高考数学复习第九章平面解析几何9.2两条直线的位置关系理市赛课公开课一等奖省名师优质课获奖课件.pptx

,9.2,两条直线位置关系,1/69,基础知识自主学习,课时作业,题型分类深度剖析,内容索引,2/69,基础知识自主学习,3/69,1.,两条直线位置关系,(1),两条直线平行与垂直,两条直线平行：,(,),对于两条不重合直线,l,1,、,l,2,，若其斜率分别为,k,1,、,k,2,，则有,l,1,l,2,.,(,),当直线,l,1,、,l,2,不重合且斜率都不存在时，,l,1,l,2,.,两条直线垂直：,(,),假如两条直线,l,1,、,l,2,斜率存在，设为,k,1,、,k,2,，则有,l,1,l,2,.,(,),当其中一条直线斜率不存在，而另一条斜率为,0,时，,l,1,l,2,.,知识梳理,k,1,k,2,k,1,k,2,1,4/69,(2),两条直线交点,直线,l,1,：,A,1,x,B,1,y,C,1,0,，,l,2,：,A,2,x,B,2,y,C,2,0,，则,l,1,与,l,2,交点坐标,就是方程组,解,.,5/69,2.,几个距离,(1),两点,P,1,(,x,1,，,y,1,),，,P,2,(,x,2,，,y,2,),之间距离,P,1,P,2,.,(2),点,P,0,(,x,0,，,y,0,),到直线,l,：,Ax,By,C,0,距离,d,.,(3),两条平行线,Ax,By,C,1,0,与,Ax,By,C,2,0(,其中,C,1,C,2,),间距离,d,.,6/69,知识拓展,1.,直线系方程,(1),与直线,Ax,By,C,0,平行直线系方程是,Ax,By,m,0(,m,R,且,m,C,).,(2),与直线,Ax,By,C,0,垂直直线系方程是,Bx,Ay,n,0(,n,R,).,2.,两直线平行或重合充要条件,直线,l,1,：,A,1,x,B,1,y,C,1,0,与直线,l,2,：,A,2,x,B,2,y,C,2,0,平行或重合充要条件是,.,A,1,B,2,A,2,B,1,0,7/69,3.,两直线垂直充要条件,直线,l,1,：,A,1,x,B,1,y,C,1,0,与直线,l,2,：,A,2,x,B,2,y,C,2,0,垂直充要条件是,.,4.,过直线,l,1,：,A,1,x,B,1,y,C,1,0,与,l,2,：,A,2,x,B,2,y,C,2,0,交点直线系方程为,A,1,x,B,1,y,C,1,(,A,2,x,B,2,y,C,2,),0(,R,),，但不包含,l,2,.,5.,点到直线与两平行线间距离使用条件,(1),求点到直线距离时，应先化直线方程为普通式,.,(2),求两平行线之间距离时，应先将方程化为普通式且,x,，,y,系数对应相等,.,A,1,A,2,B,1,B,2,0,8/69,思索辨析,判断以下结论是否正确,(,请在括号中打,“”,或,“”,),(1),当直线,l,1,和,l,2,斜率都存在时，一定有,k,1,k,2,l,1,l,2,.(,),(2),假如两条直线,l,1,与,l,2,垂直，则它们斜率之积一定等于,1.(,),(3),已知直线,l,1,：,A,1,x,B,1,y,C,1,0,，,l,2,：,A,2,x,B,2,y,C,2,0(,A,1,、,B,1,、,C,1,、,A,2,、,B,2,、,C,2,为常数,),，若直线,l,1,l,2,，则,A,1,A,2,B,1,B,2,0.(,),(4),点,P,(,x,0,，,y,0,),到直线,y,kx,b,距离为,.(,),9/69,(5),直线外一点与直线上一点距离最小值就是点到直线距离,.,(,),(6),若点,A,，,B,关于直线,l,：,y,kx,b,(,k,0),对称，则直线,AB,斜率等于,，且线段,AB,中点在直线,l,上,.(,),10/69,考点自测,1.(,徐州模拟,),过点,(1,0),且与直线,x,2,y,2,0,平行直线方程是,_.,答案,解析,x,2,y,1,0,直线,x,2,y,2,0,可化为,y,x,1,，,所以过点,(1,0),且与直线,x,2,y,2,0,平行直线方程可设为,y,x,b,，,将点,(1,0),代入得,b,.,所以所求直线方程为,x,2,y,1,0.,11/69,2.(,教材改编,),已知点,(,a,2)(,a,0),到直线,l,：,x,y,3,0,距离为,1,，则,a,_.,答案,解析,依题意得,1.,解得,a,1,或,a,1,.,a,0,，,a,1,.,12/69,3.,已知直线,l,过圆,x,2,(,y,3),2,4,圆心，且与直线,x,y,1,0,垂直，则,l,方程是,_.,答案,解析,x,y,3,0,圆,x,2,(,y,3),2,4,圆心为点,(0,3),，,又因为直线,l,与直线,x,y,1,0,垂直，,所以直线,l,斜率,k,1.,由点斜式得直线,l,：,y,3,x,0,，化简得,x,y,3,0.,13/69,4.(,苏州模拟,),已知两点,A,(1,2),，,B,(5,5),到直线,l,距离分别是,3,和,2,，则满足条件直线共有,_,条,.,答案,解析,3,以,A,(1,2),为圆心，,3,为半径圆,A,：,(,x,1),2,(,y,2),2,9,，,以,B,(5,5),为圆心，,2,为半径圆,B,：,(,x,5),2,(,y,5),2,4,，,依据题意所要满足条件，,则,l,是圆,A,与圆,B,公切线，因为,A,(1,2),，,B,(5,5),两点间距离,d,5,，,即,d,r,1,r,2,，所以圆,A,与圆,B,相外切，所以有,3,条公切线,.,14/69,5.(,教材改编,),若直线,(3,a,2),x,(1,4,a,),y,8,0,与,(5,a,2),x,(,a,4),y,7,0,垂直，则,a,_.,答案,解析,0,或,1,由两直线垂直充要条件，,得,(3,a,2)(5,a,2),(1,4,a,)(,a,4),0,，,解得,a,0,或,a,1.,15/69,题型分类深度剖析,16/69,题型一两条直线平行与垂直,例,1,(1)(,苏北四市联考,),已知,a,，,b,为正数，且直线,ax,by,6,0,与直线,2,x,(,b,3),y,5,0,相互平行，则,2,a,3,b,最小值为,_.,答案,解析,25,所以,a,.,所以,2,a,3,b,3,b,4,3(,b,3),9,13,25(,当且仅当,3(,b,3),，,即,b,5,时取等号,).,17/69,(2),已知直线,l,1,：,ax,2,y,6,0,和直线,l,2,：,x,(,a,1),y,a,2,1,0.,试判断,l,1,与,l,2,是否平行；,解答,18/69,方法一当,a,1,时，,l,1,：,x,2,y,6,0,，,l,2,：,x,0,，,l,1,不平行于,l,2,；,当,a,0,时，,l,1,：,y,3,，,l,2,：,x,y,1,0,，,l,1,不平行于,l,2,；,当,a,1,且,a,0,时，两直线可化为,l,1,：,y,x,3,，,l,2,：,y,x,(,a,1),，,l,1,l,2,解得,a,1.,综上可知，当,a,1,时，,l,1,l,2,.,方法二由,A,1,B,2,A,2,B,1,0,，得,a,(,a,1),1,2,0,，,由,A,1,C,2,A,2,C,1,0,，得,a,(,a,2,1),1,6,0,，,故当,a,1,时，,l,1,l,2,.,19/69,当,l,1,l,2,时，求,a,值,.,解答,方法一当,a,1,时，,l,1,：,x,2,y,6,0,，,l,2,：,x,0,，,l,1,与,l,2,不垂直，故,a,1,不成立；,当,a,0,时，,l,1,：,y,3,，,l,2,：,x,y,1,0,，,l,1,与,l,2,不垂直；,当,a,1,且,a,0,时，,l,1,：,y,x,3,，,l,2,：,y,x,(,a,1),，,由,(,),1,a,.,方法二由,A,1,A,2,B,1,B,2,0,，得,a,2(,a,1),0,a,.,20/69,(1),当直线方程中存在字母参数时，不但要考虑到斜率存在普通情况，也要考虑到斜率不存在特殊情况,.,同时还要注意,x,，,y,系数不能同时为零这一隐含条件,.,(2),在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程系数间关系得出结论,.,思维升华,21/69,跟踪训练,1,已知两直线,l,1,：,x,y,sin,1,0,和,l,2,：,2,x,sin,y,1,0,，求,值，使得：,(1),l,1,l,2,；,解答,22/69,方法一当,sin,0,时，直线,l,1,斜率不存在，,l,2,斜率为,0,，显然,l,1,不平行于,l,2,.,当,sin,0,时，,k,1,，,k,2,2sin,.,要使,l,1,l,2,，需,2sin,，即,sin,.,所以,k,，,k,Z,，此时两直线斜率相等,.,故当,k,，,k,Z,时，,l,1,l,2,.,23/69,方法二由,A,1,B,2,A,2,B,1,0,，得,2sin,2,1,0,，,所以,sin,，所以,k,，,k,Z,.,又,B,1,C,2,B,2,C,1,0,，所以,1,sin,0,，,即,sin,1.,故当,k,，,k,Z,时，,l,1,l,2,.,24/69,(2),l,1,l,2,.,解答,因为,A,1,A,2,B,1,B,2,0,是,l,1,l,2,充要条件，,所以,2sin,sin,0,，,即,sin,0,，,所以,k,，,k,Z,.,故当,k,，,k,Z,时，,l,1,l,2,.,25/69,题型二两条直线交点与距离问题,例,2,(1)(,宿迁模拟,),求经过两条直线,l,1,：,x,y,4,0,和,l,2,：,x,y,2,0,交点，且与直线,2,x,y,1,0,垂直直线方程为,_.,答案,解析,x,2,y,7,0,设与直线,2,x,y,1,0,垂直直线方程为,x,2,y,c,0,，,则,1,2,3,c,0,，,c,7.,所求直线方程为,x,2,y,7,0.,l,1,与,l,2,交点坐标为,(1,3).,26/69,(2),直线,l,过点,P,(,1,2),且到点,A,(2,3),和点,B,(,4,5),距离相等，则直线,l,方程为,_.,x,3,y,5,0,或,x,1,答案,解析,27/69,方法一当直线,l,斜率存在时，,设直线,l,方程为,y,2,k,(,x,1),，,即,kx,y,k,2,0.,由题意知,即,|3,k,1|,|,3,k,3|,，,k,.,直线,l,方程为,y,2,(,x,1),，,即,x,3,y,5,0.,当直线,l,斜率不存在时，直线,l,方程为,x,1,，也符合题意,.,故所求直线,l,方程为,x,3,y,5,0,或,x,1.,28/69,方法二当,AB,l,时，有,k,k,AB,，,直线,l,方程为,y,2,(,x,1),，,即,x,3,y,5,0.,当,l,过,AB,中点时，,AB,中点为,(,1,4).,直线,l,方程为,x,1.,故所求直线,l,方程为,x,3,y,5,0,或,x,1.,29/69,(1),求过两直线交点直线方程方法：,求过两直线交点直线方程，先解方程组求出两直线交点坐标，再结合其它条件写出直线方程,.,(2),利用距离公式应注意：,点,P,(,x,0,，,y,0,),到直线,x,a,距离,d,|,x,0,a,|,，到直线,y,b,距离,d,|,y,0,b,|,；,两平行线间距离公式要把两直线方程中,x,，,y,系数化为相等,.,思维升华,30/69,跟踪训练,2,(1)(,济南模拟,),若动点,P,1,(,x,1,，,y,1,),，,P,2,(,x,2,，,y,2,),分别在直线,l,1,：,x,y,5,0,，,l,2,：,x,y,15,0,上移动，则,P,1,P,2,中点,P,到原点距离最小值是,_.,答案,解析,设,P,1,P,2,中点为,P,(,x,，,y,),，,则,x,，,y,.,x,1,y,1,5,0,，,x,2,y,2,15,0.,y,x,10,，,P,(,x,，,x,10),，,P,到原点距离,d,(,x,1,x,2,),(,y,1,y,2,),20,，即,x,y,10.,31/69,(2),如图，设一直线过点,(,1,1),，它被两平行直线,l,1,：,x,2,y,1,0,，,l,2,：,x,2,y,3,0,所截线段中点在直线,l,3,：,x,y,1,0,上，求其方程,.,解答,与,l,1,、,l,2,平行且距离相等直线方程为,x,2,y,2,0.,设所求直线方程为,(,x,2,y,2),(,x,y,1),0,，,即,(1,),x,(2,),y,2,0.,又直线过点,(,1,1),，,(1,)(,1),(2,)1,2,0.,解得,.,所求直线方程为,2,x,7,y,5,0.,32/69,题型三对称问题,命题点,1,点关于点中心对称,例,3,(,苏州模拟,),过点,P,(0,1),作直线,l,，使它被直线,l,1,：,2,x,y,8,0,和,l,2,：,x,3,y,10,0,截得线段被点,P,平分，则直线,l,方程为,_.,答案,解析,x,4,y,4,0,设,l,1,与,l,交点为,A,(,a,8,2,a,),，,则由题意知，点,A,关于点,P,对称点,B,(,a,2,a,6),在,l,2,上，,代入,l,2,方程得,a,3(2,a,6),10,0,，解得,a,4,，,即点,A,(4,0),在直线,l,上，所以直线,l,方程为,x,4,y,4,0.,33/69,命题点,2,点关于直线对称,例,4,如图，已知,A,(4,0),，,B,(0,4),，从点,P,(2,0),射出光线经直线,AB,反射后再射到直线,OB,上，最终经直线,OB,反射后又回到,P,点，则光线所经过旅程是,_.,答案,解析,直线,AB,方程为,x,y,4,，,点,P,(2,0),关于直线,AB,对称点为,D,(4,2),，,关于,y,轴对称点为,C,(,2,0).,则光线经过旅程为,CD,34/69,命题点,3,直线关于直线对称问题,例,5,(,泰州模拟,),已知直线,l,：,2,x,3,y,1,0,，求直线,m,：,3,x,2,y,6,0,关于直线,l,对称直线,m,方程,.,解答,35/69,在直线,m,上任取一点，如,M,(2,0),，,则,M,(2,0),关于直线,l,对称点,M,必在直线,m,上,.,设对称点,M,(,a,，,b,),，则,解得,设直线,m,与直线,l,交点为,N,，则,得,N,(4,3).,又,m,经过点,N,(4,3).,由两点式得直线,m,方程为,9,x,46,y,102,0.,36/69,处理对称问题方法,(1),中心对称,点,P,(,x,，,y,),关于,Q,(,a,，,b,),对称点,P,(,x,，,y,),满足,直线关于点对称可转化为点关于点对称问题来处理,.,(2),轴对称,点,A,(,a,，,b,),关于直线,Ax,By,C,0(,B,0),对称点,A,(,m,，,n,),，则有,思维升华,直线关于直线对称可转化为点关于直线对称问题来处理,.,37/69,跟踪训练,3,已知直线,l,：,3,x,y,3,0,，求：,(1),点,P,(4,5),关于,l,对称点；,解答,38/69,设,P,(,x,，,y,),关于直线,l,：,3,x,y,3,0,对称点为,P,(,x,，,y,),，,k,PP,k,l,1,，即,3,1.,又,PP,中点在直线,3,x,y,3,0,上，,3,3,0.,由,得,把,x,4,，,y,5,代入,得,x,2,，,y,7,，,P,(4,5),关于直线,l,对称点,P,坐标为,(,2,7).,39/69,(2),直线,x,y,2,0,关于直线,l,对称直线方程；,解答,用,分别代换,x,y,2,0,中,x,，,y,，,得关于,l,对称直线方程为,化简得,7,x,y,22,0.,40/69,(3),直线,l,关于,(1,2),对称直线,.,解答,在直线,l,：,3,x,y,3,0,上取点,M,(0,3),关于,(1,2),对称点,M,(,x,，,y,),，,1,，,x,2,，,2,，,y,1,，,M,(2,1).,l,关于,(1,2),对称直线平行于直线,l,，,k,3,，,对称直线方程为,y,1,3,(,x,2),，,即,3,x,y,5,0.,41/69,一、平行直线系,因为两直线平行，它们斜率相等或它们斜率都不存在，所以两直线平行时，它们一次项系数与常数项有必定联络,.,典例,1,求与直线,3,x,4,y,1,0,平行且过点,(1,2),直线,l,方程,.,妙用直线系求直线方程,思想与方法系列,20,规范解答,思想方法指导,因为所求直线与,3,x,4,y,1,0,平行，所以，可设该直线方程为,3,x,4,y,c,0(,c,1).,42/69,解,依题意，设所求直线方程为,3,x,4,y,c,0(,c,1),，,又因为直线过点,(1,2),，,所以,3,1,4,2,c,0,，,解得,c,11.,所以，所求直线方程为,3,x,4,y,11,0.,43/69,二、垂直直线系,因为直线,A,1,x,B,1,y,C,1,0,与,A,2,x,B,2,y,C,2,0,垂直充要条件为,A,1,A,2,B,1,B,2,0.,所以，当两直线垂直时，它们一次项系数有必要关系,.,能够考虑用直线系方程求解,.,典例,2,求经过,A,(2,1),，且与直线,2,x,y,10,0,垂直直线,l,方程,.,规范解答,思想方法指导,依据两直线垂直特征设出方程，再由待定系数法求解,.,44/69,解,因为所求直线与直线,2,x,y,10,0,垂直，,所以设该直线方程为,x,2,y,C,1,0,，,又直线过点,(2,1),，,所以有,2,2,1,C,1,0,，,解得,C,1,0,，即所求直线方程为,x,2,y,0.,45/69,三、过直线交点直线系,典例,3,求经过两直线,l,1,：,x,2,y,4,0,和,l,2,：,x,y,2,0,交点,P,，且与直线,l,3,：,3,x,4,y,5,0,垂直直线,l,方程,.,规范解答,思想方法指导,可分别求出直线,l,1,与,l,2,交点及直线,l,斜率,k,，直接写出方程；,也能够利用过交点直线系方程设直线方程，再用待定系数法求解,.,几何画板展示,46/69,解,方法一解方程组,得,P,(0,2).,因为,l,3,斜率为,，且,l,l,3,，,所以直线,l,斜率为,，,由斜截式可得,l,方程为,y,x,2,，,方法二设直线,l,方程为,x,2,y,4,(,x,y,2),0,，,即,(1,),x,(,2),y,4,2,0.,又,l,l,3,，,3,(1,),(,4),(,2),0,，解得,11.,直线,l,方程为,4,x,3,y,6,0.,即,4,x,3,y,6,0.,47/69,课时作业,48/69,1.(,常州模拟,),过点,M,(3,，,4),，且在两坐标轴上截距相等直线方程为,_.,答案,解析,4,x,3,y,0,或,x,y,1,0,若直线过原点，则,k,，,所以,y,x,，即,4,x,3,y,0.,若直线不过原点，设直线方程为,1,，即,x,y,a,，,则,a,3,(,4),1,，所以直线方程为,x,y,1,0.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,49/69,2.(,泰州模拟,),已知直线,l,1,：,x,2,my,3,0,，直线,l,2,方向向量为,a,(1,2),，若,l,1,l,2,，则,m,值为,_.,答案,解析,1,由直线,l,2,方向向量是,a,(1,2),，知直线,l,2,斜率为,k,2,2.,l,1,l,2,，,直线,l,1,斜率存在，且,k,1,.,由,k,1,k,2,1,，即,2,1,，得,m,1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,50/69,3.(,山东省试验中学质检,),从点,(2,3),射出光线沿与向量,a,(8,4),平行直线射到,y,轴上，则反射光线所在直线方程为,_.,答案,解析,x,2,y,4,0,由直线与向量,a,(8,4),平行知：,过点,(2,3),直线斜率,k,，所以直线方程为,y,3,(,x,2),，,其与,y,轴交点坐标为,(0,2),，,所以反射光线过点,(,2,3),与,(0,2),，,由两点式求得方程为,x,2,y,4,0.,又点,(2,3),关于,y,轴对称点为,(,2,3),，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,51/69,4.,一只虫子从点,O,(0,0),出发，先爬行到直线,l,：,x,y,1,0,上,P,点，再从,P,点出发爬行到点,A,(1,，,1),，则虫子爬行最短旅程是,_.,答案,解析,2,点,O,(0,0),关于直线,x,y,1,0,对称点为,O,(,1,1),，,则虫子爬行最短旅程为,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,52/69,5.,若,P,，,Q,分别为直线,3,x,4,y,12,0,与,6,x,8,y,5,0,上任意一点，则,PQ,最小值为,_.,答案,解析,因为,，所以两直线平行，,由题意可知,PQ,最小值为这两条平行直线间距离，,所以,PQ,最小值为,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,53/69,6.(,苏州模拟,),将一张坐标纸折叠一次，使得点,(0,2),与点,(4,0),重合，,点,(7,3),与点,(,m,，,n,),重合，则,m,n,_.,答案,解析,由题意可知，纸折痕应是点,(0,2),与点,(4,0),连线中垂线，,即直线,y,2,x,3,，它也是点,(7,3),与点,(,m,，,n,),连线中垂线，,于是,解得,故,m,n,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,54/69,7.(,盐城模拟,),正方形中心为点,C,(,1,0),，一条边所在直线方程是,x,3,y,5,0,，其它三边所在直线方程分别为,_,、,_,、,_.,答案,解析,x,3,y,7,0,3,x,y,3,0,3,x,y,9,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,55/69,点,C,到直线,x,3,y,5,0,距离,设与,x,3,y,5,0,平行一边所在直线方程是,x,3,y,m,0(,m,5),，,点,C,到直线,x,3,y,5,0,距离,解得,m,5(,舍去,),或,m,7,，,所以与,x,3,y,5,0,平行边所在直线方程是,x,3,y,7,0.,设与,x,3,y,5,0,垂直边所在直线方程是,3,x,y,n,0,，,则点,C,到直线,3,x,y,n,0,距离,解得,n,3,或,n,9,，所以与,x,3,y,5,0,垂直两边所在直线方程分别是,3,x,y,3,0,和,3,x,y,9,0.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,56/69,8.(,徐州模拟,),已知直线,l,1,：,ax,y,1,0,，直线,l,2,：,x,y,3,0,，若直线,l,1,倾斜角为,，则,a,_,；若,l,1,l,2,，则,a,_,；若,l,1,l,2,，则两平行直线间距离为,_.,答案,解析,1,1,若直线,l,1,倾斜角为,，则,a,k,tan,1,，故,a,1,；,若,l,1,l,2,，则,a,1,1,(,1),0,，故,a,1,；,若,l,1,l,2,，则,a,1,，,l,1,：,x,y,1,0,，,两平行直线间距离,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,57/69,9.,如图，已知直线,l,1,l,2,，点,A,是,l,1,，,l,2,之间定点，点,A,到,l,1,，,l,2,之间距离分别为,3,和,2,，点,B,是,l,2,上一动点，作,AC,AB,，且,AC,与,l,1,交于点,C,，则,ABC,面积最小值为,_.,答案,解析,6,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,58/69,以,A,为坐标原点，平行于,l,1,直线为,x,轴，建立如图所表示直角坐标系，,设,B,(,a,，,2),，,C,(,b,3).,AC,AB,，,ab,6,0,，,ab,6,，,b,.,Rt,ABC,面积,S,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,59/69,10.,在平面直角坐标系内，到点,A,(1,2),，,B,(1,5),，,C,(3,6),，,D,(7,，,1),距离之和最小点坐标是,_.,(2,4),答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,60/69,如图，设平面直角坐标系中任一点,P,，,P,到点,A,(1,2),，,B,(1,5),，,C,(3,6),，,D,(7,，,1),距离之和为,PA,PB,PC,PD,PB,PD,PA,PC,BD,AC,QA,QB,QC,QD,，,故四边形,ABCD,对角线交点,Q,即为所求距离,之和最小点,.,A,(1,2),，,B,(1,5),，,C,(3,6),，,D,(7,，,1),，,直线,AC,方程为,y,2,2(,x,1),，,直线,BD,方程为,y,5,(,x,1).,由,得,Q,(2,4).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,61/69,11.,已知方程,(2,),x,(1,),y,2(3,2,),0,与点,P,(,2,，,2).,(1),证实：对任意实数,，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点坐标；,证实,显然,2,与,(1,),不可能同时为零，,故对任意实数,，该方程都表示直线,.,方程可变形为,2,x,y,6,(,x,y,4),0,，,故直线经过定点为,M,(2,，,2).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,62/69,(2),证实：该方程表示直线与点,P,距离,d,小于,.,证实,过,P,作直线垂线段,PQ,，由垂线段小于斜线段知,PQ,PM,，,当且仅当,Q,与,M,重合时，,PQ,PM,，,k,PM,1,，直线与,PM,垂直，,此时对应直线方程是,y,2,x,2,，即,x,y,4,0.,但直线系方程唯独不能表示直线,x,y,4,0,，,M,与,Q,不可能重合，而,PM,，,PQ,，故所证成立,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,63/69,12.,已知直线,l,经过直线,l,1,：,2,x,y,5,0,与,l,2,：,x,2,y,0,交点,.,(1),若点,A,(5,0),到,l,距离为,3,，求,l,方程；,解答,易知,l,不可能为,l,2,，可设经过两已知直线交点直线系方程为,(2,x,y,5),(,x,2,y,),0,，,即,(2,),x,(1,2,),y,5,0,，,点,A,(5,0),到,l,距离为,3,，,即,2,2,5,2,0,，,2,或,，,l,方程为,x,2,或,4,x,3,y,5,0.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,64/69,解答,解得交点,P,(2,1),，如图，过,P,作任一直线,l,，,设,d,为点,A,到,l,距离，,则,d,PA,(,当,l,PA,时等号成立,).,(2),求点,A,(5,0),到,l,距离最大值,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,65/69,*13.,已知三条直线：,l,1,：,2,x,y,a,0(,a,0),；,l,2,：,4,x,2,y,1,0,；,l,3,：,x,y,1,0,，且,l,1,与,l,2,间距离是,.,(1),求,a,值；,解答,直线,l,2,：,2,x,y,0,，所以两条平行线,l,1,与,l,2,间距离为,又,a,0,，解得,a,3.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,66/69,(2),能否找到一点,P,，使,P,同时满足以下三个条件：,点,P,在第一象限；,点,P,到,l,1,距离是点,P,到,l,2,距离,；,点,P,到,l,1,距离与点,P,到,l,3,距离之比是,.,若能，求点,P,坐标；若不能，说明理由,.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,67/69,假设存在点,P,，设点,P,(,x,0,，,y,0,).,若点,P,满足条件,，,即,c,或,，,则点,P,在与,l,1,，,l,2,平行直线,l,：,2,x,y,c,0,上，,所以直线,l,方程为,2,x,0,y,0,0,或,2,x,0,y,0,0,；,若点,P,满足条件,，由点到直线距离公式，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,68/69,即,|2,x,0,y,0,3|,|,x,0,y,0,1|,，,因为点,P,在第一象限，所以,3,x,0,2,0,不可能,.,所以,x,0,2,y,0,4,0,或,3,x,0,2,0,；,联立方程,解得,(,舍去,),；,联立方程,解得,所以存在点,P,同时满足三个条件,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,69/69,