2025年湖州市初三数学竞赛试题及参考答案.doc

湖州市初三数學竞赛试題
（12月11曰 上午9：00—11：00）
題　号
一
二
三
總分
1－8
9－14
15
16
17
18
得　分

评卷人

复查人

答題時注意；1．用圆珠笔或钢笔作答．　　2．解答書写時不要超過装订线．
得 分

评卷人

3．可以用计算器

一、选择題（共8小題，每題5分，满分40分．請将對的选项的代号填入題後的括号裏．不填、多填或錯填均得零分）
1．假如(3，4)是反比例函数y=图像上的一點，那么此函数必然通過點 ( )
A．(2，6) B．(2，-6) C．(4，-3) D．(3，-4)
2．已知|a+b|+|a-b|-2b=0，在数轴上給出有关a，b的四种位置关系如图所示，则也許成立的有(　)

　A．1种　　　　　B．2种　　　　　C．3种　　　　 D．4种
3．在直角坐標系中，已知两點A、B以及動點C、D，则當四边形ABCD的周長最小時，比值為　（　 　）
 A．　　　　 B．　　　 　C．　　 　D．

A
B
C
D
E
F
G
4．如图，边長為1的正方形ABCD绕點A逆時针旋转300到正方形AEFG，则图中阴影部分的面积為（ ）
A． B． C． D．

5．定义新运算： a⊕b=，则函数y=3⊕x的图象大体是（ ）

6．观测下列三角形数阵：

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

…
…

则第50行的最终一种数是（ ）
A．1275 B．1270 C．1260 D．1225

7．如图，一种边長分别為3cm、4cm、5cm的直角三角形的一种顶點与正方形的顶點B重叠，另两個顶點分别在正方形的两条边AD、DC上，那么這個正方形的面积是（ ）。
第7題
A．cm2 B．cm2
C．cm2 D.cm2

8．空间6個點（任意三點不共线）两两连线，用紅、藍两色染這些线段，其中A點连出的线段都是紅色的，以這6個點為顶點的三角形中，三边同色的三角形至少有　（　 　）　
A．3個　　　　 B. 4個　　　　 C. 5個　　　 D. 6個

得 分

评卷人

二、填空題（共6小題，每題5分，满分30分）

9．王師傅围一块一面靠墙長方形花圃，面积為50m2，假如不靠墙的三面用竹篱笆去围。那么，竹篱笆至少需要的長度是________m。

B
A
C
E
F
D
第11題
10．如图，在△ABD中，∠ADB＝90°，C是BD上一點，若E、F分别是AC、AB的中點，△DEF的面积為3.5，则△ABC的面积為 .

第10題

11．如图，△ABC中，已知AB=AC，△DEF是△ABC的内接正三角形，α=∠BDF，β=∠CED，γ=∠AFE，则用β、γ表达α的关系式是_________。

0
2
8
4
2
4
6
22
4
6
8
44
m
6
第12題图
12．填在下面各正方形中的四個数之间均有相似的规律，根据此规律，m的值是 ．

13．假期學校组织360名師生外出旅游，某客車出租企业有两种大客車可供选择：甲种客車每辆車有40個座位，租金400元；乙种客車每辆有50個座位，租金480元.则租用该企业客車至少需要租金___________.
A
B
C
N
M
O
14．如图：已知正中，點M，N分别在AB，AC上，且AN=BM，BN与CM相交于O，若，则 。

三、解答題（共4題，分值依次為12分、12分、12分和14分，满分50分）
得 分

评卷人

15．设有关的一次函数与，则称函数
（其中為此两個函数的生成函数。
（1）當時，求函数与的生成函数的值；
（2）若函数与的图象的交點為，判断點与否在此两個函数的生成函数的图象上，并阐明理由。

得 分

评卷人

16．已知：對于实数，只有一种实数值满足等式

试求所有這样的实数的和.

得 分

评卷人

17．

某乡镇小學到县城参观，规定汽車從县城出发于上午7時抵达學校，接参观的師生立即出发去县城．由于汽車在赴校的途中发生了故障，不得不停車修理．學校師生等到7時10分，仍未見汽車来接，就步行走向县城．在行進途中碰到了已經修理好的汽車，立即上車赶赴县城，成果比原定抵达县城的時间晚了半小時．假如汽車的速度是步行速度的5倍，問汽車在途中排除故障花了多少時间？．

得 分

评卷人

18. 已知：直线与轴交于A，与轴交于D，抛物线与直线交于A、E两點，与轴交于B、C两點，且B點坐標為 （1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）動點P在轴上移動，當△PAE是直角三角形時，求點P的坐標．
（3）在抛物线的對称轴上找一點M，使的值最大，求出點M的坐標．
y
x
O
D
E
A
B
C

湖州市初三数學竞赛试題参照答案与评分意見
一、选择題（共8小題，每題5分，满分40分）
1．A 2．B 3．C 4． D 5．B 6．A 7．D 8． C

二、填空題（共6小題，每題5分，满分30分）
9． 20 10． 14 11．
12． 74 13． 3520元 14．或

三、解答題（共4題，分值依次為12分、12分、12分和14分，满分50分）
15． 解：（1）与的生成函数為
------------ 2分
當=1時， ------------ 4分
（2）點P在此两個函数的生成函数的图象上。
设P點坐標為（，根据題意，得

∵ 當時， ------------- 4分
∴ 點P（在函数与生成函数的图象上 ------ 2分
16．解：題中等式可化為　　　　　　①
當方程①有两個相等的实数根時，　，
由此得， ---------------------------------------- 3分
此時方程①有一种根，验证可知确实满足題中的等式。
當方程①有两個不相等的实数根時，，由此得
若是方程①的根，则原方程有增根，代入①解得， ------------- 3分
此時方程①的另一种根，它确也满足題中的等式；
若是方程①的根，则原方程有增根，代入①解得，
此時方程①的另一种根，验证可知确满足題中的等式； ------------------------ 3分
因此，，即為所求，且. --------------- 3分

17. 解法一：设學校与县城的距离為S仟米，汽車故障時间為分钟，師生步行的時间為t，步行的速度為仟米/分钟，则汽車速度為5仟米/分钟. ------------- 2分
---------------------------- 4分
----------------------------- 4分
解得 t=25，=40分钟 ------------------------------ 2分
答：汽車在途中排除故障共花了40分钟。
解法二：
假定排除故障花時x分钟．设點A為县城所在地，點C為學校所在地，點B為師生途中与汽車相遇之处．在師生們晚到县城的30分钟中，有10分钟是因晚出发导致的，尚有20分钟是由于從C到B由步行替代乘車而耽误的． ------------ 4分
汽車所晚的30分钟，首先是由于排除故障耽误了x分钟，但另首先由于少跑了B到C之间的一种来回而省下了某些時间．已知汽車速度是步行速度的5倍，而步行比汽車從C到B這段距离要多花20分钟．
由此知汽車由C到B应花＝5(分钟) ----------------------------- 4分
一种来回省下10分钟，因此有x一10＝30，x＝40，
即 汽車在途中排除故障花了40分钟． ----------------------------- 4分

18. 解：（1）将A（0，1）、B（1，0）坐標代入得
解得
∴抛物线的解折式為． ------------------------------ 4分
（2）设點E的横坐標為m，则它的纵坐標為
则E（，）．
又∵點E在直线上，
∴．
y
x
O
D
E
A
B
C
P1
F
P2
P3
M
解得（舍去），．
∴E的坐標為（4，3）． ------------------ 2分
（Ⅰ）當A為直角顶點時
過A作交轴于點，设．
易知D點坐標為（，0）．
由得
即，∴．
∴． -------------- 1分
（Ⅱ）同理，當為直角顶點時，點坐標為（，0） -------------- 1分
（Ⅲ）當P為直角顶點時，過E作轴于，设．
由，得．
．
由得．
解得，．
∴此時的點的坐標為（1，0）或（3，0）． -------------- 2分
综上所述，满足条件的點P的坐標為（，0）或（1，0）或（3，0）或（，0）
（3）抛物线的對称轴為．
∵B、C有关對称，
∴．
要使最大，即是使最大．
由三角形两边之差不不小于第三边得，當A、B、M在同一直线上時的值最大．
易知直线AB的解折式為．
∴由 得 ∴M（，－）． ---------------------- 4分