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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,二项式定理题型荟萃,第1页,二项式定理,二项式展开通项,复习旧知,第 项,第2页,性质复习,性质1,:,在二项展开式中，与首末两端等距离,任意两项二项式系数相等,.,性质2,:,假如二项式幂指数是偶数，中间一项二项式系数最大；假如二项式幂指数是奇数，中间两项二项式系数最大；,性质3：,性质4,:(a+b),n,展开式中，奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和.,第3页,题型一 利用 二项展开式解题,解法1,例1 求 展开式,直接用二项,式定理展开,第4页,题型一 利用 二项展开式解题,例1 求 展开式,解法2,化简后再展开,第5页,例题2 若,则 值(),A,一定为奇数,C,一定为偶数,B,与,n,奇偶性相反,D,与,n,奇偶性相同,解,:,所以 为奇数 故选(,A),思索 能用特殊值法吗?,偶,偶,奇,A,第6页,熟记二项式定理,是解答与二项式定理相关问题前提条件,对比较复杂二项式,有时先化简再展开更便于计算.,例题点评,第7页,题型二利用通项求符合要求项或项系数,例3 求 展开式中有理项,解:,令,原式有理项为:,第8页,例4(04全国卷),展开式中,系数为_,解:设第 项为所求,系数为,第9页,分析：第,k+1,项二项式系数-,第,k+1,项系数-,-,详细数值积,。,解,：,第10页,求二项展开式某一项,或者求满足某种条件项,或者求某种性质项,如含有,x,项系数,有理项,常数项等,通常要用到二项式通项求解.,注意(1)二项式系数与系数区分.,(2)表示第 项.,3,例题点评,第11页,题型三,求多项式展开式中特定项(系数),例,6,展开式中,系数等于_,解:仔细观察所给已知条件可直接求得 系,数是,解法2,利用等比数列求和公式得,在 展开式中,含有 项系数为,所以 系数为-20,第12页,例,7,求 展开式中,系数。,解:可逐项求得 系数,展开式通项为,当 时,系数为,展开式通项为,当 时,系数为,所以 展开式中系数为,展开式通项为,当 时,系数为-4,第13页,求复杂代数式展开式中某项(某项系数),能够逐项分析求解,经常对所给代数式进行化简,能够减小计算量,例题点评,第14页,题型四 求乘积二项式展开式中特定项(特,定项系数),例题,8:,求,展开式中 项,系数.,解,通项是,通项是,通项是,第15页,由题意知,解得,所以 系数为:,例题点评,对于较为复杂二项式与二项式乘积利用两个通项之积比较方便运算,第16页,题型五 三项式转化为二项式,解：三项式不能用二项式定理,必须转化为二项式,再利用二项式定理逐项分析常数项得,=1107,展开式中常数项,求,例,8,),1,1,(,9,x,x,+,+,第17页,解：,原式化为,其通项公式为,例题点评,括号里含有三项情况能够把某两项合并为一项,合并时要注意选择科学性.也可因式分解化为乘积二项式.,系数,.,展开式中,例,10,求,x,x,x,5,2,),2,3,(,+,+,第18页,题型六 求展开式中系数最大(小)项,解:,设 项是系数最大项,则,二项式系数最大项为第11项,即,所以它们比是,与最大二项式系数比,求其项最大系数,展开式中,在,例,，,x,20,),3,2,(,11,+,第19页,例1,2,在 展开式中，系数,绝对值,最大项,解：设系数绝对值最大项是第,r+1,项，则,所以当 时，系数绝对值最大项为,第20页,例1,3,求 展开式中,数值,最大项,解：设第 项是是数值最大项,展开式中,数值,最大项是,第21页,处理系数最大问题，通常设第 项是系数最大项，则有,由此确定,r,取值,例题点评,第22页,题型七 二项式定理逆用,例,14,计算并求值,解(1):将原式变形,第23页,题型七 二项式定理逆用,例,14,计算并求值,解:(2)原式,第24页,例题点评,逆向应用公式和变形应用公式是高中数学难点,也是重点,只有熟练掌握公式正用,才能掌握逆向应用和变式应用,第25页,题型八求展开式中各项系数和,解：设,展开式各项系数和为,1,例题点评,求展开式中各项系数和惯用赋值法：令二项式中字母为1,上式是恒等式，所以当且仅当,x,=1,时，,(2-1),n,=,=（2-1）,n,=1,例1,5.,展开式各项系数和为_,第26页,题型九求奇数(次)项偶数(次)项系数和,(1),(2),第27页,题型九求奇数(次)项偶数(次)项系数和,所以,（3）,第28页,例题点评,求二项展开式系数和，经常得用,赋值法,，设二项式中字母为,1,或,-,1,，得到一个或几个等式，再依据结果求值,第29页,题型十 整除或余数问题,例18,解:,前面各项均能被100整除.只有 不能被100整除,余数为,正整数,注意,第30页,整除性问题，余数问题，主要依据二项式定理特点，进行添项或减项，凑成能整除结构，展开后观察前几项或后几项，再分析整除性或余数。这是解这类问题最惯用技巧。余数要为正整数,例题点评,第31页,题型11 证实恒等式,析:本题左边是一个数列但不能直接求和.因为,由此分析求解,两式相加,第32页,例题点评,利用求和方法来证实组合数恒等式是一个最常见方法,证实等式惯用下面等式,第33页,例20证实,：,证实,通项,所以,题型12 证实不等式,第34页,例题点评,利用二项式定理证实不等式,将展开式进行合理放缩,第35页,题型13 近似计算,例21.某企业股票今天指数为2,以后天天指,数都比上一天指数增加0.2%,则100天后这,企业股票股票指数为_(准确到0.001,),解:,依题意有2(1+0.2%),100,所以100天后这家企业股票指数约为2.44,点评：,近似计算经常利用二项式定理估算前几项,第36页,巩固练习,一选择题,1(04福建)已知 展开式常数项是1120,其中实数 是常数,则展开式中各项系数和,是(),C,2 若 展开式中含 项系数与含 项,系数之比为-5,则,n,等于(),A 4 B 6 C 8 D 10,B,3 被4除所得系数为（）,A,0 B1 C2 D3,A,第37页,展开式中 系数是_,2 被22除所得余数为,。,1,35,3 已知 展开式中 系数是56，则实数,值是_,或,二填空题,4.设 二项式展开式各项系数和为,P；,二项式系数和为,S，,且,P+S=272，,则展开式,常数项为_,108,第38页,1 求 展开式中含 一次幂项。,45,x,3 在 展开式中，求,：,（1）二项式系数最大项；,（2）系数绝对值最大项；,（3）系数最大项,三计算题,第39页,
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