伴随矩阵及习题.ppt

单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,6,伴随矩阵及相应习题,伴随矩阵,设,n,阶方阵,由方阵 中元素 的代数余子式,伴随矩阵,按转置方式排成的 阶方阵，称为方阵 的伴随矩阵，记作,定理,阶方阵 可逆的充分必要条件是,并且当 可逆时，的逆矩阵可表示为,其中，是 的伴随矩阵,上述定理不仅说明了方阵可逆的条件，而且在方阵可逆的情况下，给出了应用伴随矩阵求逆矩阵的方法,练习,求矩阵 使满足,其中,解：若 存在，则用 左乘上式，右乘上式，有,即,可解得 ，故知 都可逆且,得,所以,同样可得出,于是,矩阵习题,主要内容,二,.,典型例题,三,.,测验题,一,.,主要内容,1.,矩阵的定义,简记为,实矩阵,:,元素是实数,复矩阵：,元素是复数,一些特殊的矩阵：,零矩阵、行矩阵、列矩阵、方阵、,对角阵、数量阵、单位阵,2.,矩阵的基本运算,矩阵相等,:,同型矩阵：,两个矩阵的行数相等、列数也相等,两个矩阵同型，且对应元素相等,矩阵加（减）法：,两个同型矩阵，对应元素相加（减）,加法满足,数乘满足,数与矩阵相乘：,数 与矩阵 的乘积记作 或 ，规定为,矩阵与矩阵相乘：,设,规定,其中,乘法满足,矩阵乘法不满足：,交换律、消去律,A,是,n,阶方阵，,方阵的幂：,方阵的多项式：,并且,（,m,k,为正整数）,方阵的行列式：,满足,:,可解得 ，故知 都可逆且,解：若 存在，则用 左乘上式，右乘上式，有,三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是同一类型的,行列式 的各个元素的代数余子式 所,行列式 的各个元素的代数余子式 所,例如解AX=B,需先考察A是否可逆，只有A可逆才可以解,分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相类似,数 与矩阵 的乘积记作 或 ，规定为,同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等,唯一性：若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的.,解矩阵方程的初等变换法,此矩阵方程，在方程两边同时左乘A的逆，而不能右乘，,解：若 存在，则用 左乘上式，右乘上式，有,分析：根据乘法定义及矩阵相等定义求,对角阵、数量阵、单位阵,转置矩阵,:,把矩阵 的行换成同序数的列得到的,新矩阵，叫做 的转置矩阵，记作,.,满足：,对称矩阵和反对称矩阵：,幂等矩阵：,为,n,阶方阵，且,伴随矩阵：,行列式 的各个元素的代数余子式 所,构成的如下矩阵,3.,逆矩阵,定义：,A,为,n,阶方阵，若存在,n,阶方阵,使得,则称矩阵,A,是可逆的（非奇异的、非退化的、满秩的）,矩阵,B,称为矩阵,A,的逆矩阵。,唯一性：,若,A,是可逆矩阵，则,A,的逆矩阵是唯一的,.,判定定理,:,n,阶方阵,A,可逆,且,推论：,设,A,、,B,为同阶方阵，若,则,A,、,B,都可逆，且,满足规律：,逆矩阵求法：,（,1,）待定系数法,（,2,）伴随矩阵法,（,3,）初等变换法,分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相类似,4.,分块矩阵,5.,初等变换,对换变换、倍乘变换、倍加变换,初等变换,逆变换,三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是同一类型的,初等变换,初等矩阵：,由单位矩阵,E,经过一次初等变换得到的方阵,称为初等矩阵,.,三种初等变换对应着三种初等方阵：,初等对换矩阵、初等倍乘矩阵、初等倍加矩阵,6.,初等矩阵,初等矩阵是可逆的，逆矩阵仍为初等矩阵。,7.,初等矩阵与初等变换的关系：,初等变换,初等矩阵,初等逆变换,初等逆矩阵,定理：,8.,用初等变换法求矩阵的逆矩阵,可逆矩阵可以经过若干次初等行变换化为单位矩阵,.,定理：,可逆矩阵可以表示为若干个初等矩阵的乘积,推论,1,：,推论,2,：,如果对可逆矩阵 和同阶单位矩阵 作同样的初等,行变换，那么当 变成单位矩阵 时，就变成 。,即，,9.,解矩阵方程的初等变换法,或者,矩阵的基本运算,方阵的幂,逆矩阵的求解、证明,矩阵方程,矩阵的分块运算,二,.,典型例题,1.,矩阵的基本运算,例,1,：设矩阵,求与,A,可交换的所有矩阵。,分析：根据乘法定义及矩阵相等定义求,解：设所求矩阵为,由,得,其中,a,，,b,为实数,例,2,：设,求,的行列式。,分析：直接计算困难，可利用逆矩阵的定义先化简再计算,解：,例,3,：设,4,阶方阵,其中 均为,4,维列向量，且已知行列式,求行列式,分析：根据矩阵加法定义及行列式性质求,解：,2.,方阵的幂,例,4,：设,求,解,：（递推法）,所以，当 时,当 时,由方阵 中元素 的代数余子式,当 时,解：若 存在，则用 左乘上式，右乘上式，有,称为初等矩阵.,行列式 的各个元素的代数余子式 所,同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等,行列式 的各个元素的代数余子式 所,初等对换矩阵、初等倍乘矩阵、初等倍加矩阵,零矩阵、行矩阵、列矩阵、方阵、,例,5,：已知,求 与,解：,又,3.,逆矩阵的求解、证明,例,6:,求,A,的逆矩阵,解：,注意,:,用初等行变换求逆矩阵时，必须始终用行变换，其间不能作任何列变换同样地，用初等列变换求逆矩阵时，必须始终用列变换，其间不能作任何行变换,4.,矩阵方程,例,7:,解矩阵方程,其中 均为可逆矩阵。,注意：解矩阵方程时，要注意已知矩阵与,X,的位置关系，,例如解,AX=B,需先考察,A,是否可逆，只有,A,可逆才可以解,此矩阵方程，在方程两边同时左乘,A,的逆，而不能右乘，,因为矩阵乘法不满足交换律。,矩阵方程,解,Thank You!,and,see you!,sunmy,