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+a取值范围.,(2)已知x0，y0，且x+y=1，求 最小值.,【审题指导】,利用均值不等式求函数最值时，注意“一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小”.惯用方法为：拆、凑、代换、平方.,20/79,【自主解答】,(1)显然a2，当a2时，a-20.,21/79,(2)x0,y0，且x+y=1，,22/79,【规律方法】,为了创造条件使用均值不等式，就需要对式子进行恒等变形，利用均值不等式求最值焦点在于凑配“和”与“积”，而且在凑配过程中就应考虑到等号成立条件.,23/79,【互动探究】把(2)中条件改为x0,y0且,求x+y最小值.,【解析】,x0，y0且,当且仅当 即2x=时取等号,x+y最小值为,24/79,【变式训练】(1)(浙江高考)若正实数x,y满足2x+y+6=xy,则xy最小值是_,【解析】,xy=2x+y+6 +6,令xy=t,2,可得t,2,-60，注意到t0，解得t 故xy最小值为18.,答案：,18,25/79,(2)求函数 最小值.,【解析】,令x+1=t,则x=t-1，t0,当且仅当t=即t=2亦即x=1时取等号，y,min,=9.,26/79,2,利用均值不等式求范围问题,【例2】已知a、bR，a+b+a,2,+b,2,=24，则a+b取值范,围是_.,【审题指导】,利用 ab(a,bR)求解.,27/79,【自主解答】,a,2,+b,2,2ab,当且仅当a=b时取“=”,2(a,2,+b,2,)(a+b),2,即a,2,+b,2,当且仅当a=b时取“=”.,24-(a+b)=a,2,+b,2,当且仅当a=b时取“=”，,即(a+b),2,+2(a+b)-480,解关于a+b二次不等式，得-8a+b6.,答案：,-8，6,28/79,【规律方法】,利用 ab(a,bR),求最值时，要注意和a+b为定值时，平方和a,2,+b,2,有最小值,平方和a,2,+b,2,为定值时，和a+b有最大值.,29/79,【变式训练】已知a0，b0，a,b等差中项是 且,求+取值范围.,【解析】,a,b等差中项是,a+b=1,+=(a+)+(b+),=(a+b)+(+),=,30/79,31/79,均值不等式实际应用,【例3】某食品加工厂定时购置玉米，已知该厂天天需用玉米6吨，每吨玉米价格为1 800元，玉米保管等其它费用为平均每吨天天3元，购置玉米每次需支付运费900元,求该厂多少天购置一次玉米，才能使平均天天所支付费用最少?,【审题指导】,平均天天所支付费用=,先列出平均天天所支付费用函数解析式，再利用均值不等式求其最值.,3,32/79,【自主解答】,设该厂应每隔x天购置一次玉米，其购置量为6x吨，由题意知，玉米保管等其它费用为36x+6(x-1)+6(x-2)+61,设平均天天所支付费用为Y,1,元，则,当且仅当 即x=10时取等号.,该厂每隔10天购置一次玉米,才能使平均天天所支付总费用最少.,33/79,【规律方法】,均值不等式实际应用题特点：,(1)问题背景是人们关心社会热点问题，如“物价、销售、税收、原材料”等，题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解.,(2)当利用均值不等式求最值时，若等号成立自变量不在定义域内时，就不能使用均值不等式求解，此时可依据变量范围用对应函数单调性求解,34/79,【变式训练】围建一个面积为360m,2,矩形场地，要求矩形场地一面利用旧墙(利用旧墙需维修)，其它三面围墙要新建，在旧墙对面新墙上要留一个宽度为2m进出口，已知旧墙维修费用为45元/m,新墙造价为180元/m,设利用旧墙长度为x(单位：m)，所需费用为y元.,(1)将y表示为x函数；,(2)试确定x,使修建此矩形场地围墙总费用最少，并求出最少总费用.,35/79,【解析】,(1)设矩形另一边长为a m，,则y=45x+180(x-2)+1802a=225x+360a-360,由已知xa=360,得,所以y=225x+-360(x0).,(2)x0，225x+=10 800,y=225x+-36010 440，,当且仅当 时，等号成立.,即当x=24 m时，修建此矩形场地围墙总费用最少，最少总费用是10 440元.,36/79,用均值不等式证实简单不等式,【例】证实不等式,a,4,+b,4,+c,4,a,2,b,2,+b,2,c,2,+c,2,a,2,.,【审题指导】,先把原不等式进行等价转化为2(a,4,+b,4,+c,4,),2(a,2,b,2,+b,2,c,2,+c,2,a,2,)，再利用均值不等式、同向不等式可加性即可.,37/79,【规范解答】,2(a,4,+b,4,+c,4,)=(a,4,+b,4,)+(b,4,+c,4,)+(c,4,+a,4,),a,4,+b,4,2a,2,b,2,b,4,+c,4,2b,2,c,2,c,4,+a,4,2c,2,a,2,2(a,4,+b,4,+c,4,)2(a,2,b,2,+b,2,c,2,+c,2,a,2,),即a,4,+b,4,+c,4,a,2,b,2,+b,2,c,2,+c,2,a,2,.,38/79,【规律方法】,证实不等式时，可依据求证式两端式子结构，合理选择均值不等式及变形式来证同时要从整体上把握不等式,如a,4,+b,4,2a,2,b,2,是对均值不等式灵活利用本题先局部利用均值不等式，然后用不等式性质，经过不等式相加(有时相乘)综合推出要求证不等式，这种证实方法在证实这类对称不等式时含有一定普遍性,39/79,【变式备选】已知a0,b0,c0且a+b+c=1，求证,9.,【证实】,因为a0,b0,c0且a+b+c=1,所以,40/79,41/79,利用均值不等式求最值解题技巧,【典例】(四川高考)设abc0，则,最小值是(),(A)2 (B)4 (C)2 (D)5,42/79,【审题指导】,经过拆、拼、凑创造条件，利用均值不等式求最值，但要注意等号成立时条件.,【规范解答】,选B.原式=(a,2,-10ac+25c,2,)+ab+,43/79,【创新点拨】,拆、拼、凑典范：,本题求多个和式最小值，故可选取均值不等式，为了使积为定值，故需对原式进行配凑，关键点在于使目标出现,形式.,利用均值不等式求最值解题技巧：代换：化复杂为简单，易于拼凑成定值形式；,拆、拼、凑，目标只有一个，出现定值.,44/79,【变式训练】设x为正实数且x,2,+=1，求 最大值.,【解析】,x0，,45/79,46/79,1.(日照模拟)以下结论正确是(),(A)xR，使2x,2,-x+10成立,(B),(C)最小值为2,(D)0 x2时，函数y=x-有最大值为,47/79,【解析】,选D.2x,2,-x+1=2(x-),2,+0，,xR，都有2x,2,-x+10不成立；x1,都有,成立，x0，都有lgx+2不成立；,若 则当且仅当x,2,+2=1时，不等式取等号，显然不可能；当0 x2时，函数y=x-为增函数，,其最大值为 即此结论正确，故应选D.,48/79,2(重庆高考)已知x0，y0，x+2y+2xy=8，则x+2y最小值是(),(A)3 (B)4,(C)(D),【解题提醒】,由已知等式消去一个未知数，转化为函数最值问题；或用均值不等式把等式转化为关于目标式不等式问题.,49/79,【解析】,选B.方法一：因为x+2y+2xy=8，,所以,所以,50/79,方法二：因为x+2y,所以2xy,所以x+2y+2xyx+2y+,设x+2y=A，则A+8，,即A,2,+4A-320，解此不等式得A-8(舍去)或A4，,即x+2y4.最小值为4.,51/79,3.(安徽高考)若a0,b0,a+b=2，则以下不等式对一切满足条件a,b恒成立是_(写出全部正确命题编号),ab1 ,a,2,+b,2,2 a,3,+b,3,3,2,【解题提醒】,能够利用a=b=1特值排除，结合基本不等式变形转化求解,52/79,【解析】,令 a=b=1，排除、；,由2=a+b ab1，命题正确；,由a,2,+b,2,=(a+b),2,-2ab=4-2ab2，命题正确；,由 命题正确,答案：,53/79,4.(山东高考)已知x，yR,+,，且满足 ，则xy最大值为_.,【解析】,x,yR,+,且 由基本不等式有,解得xy3，当且仅当 即,y=2时，等号成立.所以xy最大值为3.,答案：,3,54/79,5.(大连模拟)已知a、b、cR,+,，且a+b+c=1，,求证：,【解题提醒】,把 中1用a+b+c代替.,55/79,【证实】,a+b+c=1,左边,又a、b、cR,+,b+c 0,a+c 0,a+b 0,(b+c)(a+c)(a+b)8abc,左边 =右边，故原不等式得证.,56/79,57/79,一、选择题(每小题4分，共20分),1.已知a2,则(),(A)pq (B)pq,(C)pq (D)pq,【解析】,选A.令a-2=t，得a=t+2(t0)，,(当且仅当t=即t=1(0，+)时取等号),又 故选A.,58/79,2.设a0,b0，若lga和lgb等差中项是0，则 最小值是(),(A)1 (B)2 (C)4 (D),【解析】,选B.lga+lgb=0,ab=1,59/79,3.(沈阳模拟)若实数x,y满足 则x,2,+2y,2,有,(),(A)最大值 (B)最小值,(C)最大值6 (D)最小值6,【解题提醒】,本题考查均值不等式应用，可利用整体代换方法求解.,60/79,【解析】,选B.据题意可得：,61/79,4.已知不等式(x+y)()9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a最小值为(),(A)2 (B)4 (C)9 (D)16,【解析】,选B.x,y,a0,由题意得,62/79,5.(青岛模拟)已知函数f(x)=|lgx|.若0ab，且f(a)=f(b)，则a+2b取值范围是(),(A)(+)(B)+),(C)(3,+)(D)3,+),【解题提醒】,画出f(x)=|lgx|图象可求得a、b范围.,【解析】,选C.画出f(x)图象可知0a1b.,由f(a)=f(b)得-lga=lgb，ab=1,b=,a+2b=a+由函数y=x+在(0，1)上单调递减得a+2b3.,63/79,二、填空题(每小题4分，共12分),6.若x0,则 最小值为_.,【解析】,x0,当且仅当x=即,x=时等号成立.,答案:,64/79,7(山东高考)若对任意x0,恒成立，则a取值范围是_,【解题提醒】,将恒成立问题转化为最值问题.,【解析】,因为x0，所以x+2(当且仅当x=1时取等号)，所以有,即 最大值为 故a,答案:,+),65/79,【方法技巧】,不等式恒成立问题解题方法,1.不等式恒成立问题与函数最值有亲密关系，处理不等式恒成立问题，通常先分离参数，再转化为最值问题来解：,cf(x)恒成立 cf(x),max,;,cf(x)恒成立 cf(x),min,.,2.高次函数或非基本初等函数最值问题，通常采取导数法处理.,66/79,8.已知数列a,n,满足a,1,=36,a,n+1,-a,n,=2n,则 最小值为_.,【解题提醒】,可由累加法求a,n,.,【解析】,a,n+1,-a,n,=2n,a,n,-a,n-1,=2(n-1),a,n-1,-a,n-2,=2(n-2),a,2,-a,1,=21,67/79,上述各式相加得a,n,-a,1,=2(n-1)+2(n-2)+21=,a,n,=a,1,+n,2,-n=n,2,-n+36,当且仅当n=即n=6时取等号.,答案:,11,68/79,三、解答题(每小题9分，共18分),9已知x0，y0，且2x+8y-xy=0，,求(1)xy 最小值；(2)x+y 最小值.,【解题提醒】,把2x+8y-xy=0转化为 即可.,69/79,【解析】,(1)由2x+8y-xy=0，得,又x0,y0，,则 得xy64，,当且仅当 时，等号成立.,所以xy最小值为64.,70/79,(2)方法一：由2x+8y-xy=0，得,x0,y2,则x+y=y+,=(y-2)+1018，,当且仅当 即y=6,x=12时，等号成立.,x+y最小值为18.,71/79,方法二：由2x+8y-xy=0，得,则x+y,=()(x+y)=10+,当且仅当 且 时等号成立，,x+y最小值为18.,72/79,10(临沂模拟)桑基鱼塘是某地,一个独具地方特色农业生产形式，某,研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，,该项目准备购置一块1 800平方米矩,形地块，中间挖出三个矩形池塘养鱼，挖出泥土堆在池塘四面形成基围(阴影部分所表示)种植桑树，池塘周围基围宽均为2米，如图，设池塘所占总面积为S平方米.,(1)试用x表示S;,(2)当x取何值时，才能使得S最大？并求出S最大值.,73/79,【解析】,(1)由图形知，3a+6=x,则总面积,74/79,当且仅当 此时，x=45.,即当x为45米时，S最大，且S最大值为1 352平方米.,75/79,【探究创新】,(10分)十六届亚运会在年11月12日至27日在广州盛大召开，吉祥物“祥和如意乐洋洋”，寓意着“吉祥、友好、幸福、圆满和高兴”，深受人们喜爱！广州某玩具厂日生产x套吉祥物所需成本费用为P元，且 而每套售出价格为Q元，其中Q=a+(a,bR)，,(1)问：该玩具厂日生产多少套吉祥物时，使得每套吉祥物所需成本费用最少？,76/79,(2)若生产出吉祥物能全部售出，且当日产量为150套时利润最大，此时每套价格为30元，求a，b值(利润=销售收入-成本),【解析】,(1)每套吉祥物所需成本费用为,当且仅当 即x=100时等号成立，即该玩具厂月生产100套吉祥物时，每套吉祥物所需成本费用最少为25元.,77/79,(2)利润为,Qx-P=x(a+)-(1 000+5x+),=(-)x,2,+(a-5)x-1 000，,由题意,解得a=25，b=30.,78/79,Thank you!,79/79,
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