高中数学向量的内积概念.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,高中数学向量的内积概念,定义1,设有,n,维向量,向量内积的概念,在空间解析几何中，两向量的数量积,在直角坐标系中表示为,推广到,n,维向量即有：,上页,下页,返回,内积,。,内积的,运算规律,：,上页,下页,返回,向量的长度,由向量内积的性质(,v,)自然引入向量的长度。,定义1,令,向量长度的性质：,上页,下页,返回,单位向量,。,正交向量组,：指一组两两正交的非零向量。,向量的正交性,空间解析几何中两向量垂直推广到,n,维向量，可得向量的正交性概念。,上页,下页,返回,夹角,。,定理1,证,上页,下页,返回,例1,解,已知 3 维向量空间,R,3,中两个向量,上页,下页,返回,同阶正交矩阵A 与B 的乘积也是正交矩阵。,已知 3 维向量空间 R 3 中两个向量,从而利用正交变换化二次型为标准形不会改变二次型的几何特征。,就得 V 的一个正交规范基。,正交向量组：指一组两两正交的非零向量。,以例3中求齐次线性方程组,定义1 设有 n 维向量,x1+x2+x3=0,同阶正交矩阵A 与B 的乘积也是正交矩阵。,以例3中求齐次线性方程组,要求两两正交的基础解系，只要取,从而利用正交变换化二次型为标准形不会改变二次型的几何特征。,这就说明：方阵A 为正交阵的充分必要条件是A 的列(行)向量都是单位向量且两两正交。,同阶正交矩阵A 与B 的乘积也是正交矩阵。,x1+x2+x3=0,上页,下页,返回,定义1 设有 n 维向量,(i).,同阶正交矩阵A 与B 的乘积也是正交矩阵。,正交矩阵A 是可逆的，且A1=AT；,这就说明：正交变换保持线段长度保持不变。,由向量内积的性质(v)自然引入向量的长度。,由于正交化过程十分繁锁，因而在求正交向量组时，只要抓住向量正交的本质，可以避免正交化过程。,(i).,就得 V 的一个正交规范基。,正交矩阵A 的行列式|A|=1 或|A|=1;,就是 R 4 的一个正交规范基。,以例3中求齐次线性方程组,定义5 若 P 为正交阵，则线性变换 y=P x 称为正交变换。,AT A =E(即 A1=AT),这就说明：正交变换保持线段长度保持不变。,高中数学向量的内积概念,从而利用正交变换化二次型为标准形不会改变二次型的几何特征。,就是,R,4,的一个正交规范基。,向量空间的规范正交基,定义3,上页,下页,返回,上页,下页,返回,向量组的正交规范化,上页,下页,返回,上页,下页,返回,就得,V,的一个正交规范基。,然后只要把它们单位化，即取,上页,下页,返回,试用施密特正交化过程把这组向量正交规范化。,解,例2,上页,下页,返回,再把它们单位化，取,上页,下页,返回,解,例 3,它的基础解系为,上页,下页,返回,把基础解系正交化，即为所求。取,上页,下页,返回,由于正交化过程十分繁锁，因而在求正交向量组时，只要抓住向量正交的本质，可以避免正交化过程。,x,1,+,x,2,+,x,3,=0,的基础解系为例，,使得前两个分量与,的前两个分量对应,乘积之和为零即可，,容易验证,要求两两正交的基础解系，只要取,从而取,以例3中求齐次线性方程组,上页,下页,返回,解,其基础解系可取为,上页,下页,返回,定义4,如果,n,阶方阵,A,满足,AT A,=,E,(即,A,1=,AT,),那么称,A,为,正交阵,。上式用,A,的列向量表示，即是,上页,下页,返回,是正交阵。,例4,解,P,的每一个行向量都是单位向量，且两两正交，所以,P,是正交阵。,验证矩阵,上页,下页,返回,这就说明：方阵,A,为,正交阵,的充分必要条件是,A,的列(行)向量都是单位向量且两两正交。从而正交阵,A,的,n,个列(行)向量构成向量空间,R,n,的一个规范正交基。,定义5,若,P,为正交阵，则线性变换,y,=,P x,称为,正交变换,。,这就说明：正交变换保持线段长度保持不变。从而利用正交变换化二次型为标准形不会改变二次型的几何特征。,设,y,=,P x,是正交变换，则有,上页,下页,返回,精品课件,！,精品课件,！,(i).正交矩阵,A,的行列式|,A,|=1 或|,A,|=1;,(ii).正交矩阵,A,是可逆的，且,A,1,=,A,T,；,(iii).正交矩阵,A,的逆矩阵,A,1,也是正交矩阵；,(iv).同阶正交矩阵,A,与,B,的乘积也是正交矩阵。,正交矩阵在本章中占有重要的地位，因此，必须牢记正交矩阵的,性质,：,上页,返回,