2025年北师大版九年级下数学定理知识点汇总.doc

九年级（下）数學定理知识點汇總
第一章 直角三角形边的关系
※一. 正切：
定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的對边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即;
①tanA是一种完整的符号，它表达∠A的正切，记号裏习惯省去角的符号“∠”；
②tanA没有單位，它表达一种比值，即直角三角形中∠A的對边与邻边的比；
③tanA不表达“tan”乘以“A”；
④初中阶段，我們只學习直角三角形中，∠A是锐角的正切；
⑤tanA的值越大，梯子越陡，∠A越大； ∠A越大，梯子越陡，tanA的值越大。
※二. 正弦：
定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的對边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即;
※三. 余弦：
定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即;
※余切：
定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的邻边与對边的比叫做∠A的余切，记作cotA，即;
※一种锐角的正弦、余弦、正切、余切分别等于它的余角的余弦、正弦、余切、正切。

0º
30 º
45 º
60 º
90 º
sinα
0

1
cosα
1

0
tanα
0

1

—
cotα
—

1

0
（一般我們称正弦、余弦互為余函数。同样，也称正切、余切互為余函数，可以概括為：一种锐角的三角函数等于它的余角的余函数）用等式体現：若∠A為锐角，则
①；
②；
※當從低处观测高处的目的時，视线与水平线
所成的锐角称為仰角
※當從高处观测低处的目的時，视线与水平线所成
的锐角称為俯角
※运用特殊角的三角函数值表，可以看出，(1)當
图1
角度在0°～90°间变化時，正弦值、正切值伴随角度的增大(或減小)而增大(或減小)；余弦值、余切值伴随角度的增大(或減小)而減小(或增大)。(2)0≤sinα≤1，0≤cosα≤1。
※同角的三角函数间的关系：
倒数关系：tgα·ctgα=1。

※在直角三角形中，除直角外，一共有五個元素，即三条边和二個锐角。由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的過程，叫做解直角三角形。
◎在△ABC中，∠C為直角，∠A、∠B、∠C所對的边分别為a、b、c，则有
(1)三边之间的关系：a2+b2=c2；
(2)两锐角的关系：∠A＋∠B=90°；
图2
h
i=h:l
l
A
B
C
(3)边与角之间的关系：

(4)面积公式:(hc為C边上的高);
图4
(5)直角三角形的内切圆半径
图3
(6)直角三角形的外接圆半径
◎解直角三角形的几种基本类型列表如下：
◎解直角三角形的几种基本类型列表如下：

※ 如图2，坡面与水平面的夹角叫做坡角 (或叫做坡比)。用字母i表达，即
◎從某點的指北方向按顺時针转到目的方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA、OB、OC的方位角分别為45°、135°、225°。
◎指北或指南方向线与目的方向线所成的不不小于90°的水平角，叫做方向角。如图4，OA、OB、OC、OD的方向角分别是；北偏東30°，南偏東45°(東南方向)、南偏西為60°，北偏西60°。

第二章 二次函数
※二次函数的概念：形如的函数，叫做x的二次函数。自变量的取值范围是全体实数。 是二次函数的特例，此時常数b=c=0.
※在写二次函数的关系式時，一定要寻找两個变量之间的等量关系，列出對应的函数关系式，并确定自变量的取值范围。
※二次函数y＝ax2的图象是一条顶點在原點有关y轴對称的曲线，這条曲线叫做抛物线。
描述抛物线常從開口方向、對称性、y随x的变化状况、抛物线的最高（或最低）點、抛物线与x轴的交點等方面来描述。
①函数的定义域是全体实数；
②抛物线的顶點在(0，0)，對称轴是y轴(或称直线x＝0)。
③當a＞0時，抛物线開口向上，并且向上方無限伸展。當a＜0時，抛物线開口向下，并且向下方無限伸展。
④函数的增減性：
A、當a＞0時　　 B、當a＜0時

⑤當｜a｜越大，抛物线開口越小；當｜a｜越小，抛物线的開口越大。
⑥最大值或最小值：當a＞0，且x＝0時函数有最小值，最小值是0；當a＜0，且x＝0時函数有最大值，最大值是0．
※二次函数的图象是一条顶點在y轴上且与y轴對称的抛物线
※二次函数的图象是认為對称轴，顶點在（，）的抛物线。（開口方向和大小由a来决定）
※|a|的越大，抛物线的開口程度越小，越靠近對称轴y轴，y随x增長（或下降）速度越快；|a|的越小，抛物线的開口程度越大，越遠离對称轴y轴，y随x增長（或下降）速度越慢。
※二次函数的图象中，a的符号决定抛物线的開口方向，|a|决定抛物线的開口程度大小，c决定抛物线的顶點位置，即抛物线位置的高下。
※二次函数的图象与y＝ax2的图象的关系：
的图象可以由y＝ax2的图象平移得到，其环节如下：
①将配方成的形式；（其中h=，k=）；
②把抛物线向右（h>0）或向左（h<0）平移|h|個單位，得到y=a(x-h)2的图象；
③再把抛物线向上（k>0）或向下（k<0）平移| k|個單位，便得到的图象。
※二次函数的性质：
二次函数配方成则抛物线的
①對称轴：x= ②顶點坐標：（，）
③增減性： 若a>0，则當x<時，y随x的增大而減小；當x>時，y随x的增大而增大。
若a<0，则當x<時，y随x的增大而增大；當x>時，y随x的增大而減小。
④最值：若a>0，则當x=時，；若a<0，则當x=時，
※画二次函数的图象：
我們可以运用它与函数的关系，平移抛物线而得到，但往往我們采用简化了的描點法----五點法来画二次函数来画二次函数的图象，其环节如下：
①先找出顶點（，），画出對称轴x=；
②找出图象上有关直线x=對称的四個點（如与坐標的交點等）；
③把上述五點连成光滑的曲线。
¤二次函数的最大值或最小值可以通過将解析式配成y=a(x-h)2+k的形式求得，也可以借助图象观测。
¤处理最大（小）值問題的基本思绪是：
①理解問題；
②分析問題中的变量和常量，以及它們之间的关系；
③用数學的方式表达它們之间的关系；
④做数學求解；
⑤检查成果的合理性、拓展性等。
※二次函数的图象(抛物线)与x轴的两個交點的横坐標x1，x2是對应一元二次方程的两個实数根
※抛物线与x轴的交點状况可以由對应的一元二次方程的根的鉴别式鉴定：
>0 <===> 抛物线与x轴有2個交點；
=0 <===> 抛物线与x轴有1個交點；
<0 <===> 抛物线与x轴有0個交點（無交點）；
※當>0時，设抛物线与x轴的两個交點為A、B，则這两個點之间的距离：

化简後即為： ------ 這就是抛物线与x轴的两交點之间的距离公式。

第三章 圆
一. 車轮為何做成圆形
※1. 圆的定义：
描述性定义：在一种平面内，线段OA绕它固定的一种端點O旋转一周，另一种端點A随之旋转所形成的圆形叫做圆；固定的端點O叫做圆心；线段OA叫做半径；以點O為圆心的圆，记作⊙O，讀作“圆O”
集合性定义：圆是平面内到定點距离等于定長的點的集合。其中定點叫做圆心，定長叫做圆的半径，圆心定圆的位置，半径定圆的大小，圆心和半径确定的圆叫做定圆。
對圆的定义的理解：①圆是一条封闭曲线，不是圆面；
②圆由两個条件唯一确定：一是圆心（即定點），二是半径（即定長）。
※2. 點与圆的位置关系及其数量特性：
假如圆的半径為r，點到圆心的距离為d，则
①點在圆上 <===> d=r;
②點在圆内 <===> d<r;
③點在圆外 <===> d>r.
其中點在圆上的数量特性是重點，它可用来证明若干個點共圆，措施就是证明這几种點与一种定點、的距离相等。
二. 圆的對称性:
※1. 与圆有关的概念：
①弦和直径：
弦：连接圆上任意两點的线段叫做弦。
直径：通過圆心的弦叫做直径。
②弧、半圆、优弧、劣弧：
弧：圆上任意两點间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号“⌒”表达，以CD為端點的弧记為“”，讀作“圆弧CD”或“弧CD”。
半圆：直径的两個端點分圆成两条弧，每一条弧叫做半圆。
优弧：不小于半圆的弧叫做优弧。
劣弧：不不小于半圆的弧叫做劣弧。(為了区别优弧和劣弧，优弧用三個字母表达。)
③弓形：弦及所對的弧构成的图形叫做弓形。
④同心圆：圆心相似，半径不等的两個圆叫做同心圆。
⑤等圆：可以完全重叠的两個圆叫做等圆，半径相等的两個圆是等圆。
⑥等弧：在同圆或等圆中，可以互相重叠的弧叫做等弧。
⑦圆心角：顶點在圆心的角叫做圆心角.
⑧弦心距:從圆心到弦的距离叫做弦心距.
※2. 圆是轴對称图形，直径所在的直线是它的對称轴，圆有無数条對称轴。
※3. 垂径定理：垂直于弦的直径平分這条弦，并且平分弦所對的两条弧。
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所對的两条弧。
阐明：根据垂径定理与推论可知對于一种圆和一条直线来說，假如具有：
①過圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所對的优弧；⑤平分弦所對的劣弧。
上述五個条件中的任何两個条件都可推出其他三個結论。
※4. 定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所對的弧相等、所對的弦相等、所對的弦心距相等。
推论: 在同圆或等圆中,假如两個圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它們所對应的其他各组量都分别相等.
三. 圆周角和圆心角的关系:
※1. 1°的弧的概念: 把顶點在圆心的周角等提成360份時,每一份的角都是1°的圆心角,對应的整個圆也被等提成360份,每一份同样的弧叫1°弧.
※2. 圆心角的度数和它所對的弧的度数相等.
這裏指的是角度数与弧的度数相等,而不是角与弧相等.即不能写成∠AOB= ,這是錯误的.
※3. 圆周角的定义:
顶點在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫做圆周角.
※4. 圆周角定理:
一条弧所對的圆周角等于它所對的圆心角的二分之一.
※推论1: 同弧或等弧所對的圆周角相等；反之，在同圆或等圆中，相等圆周角所對的弧也相等；
※推论2: 半圆或直径所對的圆周角是直角；90°的圆周角所對的弦是直径；
※四. 确定圆的条件:
※1. 理解确定一种圆必须的具有两個条件:
圆心和半径,圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小.
通過一點可以作無数個圆,通過两點也可以作無数個圆,其圆心在這個两點线段的垂直平分线上.
※2. 通過三點作圆要分两种状况:
(1) 通過同一直线上的三點不能作圆.
(2)通過不在同一直线上的三點,能且仅能作一种圆.
※定理: 不在同一直线上的三個點确定一种圆.
※3. 三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形的概念:
(1)三角形的外接圆和圆的内接三角形: 通過一种三角形三個顶點的圆叫做這個三角形的外接圆,這個三角形叫做圆的内接三角形.
(2)三角形的外心: 三角形外接圆的圆心叫做這個三角形的外心.
(3)三角形的外心的性质:三角形外心到三顶點的距离相等.
五. 直线与圆的位置关系
※1. 直线和圆相交、相切相离的定义:
(1)相交: 直线与圆有两個公共點時,叫做直线和圆相交,這時直线叫做圆的割线.
(2)相切: 直线和圆有惟一公共點時,叫做直线和圆相切,這時直线叫做圆的切线,惟一的公共點做切點.
(3)相离: 直线和圆没有公共點時,叫做直线和圆相离.
※2. 直线与圆的位置关系的数量特性:
设⊙O的半径為r，圆心O到直线的距离為d；
①d<r <===> 直线L和⊙O相交.
②d=r <===> 直线L和⊙O相切.
③d>r <===> 直线L和⊙O相离.
※3. 切线的總鉴定定理:
通過半径的外端并且垂直于這個条半径的直线是圆的切线.
※4. 切线的性质定理:
圆的切线垂直于過切點的半径.
※推论1 通過圆心且垂直于切线的直线必通過切點.
※推论2 通過切點且垂直于切线的直线必通過圆心.
※分析性质定理及两個推论的条件和結论间的关系,可得如下結论:
假如一条直线具有下列三個条件中的任意两個,就可推出第三個.
①垂直于切线; ②過切點; ③過圆心.
※5. 三角形的内切圆、内心、圆的外切三角形的概念.
和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心, 這個三角形叫做圆的外切三角形.
※6. 三角形内心的性质:
(1)三角形的内心到三边的距离相等.
(2)過三角形顶點和内心的射线平分三角形的内角.
由此性质引出一条重要的辅助线: 连接内心和三角形的顶點,该线平分三角形的這個内角.
六. 圆和圆的位置关系.
※1. 外离、外切、相交、内切、内含(包括同心圆)這五种位置关系的定义.
(1)外离: 两個圆没有公共點,并且每個圆上的點都在另一种圆的外部時,叫做這两個圆外离.
(2)外切: 两個圆有惟一的公共點,并且除了這個公共點以外,每個圆上的點都在另一种圆的外部時, 叫做這两個圆外切.這個惟一的公共點叫做切點.
(3)相交: 两個圆有两個公共點,此時叫做這個两個圆相交.
(4)内切: 两個圆有惟一的公共點,并且除了這個公共點以外,一种圆上的都在另一种圆的内部時,叫做這两個圆内切.這個惟一的公共點叫做切點.
(5)内含: 两個圆没有公共點, 并且一种圆上的點都在另一种圆的内部時,叫做這两個圆内含.两圆同心是两圆内的一种特例.
※2. 两圆位置关系的性质与鉴定:
(1)两圆外离 <===> d>R+r
(2)两圆外切 <===> d=R+r
(3)两圆相交 <===> R-r<d<R+r (R≥r)
(4)两圆内切 <===> d=R-r (R>r)
(5)两圆内含 <===> d<R-r (R>r)
※3. 相切两圆的性质:
假如两個圆相切,那么切點一定在连心线上.
※4. 相交两圆的性质:
相交两圆的连心线垂直平分公共弦.
七. 弧長及扇形的面积
※1. 圆周長公式:
圆周長C=2R (R表达圆的半径)
※2. 弧長公式:
弧長 (R表达圆的半径, n表达弧所對的圆心角的度数)
※3. 扇形定义:
一条弧和通過這条弧的端點的两条半径所构成的图形叫做扇形.
※4. 弓形定义:
由弦及其所對的弧构成的图形叫做弓形.
弓形弧的中點到弦的距离叫做弓形高.
※5. 圆的面积公式.
圆的面积 (R表达圆的半径)
※6. 扇形的面积公式:
扇形的面积 (R表达圆的半径, n表达弧所對的圆心角的度数)
图5
※弓形的面积公式:(如图5)

(1)當弓形所含的弧是劣弧時,
(2)當弓形所含的弧是优弧時,
(3)當弓形所含的弧是半圆時,
八. 圆锥的有关概念:
※1. 圆锥可以看作是一种直角三角形绕著直角边所在的直线旋转一周而形成的图形,另一条直角边旋转而成的面叫做圆锥的底面,斜边旋转而成的面叫做圆锥的侧面.
※2. 圆锥的侧面展開图与侧面积计算:
圆锥的侧面展開图是一种扇形,這個扇形的半径是圆锥侧面的母线長、弧長是圆锥底面圆的周長、圆心是圆锥的顶點.
假如设圆锥底面半径為r,侧面母线長(扇形半径)是l, 底面圆周長(扇形弧長)為c,那么它的侧面积是:
_
图6

_
P
_
O
_
B
_
A

¤九. 与圆有关的辅助线
1.如圆中有弦的条件,常作弦心距,或過弦的一端作半径為辅助线.
2.如圆中有直径的条件,可作出直径上的圆周角.
3.如一种圆有切线的条件,常作過切點的半径(或直径)為辅助线.
4.若条件交代了某點是切點時,连結圆心和切點是最常用的辅助线.
¤拾. 圆内接四边形
若四边形的四個顶點都在同一种圆上,這個四边形叫做圆内接四边形,這個圆叫做這個四边形的外接圆.
圆内接四边形的特性: ①圆内接四边形的對角互补;
②圆内接四边形任意一种外角等于它的内錯角.

※拾一.北師版数學未出理的有关圆的性质定理
1.切线長定理：從圆外一點引圆的两条切线，它們的切线長相等，圆心和這一點的连线平分两条切线的夹角。
_
O
_
C
_
D
_
A
_
B
如图6，∵PA，PB分别切⊙O于A、B
∴PA=PB，PO平分∠APB
2．弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所對的圆周角。
推论：假如两個弦切角所夹的弧相等，那么這两個弦切角也相等。
如图7，CD切⊙O于C，则，∠ACD=∠B
3．和圆有关的比例线段：
①相交弦定理：圆内的两条弦相交，被交點提成的两条线段長的积相等；
_
图7

②推论：假如弦与直径垂直相交，那么弦的二分之一是它分直径所成的两条线段的比例中项。
如图8，AP•PB=CP•PD
如图9，若CD⊥AB于P，AB為⊙O直径，则CP2=AP•PB
4．切割线定理
①切割线定理，從圆外一點引圆的切线和割线，切线長是這點到割线与圆交點的两条线段長的比例中项；
②推论：從圆外一點引圆的两条割线，這一點到每条割线与圆的交點的两条线段長的积相等。
如图10， ①PT切⊙O于T，PA是割线，點A、B是它与⊙O的交點，则PT2=PA•PB
②PA、PC是⊙O的两条割线，则PD•PC=PB•PA
5．两圆连心线的性质
①假如两圆相切，那么切點一定在连心线上，或者說，连心线過切點。
②假如两圆相交，那么连心线垂直平分两圆的公共弦。
如图11，⊙O1与⊙O2交于A、B两點，则连心线O1O2⊥AB且AC=BC。
6．两圆的公切线
两圆的两条外公切线的長及两条内公切线的長相等。
如图12，AB分别切⊙O1与⊙O2于A、B，连結O1A，O2B，過O2作O2C⊥O1A于C，公切线長為l，两圆的圆心距為d，半径分别為R，r则外公切线長：
如图13，AB分别切⊙O1与⊙O2于A、B，O2C∥AB，O2C⊥O1C于C，⊙O1半径為R，⊙O2半径為r，则内公切线長：
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图9

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P
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A
_
B
_
C
_
D
_
O
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图10

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B
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D
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C
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O
_
A
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T
_
P

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O
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B
_
D
_
P
_
A
_
C
图8

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图12

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O
_
1
_
B
_
A
_
r
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R
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C
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d
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O
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2

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O
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2
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d
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C
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R
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r
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A
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B
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O
_
1
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图13

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图11

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B
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C
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A
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O
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2
_
O
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1

第四章 记录与概率
1. 试验频率与理论概率的关系只是在试验次数诸多時,试验频率靠近于理论概念,但试验次数再多,也很难保证试验成果与理论值相等,這就是“随机事件”的特點.
三. 游戏公平吗?
1. 游戏的公平性是指游戏双方各有50%赢的机會,或者游戏多方赢的机會相等.
2. 表达一种事件发生的也許性大小的数叫做该事件的概率.一种事件发生的概率取值在0与1之间.
3. 概率的预测的计算措施:某事件A发生的概率:

4. 用分析的措施求事件发生的概率要注意关键性的两點:
(1)要弄清晰我們关注的是发生哪個或哪些成果;
(2)要弄清晰所有机會均等的成果.

（注：※表达重點部分；¤表达理解部分；◎表达仅供参阅部分；）

∵∴⊙∠①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩•⊥