高等数学 极限.ppt

*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第三节 函数的极限,函数极限的性质,函数在,无穷远点,的极限,函数在,一点,的极限,函数自变量变化过程的六种形式,:,2,用数学语言刻划,问题,无限接近,于,确定值,A,.,一、,函数在,一点,(one-point),的极限,3,考虑空心邻域，是什么意思？,考虑函数在一点的极限时，不考虑函数,在该点处是否有定义，定义的值是什么，,但是，在附近必须要有定义。,例1,问题,4,例,2,5,1.,定义,恒有,定义,设,函数,有,定义,.,在点,x,0,某,去心邻域内,注,任何极限定义都是“四句话”结构。,6,注,(1),定义中的,f,(,x,),有没有极限与在,点,x,0,是否有定义无关,.,(2),定义中 标志,x,接近,x,0,的,程度,也将越小,.,(3),不要求最大的,表示,一般,越小,只要求 存在即可,.,它与,有关,.,7,必存在,x,0,的去心邻域,对应的函数图形位于这一带形区域内,.,带形区域,8,一般说来,应从不等式,出发,推导出应小于怎样的正数,这个正数就是要找的与 相对应的,这个推导常常是困难的,.,但是,注意到我们不需要找最大的,所以,适当放大些,的式子,变成易于解出,找到一个需要的,找到,就证明完毕,.,可把,9,例,证,10,例,证,函数在点,处没有定义,.,要使,11,练习,证明,证,要使,只要,取,12,3.,左、右极限,(,单侧极限,),两种情况分别讨论,!,13,左极限,右极限,或,14,且,常用于判断,分段函数,当,x,趋,近于,分段点,时的极限,.,注,15,试证函数,证,左、右极限不相等,故,例,16,左、右极限存在,证,故,极限不存在,.,例,但不相等,讨论,的存在性,.,17,练习,设函数,答案,18,二、函数在,无穷远点,(infinite point),的极限,设对充分大的,x,函数 处处有定义,.,如果随着,x,的,无限增大,相应的函数 就,无限接近,某一常数,A.,x,趋向于负无穷,x,趋向于无穷,x,趋向于正无穷,19,用数学语言刻划,问题,表示,表示,无限增大,.,1.,定义,定义,无限接近、,20,2.,另两种情形,21,解,和,虽然都存在,但不相等,.,故,不存在,.,例,讨论极限 是否存在,?,A,x,f,x,=,-,),(,lim,22,在,x,的该种趋向下,例,都不存在,.,不存在,.,如果在,x,的某种趋向下,并不无限接近,一个常数,称,:,总结一下,x,的趋向一共有六种,:,23,图形,完全落在,:,24,例,证,要使,成立,.,只要,有,25,图形的,水平,渐近线,直线,注,26,练习,试证,证,要使,只要,有,27,三、函数极限的性质,函数极限与数列极限有类似的性质,且证明方,法也类似,.,以,自变量趋于有限值时函数的极限说明,.,定理,1,（唯一性）,定理,2,（局部有界性）,若极限 存在，则它是唯一的,.,若 存在，则存在 的某去心邻域 ，,使得 在 内有界,28,定理,2(,局部有界性,),f,(,x,),有极限,29,定理,3(,局部保号性,),证,(1),设,A0,取,正数,即,有,自己证,30,只要取,便可得更强的,结论,:,证,(1),也即,(2),自己证,.,定理,3(1),的证明中,不论,定理,31,证,假设上述论断不成立,那末,由,(1),就有,在,该邻域内,这与,所以,类似可证 的情形,.,假设,矛盾,若定理,3(2),中的条件改为,必有,不能,!,如,思考,是否,定理,3,定理,3,32,1.,函数极限的,或,定义,;,2.,函数极限的性质,局部保,号,性,;,唯一性,;,局部有界性,;,函数极限与数列极限的关系,;,3.,函数的左右极限判定极限的存在性,.,内容小结,33,极限定义中 与 的关系是,().,B,(1),(,A,),先给定 后唯一确定,;,(,C,),先确定 后给定,;,(,D,),与 无关,.,(,B,),先确定 后确定,但 的值不唯一,;,思考练习,34,(2),如果 与 存在,则,().,(,B,),存在但不一定有,(,C,),不一定存在,;,(,D,),一定不存在,.,(,A,),存在且,C,35,(3),试证,提示,仅需在,附近讨论问题,限定,36,练习册,(37,页,),1,；,5,（,3,）；,6,（,2,）,课后作业,37,