”,讨论：,设,W,1,V,，,W,2,V,，且都是子空间，则,W,1,W,2,和,W,1,W,2,是否依然是子空间？,（1）,交空间,交集：,W,1,W,2,=,W,1,而且,W,2,V,n,（,F,）,W,1,W,2,是子空间，被称为“交空间”,（2）和空间,和集合：,W,1,W,2,=,=X,1,X,2,X,1,W,1,，,X,2,W,2,W,1,W,2,W,1,W,2,W,1,W,2,是子空间，被称为“和空间”，,W,1,W,2,不一定是子空间，,W,1,W,2,W,1,W,2,29/62,例,设,R,3,中子空间,W,1,=Le,1,，,W,2,=Le,2,求和空间,W,1,W,2,。,比较：集合,W,1,W,2,和集合,W,1,W,2,。,假如,W,1,=,Span,1,，,2,，,，,m,，,W,2,=,Span,1,，,2,，,，,k,，,则,W,1,W,2,=,Span,1,，,2,，,，,m,，,1,，,2,，,，,k,30/62,3,、维数公式,子空间包含关系,：,dim,W,1,W,2,dim,W,i,dim,W,1,W,2,dim,V,n,（,F,）。,维数定理,：,dim,W,1,dim,W,2,=,dim,（,W,1,W,2,）,dim,（,W,1,W,2,）,证实：,31/62,4,、子空间直和,分析,：,假如,dim,（,W,1,W,2,）,0,，则,dim,（,W,1,W,2,）,dim,W,1,dim,W,2,所以：,dim,（,W,1,W,2,）,=,dim,W,1,dim,W,2,dim,（,W,1,W,2,）,=0,W,1,W,2,=0,直和定义,：,若,dim,（,W,1,W,2,）,=0,，则和为直和,W=W,1,W,2,=W,1,W,2,，,32/62,子空间“和”为“直和”充要,条件,：,Theorem,设,W=W,1,W,2,，则以下各条等价：,（,1,）,W=W,1,W,2,（,2,）,X,W,，,X=X,1,X,2,表,是惟一,（,3,）,W,中零向量表示是惟一,（,4,）,dim,W,=,dim,W,1,dim,W,2,33/62,例,P13 1.2.6,例,设在,R,nn,中，子空间,W,1,=A,A,T,=A,，,W,2,=B,B,T,=,B,，,证实,R,nn,=W,1,W,2,。,34/62,13,线性变换,(Linear Transformations),一、,线性变换概念,线性变换来历；,Definition,：,（,i,）,T,是,V,上映射：,T,：,V,V,。,(ii)T,含有线性性：,T,（,）,=T,（,）,T,（,）,(,保持加法三角形法则,),T,（,k,）,=kT,（,）,(,保持百分比关系,),35/62,2,线性变换性质：,（,i,）,T,(,0,),=0,（,ii,）,T,(,),=,T,(,),（,iii,）,3 线性变换象空间和零空间,设线性变换,T,：,V,V,，,象空间 Im,(,T,),=,：,V,，,=T,(,),零空间 Ker(,T,),=,：,V,，,T,(,),=0,定义：,T,秩=,dim,R,（,T,）；,T,零度=,dim,N,（,T,）,线性变换保持线性相关性不变！,36/62,例,(P018),R,n,中变换,T,：设,A,R,nn,是一个给定 矩阵，,X,R,n,，,T,(,X,),=AX,。,(1)T是线性变换；,(2)Ker(T)是AX=0解空间；,(3)Im(T)=Spana1,a2,.,an,其中a1是矩阵A列向量；,(4)dimKer(T)+dimIm(T)=n,37/62,4,线性变换运算,设,T,1,，,T,2,都是空间,V,中线性变换，常见用它们组成新变换：,（,i,）,T,1,T,2,V,，,（,T,1,T,2,）（,）,=T,1,（,）,T,2,（,）,（,ii,）,T,1,T,2,V,，,(,T,1,T,2,),（,）,=T,1,（,T,2,（,）,（,iii,）,k,T,V,，,（,k,T,）（,）,=,k,（,T,（,）,（,iv,）,若,T,1,是可逆变换，,T,1,T,1,(,),=,当且仅当,T,(,),=,。,定义,38/62,二、线性变换矩阵,1,线性变换矩阵与变换坐标式,Purpose:,将抽象线性变换与矩阵对应起来,T矩阵,39/62,二、线性变换矩阵,1,线性变换矩阵与变换坐标式,V,上线性变换特点分析：,定义变换,T,确定基中向量象,T,（,i,）。,定义,T,（,i,）,确定它在基下,i,坐标,A,i,。,定义变换,T,确定矩阵,A=A,1,，,A,2,，,，,A,n,40/62,例,已知,定义映射,T,：,(1)证实T是V上线性变换；,(2)求V一组基，并求T在这组基下矩阵。,41/62,2,线性变换运算矩阵对应：,设,V,上线性变换,T,1,，,T,2,，它们在同一组基下矩阵：,T,1,A,1,；,T,2,A,2,（,i,）（,T,1,T,2,）,（,A,1,A,2,）,（,ii,）（,T,1,T,2,）,A,1,A,2,（,iii,）（,kT,）,kA,（,iv,）,T,1,A,1,42/62,3,不一样基下变换矩阵,两组基,1,，,2,，,n,，,1,，,2,，,n,，,（,1,2,n,）,=,（,1,2,n,）,C,T,（,1,2,n,）,=,（,1,2,n,）,A,T,（,1,2,n,）,=,（,1,2,n,）,B,同一个线性变换在不一样基下矩阵是相同,B=C,1,AC,1,2,3,43/62,*例（,P025,，例,1.4.6,）,*例,设单位向量,u=,（,2/3,，,-2/3,，,-1/3,）,，定,R,3,上线性变换,P,（,x,）,=,x,-,（,x,，,u,）,u,，,求,P,在自然基,e,1,，,e,2,，,e,3,下变换矩阵。,求,P,在标准正交基,u,，,u,2,，,u,3,下变换矩阵。,44/62,2.1,内积与欧氏空间,Inner Product&Euclidian Spaces,内积作用：,研究高维空间中几何问题,。,1,Example:R,3,上内积定义,2,内积公理化定义,Definition,：关键点,内积,(,，,),是二元运算：,V,V,R,(,，,),公理性质,(,，,),是任何满足定义运算。,讨论,(,，,1,2,),(,，,k,),45/62,3,常见内积空间：,R,n,；,Remark,:,对于同一个线性空间，能够定义不一样内积成为不一样欧氏空间,R,m,n,；,46/62,4,向量长度,定义：,|,|,=,5,欧氏空间中向量夹角：,定义：,0，,0，夹角,定义为：,cos,=,性质：,|,k,|,=,k,|,|,；,三角不等式(Cauchy不等式)：,，,V,|,(,，,),|,|,|,|,|,。,|,|,|,|,|,|,和,正交,（,，,）=0,47/62,6,线性空间内积及其计算：,设,1,，,2,，,n,是内积空间,V,基，,，,V,，则有,=x,1,1,x,2,2,x,n,n,=,(,1,2,n,),X,；,=y,1,1,y,2,2,y,n,n,=,(,1,2,n,),Y,(,，,),=,Y,H,AX,，,定义内积,在一个基,1,，,2,，,n,中定义内积,定义一个度量矩阵,A,。,度量矩阵,A,度量矩阵性质：,48/62,2.2,标准正交基,Orthogonal Basis,1,正交向量组：,定义：,1,，,2,，,n,为正交组,(,i,，,j,),=0,性质：不含零向量正交向量组线性无关。,2,标准正交基,基,1,，,2,，,n,是标准正交基,(,i,，,j,),=,关键点,：,是基，,两两正交，,每一个向量是单位向量,49/62,标准正交基优点：,度量矩阵是单位矩阵，即,A=I,=,(,1,2,n,),X,，,=,(,1,2,n,),Y,，,(,，,),=Y,H,X,=,x,1,1,x,2,2,x,n,n,，,x,i,=,(,，,i,),和,正交,其坐标,X,和,Y,正交,坐标空间,F,n,内,积,标准正交基存在性：求标准正交基步骤,：,Schmidt,正交化,标准化,50/62,例,已知,(1)证实(X,Y)是V上内积；,(2)求W一组标准正交基。,51/62,2.4,正交补,定义,:,设,W,U,是实内积空间,V,子空间，,(1),a,V,若,b,W,都有,(,a,b,)=0,则称,a,与,W,正交，记作,a,W,;,(2),若,a,W,b,U,都有,(,a,b,)=0,则称,W,与,U,正交，记作,W,U,;,(3),若,W,U,，而且,W,+,U,=,V,则称,U,为,W,正交补。,注意：若,W,U,，,则,W,与,U,和必是直和。,52,52/62,正交补存在唯一性,定理,:,设,W,是实内积空间,V,子空间，则,W,正交补,存在且唯一，记该,正交补为 ，而且,53,定理,:,设,W,是实内积空间,V,有限维子空间，则,53/62,向量正投影,定义,:,设,W,是实内积空间,V,子空间，,则称向量,b,为向量,a,在,W,上正投影，,称向量长度,|,g,|,为向量,a,到,W,距离。,W,d,b,O,a,g,54/62,垂线最短定理,定理,:,设,W,是实内积空间,V,子空间，,a,V,b,为,a,在,W,上正投影，则,d,W,有,而且等号成立当且仅当,b,=,d,。,W,d,b,a,55/62,最小二乘法,（,1,）,可能无解，即任意 都可能使,（,2,）,不等于零，设法找实数组 使,（,2,）,最小,这么 为方程组,（,1,）,最小二乘解，,此问题叫最小二乘法问题,.,1.,问题提出,，实系数线性方程组,56/62,2,.,问题处理,设,（,3,）,用距离概念，（,2,）就是,由（,3,）知,57/62,找 使（,2,）最小，等价于找子空间,中向量 使 到它距离 比到,中其它向量距离都短,.,设 为此必,这等价于,（,4,）,即,这么（,4,）等价于 或,（,5,）,58/62,例题,59/62,四、正交变换和酉变换,讨论欧氏空间,V,中最主要一类变换。,1,正交变换定义；,2,正交变换充要条件：,（,Theorem,P042,）,T,是内积空间,V,上线性变换，则以下命题等价：,T,是正交变换,T,保持向量长度不变,T,把,V,标准正交基变成标准正交基,T,在标准正交基下矩阵是正交矩阵,3 正交矩阵性质,正交矩阵,C,：,C,T,C=I,正交矩阵判定：,A,是正交矩阵,每个行（列）向量是单位向量；,每两行（列）正交。,60/62,常见基本正交变换,：,平面上旋转,几何描述：,绕坐标原点，逆时针旋转一个,角。,变换矩阵：在自然基下，,R,3,空间中镜像变换,定义：,S,（,x,）,=,x,2,（,x,，,u,）,u,。,变换矩阵与几何意义,空间中旋转,几何描述：绕空间中过原点 一根直线,L,，,旋转一 个,角。,变换矩阵,61/62,五、酉空间和酉变换,把内积空间中数域换成复数域,C,复内积空间,(,酉空间,),1,酉空间内积和欧氏空间内积定义区分；,2,酉变换和正交变换,3,正规变换与正规矩阵定义；,4 Schur Lema;,5 Hermite,矩阵性质；,6,矩阵奇异值。,62/62,