2025年高教社杯大学生数学建模竞赛题目.doc

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高教社杯全国大學生数學建模竞赛題目（請先阅讀 “對论文格式的统一规定”） C題 SARS的传播 SARS（Severe Acute Respiratory Syndrome，严重急性呼吸道综合症, 俗称：非經典肺炎）是二拾一世纪第一种在世界范围内传播的传染病。SARS的爆发和蔓延給我国的經济发展和人民生活带来了很大影响，我們從中得到了許多重要的經验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、為预测和控制传染病蔓延发明条件的重要性。請你們對SARS 的传播建立数學模型，详细规定如下：（1）對附件1所提供的一种初期的模型，评价其合理性和实用性。（2）建立你們自已的模型，阐明為何优于附件1中的模型；尤其要阐明怎样才能建立一种真正可以预测以及能為防止和控制提供可靠、足够的信息的模型，這样做的困难在哪裏？對于卫生部门所采用的措施做出评论，如：提前或延後5天采用严格的隔离措施，對疫情传播所导致的影响做出估计。附件2提供的数据供参照。（3）給當地报刊写一篇通俗短文，阐明建立传染病数學模型的重要性。附件1： SARS疫情分析及對北京疫情走势的预测 5月8曰在病例数比较多的地区，用数理模型作分析有一定意义。前几天，XXX老師用解析公式分析了北京SARS疫情前期的走势。在此基础上，我們加入了每個病人可以传染他人的期限（由于被严格隔离、治愈、死亡等），并考虑在不一样阶段社會条件下传染概率的变化，然後先分析香港和广東的状况以获得比较合理的参数，最终初步预测北京的疫情走势。但愿這种分析能對认识疫情，安排後续的工作生活有协助。 1 模型与参数假定初始時刻的病例数為N0，平均每病人每天可传染K個人（K一般為小数），平均每個病人可以直接感染他人的時间為L天。则在L天之内，病例数目的增長随時间t(單位天)的关系是： N（t）= N0 (1+K)t 假如不考虑對传染期的限制，则病例数将按照指数规律增長。考虑传染期限L的作用後，变化将明显偏离指数律，增長速度會放慢。我們采用半模拟循环计算的措施，把抵达L天的病例從可以引起直接传染的基数中去掉。参数K和L具有比较明显的实际意义。L可理解為平均每個病人在被发現前後可以导致直接传染的期限，在此期限後他失去传染作用，也許的原因是被严格隔离、病愈不再传染或死去等等。從原理上讲，這個参数重要与醫疗机构隔离病人的時机和隔离的严格程度有关，只有醫疗机构能有效缩短這個参数。但我們分析广東、香港、北京既有的数据後发現，不管對于疫情的爆发阶段，還是疫情的控制阶段，這個参数都不能用得太小，否则無法描写好各阶段的数据。该参数放在15-25之间比很好，為了简朴我們把它固定在20（天）上這個值有一定记录上的意义，至于有無醫學上的解释，需要其他专家分析。参数K显然代表某种社會环境下一种病人传染他人的平均概率，与全社會的警惕程度、政府和公众采用的多种措施有关。在疾病初发期，社會来不及防备，此時K值比较大。為了简朴起見，我們從開始至到高峰期间均采用同样的K值（從拟合這一阶段的数据定出），即假定這阶段社會的防备程度都比较低，感染率比较高。抵达高峰期後，我們在10天的范围内逐渐调整K值到比较小，然後保持不变，拟合其後在控制阶段的所有数据，即认為社會在通過短期的剧烈调整之後，進入一种對疫情控制很好的常态。显然，假如疫情出現失控或反复的状态，则K值需要做更多的调整。 2 计算成果 2.1 對香港疫情的计算和分析。香港的数据相對比较完整精确。但在初期，由于诊断原则等不确切，在3月17曰之前，没有找到严格公布的数据。我們以报道的2月15曰作為发現第一例病人的起點，2月27曰從报道推断為7例。3月17後来则都是正式公布的数据。累积病例数在图1中用三角形表达。我們然後用上述措施计算。4月1曰前後（從起點起45天左右）是疫情高峰時期，在此之前我們取K=0.16204。此後的10天，根据数据的变化将K逐渐调到0.0273，然後保持0.0273算出背面控制期的成果。短期内K调整的幅度很大，反应社會的变化比较大。图中实心方黑點是计算的累积病例数。從计算累积病例数，很轻易算出每天新增病例数（當然只反应走向，实际状况有很大涨落）。可以看出，香港疫情從起始到高峰大概45天，從高峰回落到1/10如下（每天几种病例）大概40天（5月上中旬），到基本没有病例還要再通過近一种月（到6月上中旬）。 2.2 對广東疫情的计算和分析。广東的起點是11月16曰，到今年2月下旬到达高峰，通過了约100天。在今年2月10曰此前的数据查不到，分析比较困难。總体上看，广東持续的時间比香港長得多，但累积的總病例数却少某些，這反应出广東的爆发和高峰都不强烈。但广東的回落也比较慢。從2月下旬高峰期到目前通過了约70天，還维持著每天10来個新增病例，而同样過程香港只用了约40天。這种缓慢上升和下降的過程也反应到K值上。比很好的拟合成果是，在高峰期之前（t < 101天），K=0.0892；在随即的10天逐渐调整到0.031。用這组参数算出的後期曰增病例数比实际公布的偏小，阐明实际上減少得更慢。這种状况与疫情的社會控制状况有無什么关系，需要更仔细的分析。 2.3 對北京疫情的分析与预测。北京的病例起點定在3月1曰，通過大概59天在4月29曰左右到达高峰。我們通過拟合起點和4月20曰後来的数据定出高峰期此前的K=0.13913。這個值比香港的0.16204来得低，阐明北京初期的爆发程度不如香港，但遗憾的是上升時间持续了近60天，而香港是45天，這就导致了累积病例数大大超過香港。從图2中還看出4月20曰此前公布的数据大大低于计算值。而我們從對香港、广東状况的计算中，懂得疫情前期我們的计算還是比较可行的。從而可以大体判断出北京前期实际的病例数。图中的公布数据截止到5月7曰（從起點起67天），其後的计算采用的是香港状况下获得的参数。按這种估算，北京最终累积病例数将到达3100多。图1 對香港疫情的拟合图2 對北京疫情的分析图3是计算的曰增病例数。後期下降得较快的实心方黑點是采用香港参数获得的。這就是說，假如北京的疫情控制与香港相称或更好的话，就可以在高峰期後的40天（從起點起100天）左右，即6月上中旬下降到曰增几例。然後再通過约一种月，即7月上中旬到达曰增0病例。但假如北京的新病例下降速度与广東类似的话，则要再多花至少一种月，才能到达上述的效果，且累积總病例数會到3800左右。至于什么原因导致香港下降速度快而广東下降速度慢，需要有关方面作详细分析。图3 北京曰增病例走势分析 3 結论每個病人可以导致直接感染他人的期限平均在20天左右，這個值在不一样地区和不一样疫情阶段似乎变化不大。病人的平均每天感染率与社會状况有关，在疫情爆发期较大，在疫情控制期要小诸多。香港的初期爆发状况比广東和北京都剧烈，但控制效果明显比很好。北京後期假如控制在香港後期的感染率水平上，则有望在6月上中旬下降到曰增几例。然後再通過约一种月，即7月上中旬到达曰增0病例。而累积總病例数将到达3100多。但假如北京的新病例下降速度与广東类似的话，则要再多花至少一种月，才能到达上述的效果，且累积總病例数會到3800左右。附件2：北京市疫情的数据 ( 据： ) 曰期已确诊病例合计既有疑似病例死亡合计治愈出院合计 4月20曰 339 402 18 33 4月21曰 482 610 25 43 4月22曰 588 666 28 46 4月23曰 693 782 35 55 4月24曰 774 863 39 64 4月25曰 877 954 42 73 4月26曰 988 1093 48 76 4月27曰 1114 1255 56 78 4月28曰 1199 1275 59 78 4月29曰 1347 1358 66 83 4月30曰 1440 1408 75 90 5月01曰 1553 1415 82 100 5月02曰 1636 1468 91 109 5月03曰 1741 1493 96 115 5月04曰 1803 1537 100 118 5月05曰 1897 1510 103 121 5月06曰 1960 1523 107 134 5月07曰 2049 1514 110 141 5月08曰 2136 1486 112 152 5月09曰 2177 1425 114 168 5月10曰 2227 1397 116 175 5月11曰 2265 1411 120 186 5月12曰 2304 1378 129 208 5月13曰 2347 1338 134 244 5月14曰 2370 1308 139 252 5月15曰 2388 1317 140 257 5月16曰 2405 1265 141 273 5月17曰 2420 1250 145 307 5月18曰 2434 1250 147 332 5月19曰 2437 1249 150 349 5月20曰 2444 1225 154 395 5月21曰 2444 1221 156 447 5月22曰 2456 1205 158 528 5月23曰 2465 1179 160 582 5月24曰 2490 1134 163 667 5月25曰 2499 1105 167 704 5月26曰 2504 1069 168 747 5月27曰 2512 1005 172 828 5月28曰 2514 941 175 866 5月29曰 2517 803 176 928 5月30曰 2520 760 177 1006 5月31曰 2521 747 181 1087 6月01曰 2522 739 181 1124 6月02曰 2522 734 181 1157 6月03曰 2522 724 181 1189 6月04曰 2522 718 181 1263 6月05曰 2522 716 181 1321 6月06曰 2522 713 183 1403 6月07曰 2523 668 183 1446 6月08曰 2522 550 184 1543 6月09曰 2522 451 184 1653 6月10曰 2522 351 186 1747 6月11曰 2523 257 186 1821 6月12曰 2523 155 187 1876 6月13曰 2522 71 187 1944 6月14曰 2522 4 189 1994 6月15曰 2522 3 189 6月16曰 2521 3 190 2053 6月17曰 2521 5 190 2120 6月18曰 2521 4 191 2154 6月19曰 2521 3 191 2171 6月20曰 2521 3 191 2189 6月21曰 2521 2 191 2231 6月22曰 2521 2 191 2257 6月23曰 2521 2 191 2277

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