向量张量 应力部不变量.pdf

向量张量 应力部不变量.专业资料内容提要 张量运算的基本法则 应力分析 应变分析专业资料向量的表示方法 字母表示法箭头黑体字ci h坐标表示法a=a i+a、）+a_k a y j zI/r r 2+/+生专业资料矩阵表示法a=ai+cl,i+a.kI J 一专业资料向量的数乘b 二履专业资料向量的和与差a=aj+av i+a,kb=hxi+bvj+b 二ka+b=(.+bx)/+(av+br)/+(a.+b_)k a-b=(ax-bx)/+(av-hY)/+(a二 一b,)k专业资料向量的点积a b=lallblcosa b=a7 b专业资料向量的叉积c=|a|b|sinc=a x bi j ka x b=ax a.a.a i-b h b_4 F.专业资料向量的夹角cos(a,b)=sin(a,b)=|a x b|w专业资料3个向量的混合积ci av a.a-(bxc)=hx l b_ w 一专业资料字母标记法羽v.zX1,X2,Xaij=aa2，b3，021，22，23，31，32，33专业资料需要注意的是:哑标变换字母标号时并不改变其含义ah=%bj=a“卜小Cl,jXj=amXn有括号的运算要特别注意a,c/i 1+a?(a”)=(ii+a 22+。33)专业资料自由标号不重复出现的标号称为自由标号a=hx+brx.a,=hitXi=V 4,=Am+b”x、+hx.,ft I I 0 Ba,=byX+/cX+hx.13 31 I 32 2 j3 3专业资料Kronneker DeltaJ（0 if i jr i（）（）,=（）1 0 90 0 1L专业资料相关运算3 3 333 U U JJU jk jk a品=%=alf a M=4/专业资料置换符号1如果下标为顺循环-1如果卜标为逆循环()如果下标重复,22=P=0=口13 e322专业资料相关运算a a221“22a31a23=erstClras2at3当泌为顺循环 当川为逆循环 当淤为非循环空间坐标转换 假设在空间中存在一个坐标系Cj 同时存在另一坐标系 那么 41，+/1202+j=O*CT应力偏量不变量J,J 2,J 3J、-k J=工-旦+，-3 1 1 27 3几何参数/,_ a 1 旭，P=F*严皿可八面体应力Ogl，oclJ=g=J=Yi平均应力0必，专业资料应力状态和不变量的几何解释白3图5.12主应力空间中应力 状态的几何表示专业资料应力状态和不变量的几何解释上的投影八日玩 2cr1-o-2-a3cos8=-4=广/2 叵专业资料应力不变量之间的关系参数廿 I)/关系主应力CY .(7 个.(7 3主应力偏量S,s2,X应力不变量/1,，2,13/1=Ci+CT1 CT I,=CT CTj CTCT烹+CF|47)j=O*CT应力偏量不变量J,J 2,J 3J、-k J=工-旦+，-3 1 1 27 3几何参数/,_ a 1 旭，P=F*严皿可八面体应力Ogl，oclJ=g=J=Yi平均应力0必，专业资料混凝土双轴实验专业资料混凝土双轴强度特点（1）混凝土的一向抗压强度 随着另一向压力的增大 而蹲大。最大压应力在两个主应 力比为 处发生,约为抗压强度的 1.22 1.27 倍。双向等压时，强度约为 单向受压强度的 1.16 1.20 倍。式（12-14）-1.5c/ck 0005“0.10.一L 0.50.-0.11北方特 北方体 立方律X 口0-1以1。9219.招板 式A I。-1612h6624.99 立方体一 1.5/0/N*mm-i 试怦 10 B.51Q+10-1314,抑7 v 10-14J 20.104专业资料混凝土双轴强度特点（2）在一向受拉一向受压时，混凝土受压方向的抗压强 度随另一方向拉盈利的增 加而降低。专业资料混凝土双轴强度特点（3）双向受拉时，混凝土的抗 拉强度基本上不受另一方 向的影响，即双向抗拉强 度和单向抗拉强度基本相 等。专业资料混凝土双轴强度特点（4）双向应力状态，混凝土 的应变大小与应力状态 的性质（是受拉还是受 压）有关专业资料双轴应力强度的计算公式 修正的莫尔-库仑准则 Kupfer 公式 多折线公式 双参数公式专业资料修正的莫尔库仑准则2U2c4k莫尔库仑准则的特点公式简单强度偏小、偏于安全专业资料Kufer公式双向受压/=1：3.6：,力(0 v=风 0)I A)双向受拉t=ft，。2t=ft专业资料多折线公式Liu-Nilson-Slate双向受压a=巧/4-0.2时，(a、b2c=1-7fc 0c=a。2cI 1.2-df J0.2 0=#（1+/工）1+力/九百V 0=+2 /几）专业资料双拉状态。10 且。2 拉坏拉压状态。10,62Vo 61/。2-。.。5 柱状压坏双压状态 叫02 片状压坏双压状态50,02Vo叫/62Vo.2 柱状压坏将混凝土的二轴破 坏准则分成3种破坏 形式，5种应力组合 分区二使程序物理 意义明确，计算结 果清晰。三轴应力下的混凝土强度准则专业资料在混凝土的破坏包络曲面上有一些。混凝土的单轴抗压强度有减摩措施的试验所得）和抗拉强度（/;）各有三个点，分别位于三个坐标轴的负、正方向。混凝土的二轴等压（百=0,6尸 b2f 丁C）和等拉（。3二0，色0于口强度位于坐标平面内的两个坐标 轴的等分线上，三个坐标面内各有一个点；而混凝土的三轴等拉强 度（bifP2fp3f=而）只有一点落在静水压力轴的正方向。对于任意 应力比（？f W4f）的三轴受压、受拉或拉/压应力状态，考虑混凝土的各向同性，可由坐标或者主应力4f，4J值的轮换,在应力空间中各画出六个点，位于同一偏平面上，且夹角例直相 等（图7-1（份）。专业资料破坏包络曲面的三维立体图既不便绘制，又不适用于理解 和应用，常改用拉压子午面（图7.1c）和偏平面上的平面图形来 表示。拉压子午面为静水压立轴与一主应力轴（如图中的4轴）组成的平面，同时通过另两个主应力轴（生和力）的等分线。此 平面与破坏包络面的交线，分别称为。拉子午线的应力条件为0 24=%，线上的特征强度点有 单轴受拉（4,0,0）和二轴等压（0,工，丁J偏平面上的夹角为 0=0;压子午线的应力条件则为线上有单轴受压（0,0,丁）和二轴等拉（九，弁，。），偏平面上的夹角外0。拉压子 午线与静水压立轴同交于一点，即三轴等拉（工注，工注，注）。拉、压子午线至静水压立轴的垂直距离即为偏应力卷和小专业资料混凝土破坏包络面的特征曲面连续、光滑、外凸；(2)对静水压立轴三折对称；在静水压立轴的拉端封顶，定点为三轴等拉应力状态；压端 开口，不与静水压立轴相交；(4)子午线上各点的偏应力或八面体剪应力值，随静水压力的代 数值的减小而单调增大，但斜率渐减，有极限值；(5)偏平面上的封闭曲线三折对称，其形状随净水压力或正应力 值的减小，由近似三角形&=().5)逐渐外凸饱满，过渡为一 圆(4二1)。专业资料N3(a)平面(b)柱面屈服面图2.9屈服面和屈服轨迹专业资料专业资料专业资料智人 泽份)原 期方程及数式(1876)(T3*、。力4/J 2 reo*S+f J 3 -0Trwca(1864)量大翦应力，(%-4%一内 2-2 记Trsin(夕+5)-/V40Von Mies(1913)八面体翦应力:T.J=7 与 Ai=VSr1 2-02,Mohr-Ccoa6+(%Zr。*4Reimann(1965)推的影子午线，候平面由宣绕和 IS弧组成8=60 塔=q(彳 Q60fo二心：;式中当做&亚 O、_/_ _r+w 9 t,直41组合,撤的曲面TrLJ*x,(%)=-1-二-.l/TQttowKT-KoigEs HTXBieh，Tbi&-Chm PGPodgOTki图7.5各破坏准则的二轴包络线专业资料带有知识（数据库）的破坏模型1、2、3、45参数模型混凝土三轴试 验数据库专业资料本构关系混凝土在多轴应力状态下的本构关系，当然更要复杂得 多。三个方向主应力的共同作用，使各方向的正应变和横向 变形效应相互约束和牵制，影响内部微裂缝的出现和发展程 度。而且，混凝土多轴抗压强度的成倍增长和多轴拉/压强 度的降低，扩大了混凝土的应力范围，改变了各部分变形成 分的比例，出现了不同的破坏过程和形态。这些都使得混凝 土多轴变形的变化范围大，形式复杂。另一方面，混凝土多 轴试验方法的不统一和应变量测技术的困难，又加大了变量 测数据的离散度，给研究本构关系造成更大困难。专业资料混凝土多轴本构关系大体有4类:1.线弹性模型，2.非线弹性模型，3.塑性理论模型，4.其它力学理论类模型。其中，1、3类模型是将成熟的力学体系（即弹性力学和塑件理论等）的观点和方法作为基础，移植至混凝土；4类模型则是借鉴一些新兴的 力学分支，如粘性弹（塑）性理论、内时理论、断裂力学、损伤力学等的 概念相方法，结合混凝土的材料特点推导而得；2类模型主要依据混凝 土多轴试验的数据和规律，进行总结回归分析后得到。专业资料各类本构模型的理论基础、观点和方法迥异,表达形式多样，简繁相差悬殊，适用范围和计算 结果的差别大。很难确认一个通用的混凝土本构 模型，只能根据结构的特点、应用范围和精度要 求等加以适当选择。至今，实际工程中应用最广泛的还是源自试 验、计算精度有保证、形式简明和使用方便的非 线弹性类本构模型。专业资料1.线弹性模型这是最简单、最基本的材料本构模型。材料 变形（应变）在加载和卸载时都沿一直线变化，完 全卸载后无残余变形。应力和应变有确定的唯一 关系.其比值即为材料的弹性常数，称弹性模量。+当混凝土的应力水平较低，内部微裂缝和裂缝和塑性变形未有 较大发展时；去预应力结构或受约束结构的外裂之前；小体形复杂结构的初步或近似计算时；本有结构选用不同的本构模型，对其计算结果不敏感时等等。所以，线弹性本构模型在钢筋混凝土结构分析中的应用仍 有相当大的余地特别是因为按照线弹性分析的应力分布进行 适当配筋后，一般结构能保证必要的，甚至稍高的承载力安全 度，有些设计规范中允许采用这类本构模型。专业资料艺间应力应变关系5j=（川./口问二1团专业资料弹性本构矩阵石形式D 二1-XQ+v)(l 2)(17%U 正000(17北吟000(j*000S IH0.5(1 2v)0000.5(1 2r)000.5(1 2r)u|专业资料弹性本构矩阵一KG形式 9KGL-2A+（；3A-2（；2（3 人+（；）专业资料(1)各向异性本构模型:这一本构模型中刚度矩阵不对称，共需36个 材料弹性常数。专业资料（2）正交异性本构模型:专业资料(3)各向同性本构模型:、8712丫23=-VE1EVEVEVE1E2（l+v）。2243 E-工12(1+可(1-251-u v vv 1-u VV u 1-u1 202001 2020000 00l-2u2“2*33，23 731.专业资料2.非线弹性模型 弹性模量割线弹性模量E.=切线弹性模量dcr=de专业资料表&1非线弹性混凝土本构模型类型作者维数物理量模量 形式适用 范围应力途经参数确 定方法破坏帝则参考文献Kupter/(Jfn41e2.3 C*K,G割线匕升段单调试验拟合,7-13各Romstadz/Taylor/Hermmnii2E、v切线1二升段单调分段给定折线X-IX向同Palaniswamy/Shah3K,v切线不稳定 裂缝前羊调试验拟合8-19性Odolin/Cnrt2m/DeiPob3K,G割、切线上升段单调试脸拟合折线-20：Ottosen3&v割线全曲线单调等效单轴Qttiwen8-218-22；Liu/Nilsoti/Slate2C*吊 E?”切线上升段单调等效单轴折线保23止交异；lasujbSlatc/Nilsori2i2,p切线上升段单调等效单轴折线T624iJanvin/Pecknuld2切线L升段单调等效单轴Kupfrr：8-25Elui/Murray3治,”1切线全曲线单调等效单轴Wiliam-Wamke26耦1介型Kob30 Vos/Mevrnan3KGH割、切线不稳定 裂缝前非比例试验拟合旧27：KuHnkK、G Ji割、切线全曲线非比例试验拟合8-28Gcrstle2,3K.GJl切线上升段非比例试验拟合11529,8-30SUinkowski/|Gerstk1 3K,GHY切线上升段1比例试验拟合.8-31J注：只适用多轴受庆应力状态。专业资料混凝土三维本构模型的核心 混凝土的应力应变关系，主要是建立在 一维情况下 寻找合适的指标，将一维的应力应变关 系拓展到三维 非线性指标：.非线性弹性本构g-弹塑性木构 却损伤力学本构 D专业资料各种本构模型的本质差别 非线性弹性模型：主要（完全）依赖对 试验数据的拟合和人为假设 弹塑性模型：用塑性力学解释非线性指 标，控制其发展变化 损伤模型：用损伤力学解释非线性指标,控制其发展变化专业资料线性弹性模型的基本思路将三维应力/应变归一化，寻找合适的应 力/应变水平指标，以该指标为基础建立 本构模型 Ottosen,江见鲸模型，过镇海模型在主应力空间里分别建立主应力-主应 变的关系，然后用经验/假I殳方法确定本 构矩阵的非对角项 ADINA,Darwin专业资料线性弹性模型的分类增量形式模型采用切线模量-稍复杂.可以模拟加卸载=+。泪专业资料全量模型 K-G模型.分别建立尺和。随应力/应变的变化关系 E-模型分别建立E和u随应力/应变的变化关系专业资料Codolin 模型 K-G模型.分别建立K和。随应力/应变的变化关系 -模型分别建立E和u随应力/应变的变化关系专业资料Otto sen 模型 破坏准则 非线性指标 等效应力应变关系专业资料F线性指标(Nonlinear Index)专业资料二维非线性指标专业资料3维非线性指标：Ottosen法保持5,。2不变，改变。3 直至与破坏面相交得到 父点（5，专业资料三维非线性指标:口法 保持4,不变，改变么 直至与破坏面相交得到 交点W%)专业资料1维非线性指标：比例增大法 比例增大(%,6,6)，直至与破坏面相 交得到交点CT3f)引入调整系数k =0 Zr 1专业资料等效一维应力应变关系采用Sargin表达式专业资料割线模量计算式2 l+（A-2）+D 10 7丫（、4 g=A+J（D-1）1（1、eeb-e0-ec 2 ki 2 7i/13月0万 EQEc+/62。（1一）一12 V2 7专业资料3维混凝土应力应变关系峰值和应变都要增大tCF（MP）力=%=-28.2a1=%二一13.9 3=4=6.95=%=-3.81得取值王传志公式(I I/、Ef=Er 0.18-0.00156+0.038RZ I J Ottosen 公式专业资料割线泊松比计算B1.00.8如果万反如果广月泊松比专业资料本构矩阵计算步骤 已知混凝土强度、初始弹性模量和泊松比、单轴 应力应变关系、破坏准则、当前应力水平 计算主应力 计算非线性指标 计算割线模量 计算割线泊松比 形成非线性本构矩阵专业资料已知：混凝二匕强度为fc=20MPd,2MPa、初始弹 性模量E=30GPa、泊松比为Vo=O.18 一点应力状态为-66-12 2 2 11，选用江 见鲸四参数破坏准则，中国规范建议应力应 变曲线 求.当前的割线模量和泊松比+（。+c co s。）-F d=0专业资料求主应力Ii=-6-6-12=-24-24 crm=-8 m 3国二2 2-4 2 22 二S11S22 S22 s33 SS33+J 3=22s33+2S2s23s31 S11S23S232+S312=217a=5.292S22S312-S33S122=-2段=5.292cos 38=4I 31.03丫3cos-12.630l 1求非线性指标=0.1 =1.2856 6=1.4268 c=10.2251 d=3.21281.2856+fc(1.4268+10.2251cos6)+3.2128-l=00.003214+0.5094./Z7-4.8554=0乙J l乙J仄=9.018=2=5292=0587JKf 9.018专业资料得到石和4-十(1+7)P 0.8 匕=Vq=0.180.587)-24.64(匕专业资料增量模型增量形式的切线模量 doEt=dsSaenz sModelg 二(、2E 1-10 J1+、-2 AoJ2(2 +专业资料Darwin模型假设在双向应力下等效应力应变关系仍服从Saenz公式:C=1+4弓(、I”IC J(、2%1 8ic?(e)幺2上)+峰值应力和峰值应变的计算如果瓦12力如果瓦归力1+3.65a02c=7i 力(1+a)0。二畿专业资料本构矩阵Biaxial compression v=0.201Ei+E2 2vE1E2)d%012,00Others(Yv=0.2+0.6&UcJ(、4+0.4 5UcJ专业资料图8.14 Ottosen本构模型（a）单轴受压b-关系（b）多轴De关系（c）泊松比专业资料r eV尸+/7（A 2）+/?J=AJ 代入上式，整理后可得即时割线模量计算式为1(1、Es=-E0-J3-E0-Ec 2 k2 7士己纥尸匕石。4+尸凡Cai一刃t专业资料多轴应力峰值弹性模量专业资料（1.75 AEf=E,0.18-0.00156+0,038（2.81）Z l 力1式中：斗混凝土破坏时的割线模量；纥一混凝土初始弹性的模量；J c。？应力矢量与6轴在万平面上投影之角（相似角）；bg?八面体正应力；fc混凝土单轴抗压强度。Ottosen建议取：口 纥卜-L-f 1+4(A-1)而 a=Eq/Ec(2.82)A(2.83)当计算出X0时，取=0。式中（口/力）/是达到破坏状态时的口与力之比,而（”?/力）是单轴应力状态下破坏时ar与人之比，这时 fc7飞O专业资料3.塑性理论娄专业员科实际曲线A图3.20弹性-全塑性本构模型专业资料图3.21线弹性.硬化塑性.断裂本构模型(a)单轴关系(b)二轴应力加载图专业资料向量张量应力部不变量.专业资料