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第,3,课时导数综合应用,3.2,导数应用,1/64,课时训练,题型分类深度剖析,内容索引,2/64,题型分类深度剖析,3/64,题型一利用导数研究不等式问题,命题点,1,解不等式,例,1,设,f,(,x,),是定义在,R,上奇函数，,f,(2),0,，当,x,0,时，有,0,解集是,A.(,2,0),(2,，,)B.(,2,0),(0,2),C.(,，,2),(2,，,)D.(,，,2),(0,2),答案,解析,4/64,又,(2),0,，,当且仅当,0,x,0,，,此时,x,2,f,(,x,)0.,又,f,(,x,),为奇函数，,h,(,x,),x,2,f,(,x,),也为奇函数,.,故,x,2,f,(,x,)0,解集为,(,，,2),(0,2).,5/64,由题设，,f,(,x,),定义域为,(0,，,),，,f,(,x,),1,，,令,f,(,x,),0,，解得,x,1.,当,0,x,0,，,f,(,x,),单调递增；,当,x,1,时，,f,(,x,)0,，,f,(,x,),单调递减,.,命题点,2,证实不等式,例,2,(,全国丙卷,),设函数,f,(,x,),ln,x,x,1.,(1),讨论,f,(,x,),单调性；,解答,6/64,(2),证实：当,x,(1,，,),时，,1 ,x,；,证实,由,(1),知，,f,(,x,),在,x,1,处取得最大值，最大值为,f,(1),0.,所以当,x,1,时，,ln,x,x,1.,故当,x,(1,，,),时，,ln,x,1,，设,g,(,x,),1,(,c,1),x,c,x,，,(3),设,c,1,，证实：当,x,(0,1),时，,1,(,c,1),x,c,x,.,证实,当,x,0,，,g,(,x,),单调递增；,当,x,x,0,时，,g,(,x,)0,，,g,(,x,),单调递减,.,又,g,(0),g,(1),0,，故当,0,x,0.,所以当,x,(0,1),时，,1,(,c,1),x,c,x,.,8/64,(1),利用导数解不等式思绪,已知一个含,f,(,x,),不等式，可得到和,f,(,x,),相关函数单调性，然后可利用函数单调性解不等式,.,(2),利用导数证实不等式方法,证实,f,(,x,),g,(,x,),，,x,(,a,，,b,),，能够结构函数,F,(,x,),f,(,x,),g,(,x,),，假如,F,(,x,)0,，则,F,(,x,),在,(,a,，,b,),上是减函数，同时若,F,(,a,),0,，由减函数定义可知，,x,(,a,，,b,),时，有,F,(,x,)0,，即证实了,f,(,x,)1,x,x,2,，,x,(0,，,).,解答,11/64,令,g,(,x,),e,x,1,x,，则,g,(,x,),e,x,1.,当,x,0,时，,g,(,x,),e,x,10,，所以,g,(,x,),在,(0,，,),上单调递增,.,而,g,(0),0,，所以,g,(,x,),g,(0),0.,所以,g,(,x,)0,在,(0,，,),上恒成立，即,f,(,x,)0,在,(0,，,),上恒成立,.,所以,f,(,x,),在,(0,，,),上单调递增,.,12/64,题型二利用导数研究函数零点问题,例,3,(,杭州学军中学模拟,),已知函数,f,(,x,),a,ln,x,(,a,R,).,(1),若,a,2,，求,f,(,x,),在,(1,，,e,2,),上零点个数，其中,e,为自然对数底数；,解答,所以在,(1,，,e,2,),上至多只有一个零点,.,故函数,f,(,x,),在,(1,，,e,2,),上只有一个零点,.,13/64,(2),若,f,(,x,),恰有一个零点，求,a,取值集合,.,解答,14/64,当,x,1,时，,f,(,x,)0,，,f,(,x,),在,(1,，,),上单调递减；,当,0,x,0,，,f,(,x,),在,(0,1),上单调递增，,故,f,(,x,),max,f,(1),a,1.,当,f,(,x,),max,0,，即,a,1,时，因最大值点唯一，故符合题意；,当,f,(,x,),max,0,，即,a,1,时，,f,(,x,)0,，即,a,1,时，,15/64,另首先，,e,a,1,，,f,(e,a,),2,a,e,a,2,a,e,a,xf,(,x,),在,(0,，,),上恒成立，则函数,g,(,x,),xf,(,x,),lg|,x,1|,零点个数为,A.4 B.3 C.2 D.1,答案,解析,18/64,定义在,R,上奇函数,f,(,x,),满足：,f,(0),0,f,(3),f,(,3),，,f,(,x,),f,(,x,),，,当,x,0,时，,f,(,x,),xf,(,x,),，即,f,(,x,),xf,(,x,)0,，,xf,(,x,)0,，即,h,(,x,),xf,(,x,),在,x,0,时是增函数，,又,h,(,x,),xf,(,x,),xf,(,x,),，,h,(,x,),xf,(,x,),是偶函数，,当,x,0,，,f,(,x,),单调递增；,当,x,(1,，,),时，,f,(,x,)0,，,所以,g,(,x,),为单调递增函数，所以,g,(,x,),g,(1),2,，,故,k,2.,所以实数,k,取值范围是,(,，,2.,24/64,引申探究,本题,(2),中，若改为存在,x,0,1,，,e,，使不等式,f,(,x,),成立，求实数,k,取值范围,.,解答,25/64,利用导数研究恒成立或有解问题策略,(1),首先要结构函数，利用导数研究函数单调性，求出最值，进而得出对应含参不等式，从而求出参数取值范围,.,(2),也可分离变量，结构函数，直接把问题转化为函数最值问题,.,思维升华,26/64,跟踪训练,3,证实,27/64,即,f,(,x,),在,(1,，,),上单调递增，,又,f,(1),0,，故,f,(,x,)0,对,x,(1,，,),成立，,f,(,x,),在,(1,，,),上单调递增,.,28/64,(2),当,x,1,时，,f,(,x,),g,(,x,),恒成立，求实数,a,取值范围,.,解答,29/64,x,1,，,由,f,(,x,),g,(,x,),，得,h,(,x,),(,x,1)e,x,1,ax,2,x,a,1,(,x,1)e,x,1,a,(,x,1),1(,x,1).,设,k,(,x,),e,x,1,a,(,x,1),1(,x,1),，,k,(,x,),e,x,1,a,.,当,a,1,时，,k,(,x,)0,对,x,1,，,),成立，,30/64,又,k,(1),0,，故,k,(,x,),0,，即,h,(,x,),0,，,h,(,x,),在,1,，,),上单调递增，,又,h,(1),0,，故,h,(,x,),0.,当,a,1,时，由,k,(,x,),0,，得,x,1,ln,a,1.,当,x,(1,1,ln,a,),时，,k,(,x,)0,，,又,k,(1),0,，故,k,(,x,)0,，即,h,(,x,)0.,又,h,(1),0,，故,h,(,x,)0,，这与已知条件不符,.,总而言之，实数,a,取值范围为,(,，,1.,31/64,典例,一审条件挖隐含,审题路线图系列,审题路线图,规范解答,32/64,返回,33/64,34/64,设,h,(,x,),x,x,2,ln,x,，,h,(,x,),1,2,x,ln,x,x,，,35/64,在区间,(1,2),上单调递减，所以,h,(,x,),max,h,(1),1,，,所以,a,1,，即实数,a,取值范围是,1,，,).14,分,返回,36/64,课时训练,37/64,1.(,金华模拟,),已知定义在,R,上可导函数,f,(,x,),导函数为,f,(,x,),，满足,f,(,x,),f,(,x,),，且,f,(,x,2),为偶函数，,f,(4),1,，则不等式,f,(,x,)e,x,解集为,A.(,2,，,)B.(0,，,),C.(1,，,)D.(4,，,),答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,38/64,f,(,x,2),为偶函数，,f,(,x,2),图象关于,x,0,对称，,f,(,x,),图象关于,x,2,对称，,f,(4),f,(0),1.,又,f,(,x,),f,(,x,),，,g,(,x,)0(,x,R,),，,函数,g,(,x,),在定义域上单调递减，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,39/64,f,(,x,)e,x,g,(,x,)0,，故选,B.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,40/64,2.,方程,x,3,6,x,2,9,x,10,0,实根个数是,A.3 B.2 C.1 D.0,设,f,(,x,),x,3,6,x,2,9,x,10,，则,f,(,x,),3,x,2,12,x,9,3(,x,1)(,x,3),，,由此可知函数极大值为,f,(1),60,，极小值为,f,(3),100,，,所以方程,x,3,6,x,2,9,x,10,0,实根个数为,1,，故选,C.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,41/64,3.,当,x,2,1,时，不等式,ax,3,x,2,4,x,3,0,恒成立，则实数,a,取值范围是,A.,5,，,3,B.,6,，,C.,6,，,2,D.,4,，,3,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,42/64,令,g,(,t,),3,t,3,4,t,2,t,，在,t,1,，,),上，,g,(,t,)0),，则取得最大利润时年产量为,A.1,百万件,B.2,百万件,C.3,百万件,D.4,百万件,y,3,x,2,27,3(,x,3)(,x,3),，,当,0,x,0,；当,x,3,时，,y,0,，,即,AB,最小值是,4,2ln 2,，故选,C.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,46/64,6.(,浙江四校联考,),已知函数,f,(,x,),ax,2,bx,ln,x,(,a,0,，,b,R,),，若对任意,x,0,，,f,(,x,),f,(1),，则,A.ln,a,2,b,D.ln,a,2,b,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,47/64,即,2,a,b,1,，结构一个新函数,g,(,x,),2,4,x,ln,x,，,所以有,g,(,a,),2,4,a,ln,a,2,b,ln,a,0,ln,a,2,b,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,48/64,7.(,诸暨期末,),已知函数,f,(,x,),x,1,(e,1)ln,x,，其中,e,为自然对数底数，则满足,f,(e,x,)0,x,取值范围为,_.,令,g,(,x,),f,(e,x,),e,x,1,(e,1),x,，则,g,(,x,),e,x,(e,1),，,当,x,ln(e,1),时，,g,(,x,),0,，,x,(,，,ln(e,1),时，,g,(,x,)0,，,g,(,x,),单调递增，,又,g,(,x,),有,0,和,1,两个零点，所以,f,(e,x,)1,，,f,(0),4,，则不等式,e,x,f,(,x,)e,x,3(,其中,e,为自然对数底数,),解集为,_.,答案,解析,(0,，,),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,50/64,设,g,(,x,),e,x,f,(,x,),e,x,(,x,R,),，,则,g,(,x,),e,x,f,(,x,),e,x,f,(,x,),e,x,e,x,f,(,x,),f,(,x,),1,，,f,(,x,),f,(,x,)1,，,f,(,x,),f,(,x,),10,，,g,(,x,)0,，,y,g,(,x,),在定义域上单调递增，,e,x,f,(,x,)e,x,3,，,g,(,x,)3,，,又,g,(0),e,0,f,(0),e,0,4,1,3,，,g,(,x,),g,(0),，,x,0.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,51/64,9.,已知函数,f,(,x,),ax,3,3,x,2,1,，若,f,(,x,),存在唯一零点,x,0,且,x,0,0,，则,a,取值范围是,_.,答案,解析,(,，,2),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,52/64,当,a,0,时，,f,(,x,),3,x,2,1,有两个零点，不合题意，故,a,0,，,f,(,x,),3,ax,2,6,x,3,x,(,ax,2),，,若,a,0,，由三次函数图象知,f,(,x,),有负数零点，不合题意，故,a,0.,又,a,0,，所以,a,0,，,f,(,x,),单调递增；,当,x,(0,，,),时，,f,(,x,)0,时，,f,(,x,)0,，,g,(,x,)01.,当,1,x,0,时，,g,(,x,),x,.,设,h,(,x,),f,(,x,),x,，则,h,(,x,),x,e,x,1.,当,x,(,1,0),时，,0,x,1,0e,x,1,，,则,0,x,e,x,1,，从而当,x,(,1,0),时，,h,(,x,)0,，,h,(,x,),在,(,1,0),上单调递减,.,当,1,x,h,(0),0,，,即,g,(,x,),1,且,x,0,时总有,g,(,x,)1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,55/64,11.,设函数,f,(,x,),x,2,b,ln(,x,1),，其中,b,0.,(1),若,b,12,，求,f,(,x,),单调递增区间；,解答,由题意，知,f,(,x,),定义域为,(,1,，,).,当,b,12,时，,f,(,x,),x,2,12ln(,x,1),，,得,x,2,或,x,3(,舍去,).,当,x,(,1,2),时，,f,(,x,)0.,所以,f,(,x,),单调递增区间为,2,，,).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,56/64,(2),假如函数,f,(,x,),在定义域内现有极大值又有极小值，求实数,b,取值范围,.,即,2,x,2,2,x,b,0,在,(,1,，,),上有两个不等实根，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,解答,57/64,*12.(,台州调考,),已知函数,f,(,x,),1,ln,x,，其中,k,为常数,.,(1),若,k,0,，求曲线,y,f,(,x,),在点,(1,，,f,(1),处切线方程；,当,k,0,时，,f,(,x,),1,ln,x,，,所以曲线,y,f,(,x,),在点,(1,，,f,(1),处切线方程为,y,1,x,1,，即,x,y,0.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,解答,58/64,(2),若,k,5,，求证：,f,(,x,),有且仅有两个零点；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,证实,59/64,当,x,(0,10),时，,f,(,x,)0,，,f,(,x,),单调递增,.,所以当,x,10,时，,f,(,x,),有极小值,.,因为,f,(10),ln 10,30,，,所以,f,(,x,),在,(1,10),之间有一个零点,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,60/64,所以,f,(,x,),在,(10,，,e,4,),之间有一个零点,.,从而,f,(,x,),有且仅有两个不一样零点,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,61/64,(3),若,k,为整数，且当,x,2,时，,f,(,x,)0,恒成立，求,k,最大值,.,(,参考数据,ln 8,2.08,，,ln 9,2.20,，,ln 10,2.30),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,解答,62/64,当,x,(2,，,),时，,v,(,x,)0,，,所以,v,(,x,),在,(2,，,),上为增函数,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,63/64,因为,v,(8),8,2ln 8,4,4,2ln 80,，,所以存在,x,0,(8,9),，,v,(,x,0,),0,，即,x,0,2ln,x,0,4,0.,当,x,(2,，,x,0,),时，,h,(,x,)0,，,h,(,x,),单调递增,.,故所求整数,k,最大值为,4.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,64/64,
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