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第二章 线性时不变系统的时域分析 2.1系 统方程的建立 2.2零 输入响应的求解2.3零状 态响应的求解 2.4单 位冲激响应 2.5冲 激响应表示的系统特性米2.6系统响应的经典求解方法信号与系统大连海事大学信息科学技术学院(g)第二章LTI系统时域分析描述线性时不变系统是N阶线性常系数微分方 程或差分方程：光-/-dx(t)dy。)dt dtfJ 00J 00信号导系就信号与系挑2上透海事大等信息科学技木学流（一第二章LTI系统时域分析 2.1 LTI系统的时间方程2.1 L77系统的时间方程一、连续时间系统方程的建立已知系统的电路图，根据电器件的物理特性（元器 件的约束条件）：均(%)=RiR(01iR=-R KdiL(0dtV。)g jC00)=cdvc(0dt和电路定理（网络拓扑约束）：k信号与名就信号与名就 3vl(0-L式。=0k上逵海事上学信息科学裁木等就（一第二章LTI系统时域分析2.1 LTI系统的时间方程可以建立系统方程。连续时间上系统的方程，是一常系数线性微分方程：Nk=0小 dtkM=bk 左=0dkx(f)例如：他C串联电路如下，以电压源（。为输入，回路电 流i（。为输出，试列出系统的输入输出方程。+31根据电压定理，可列回路 电压方程：R%+唳+%=6（。信号导系就信号与系挑上透海事大等信息科学技木学流（一第二章LTI系统时域分析 2.1 LTI系统的时间方程因为求的是回路中的电流，根据元器件的约束：f=e。）J 00T d2i(t)八 di(t)1./、de(t)L-R+O=dt dt C dt1 deLdt信号与东髭信号易乐就 5 上逵诲串上学信息科学裁本-一()=八R山诅）-+-+dt2 L dt LC第二章LTI系统时域分析 2.1 LTI系统的时间方程系统方程丽及剑丽Qf号：俗，与薪由存学：i),因此称其为输入输出方程。d2i(t)R di(t)i(t)1 de(t)-l-l=-dt2-L dt LC-L dt7W常系数线性微分方程的一般形式为：k=o ai它是N阶线性时不变系统的系统方程。阶次:方程的阶次由独立的动态元件的个数决定。M力k k=Qdtk信号导系就信号与系挑6上透海事大等信息科学技木学流(0第二章LTI系统时域分析2.1 LTI系统的时间方程再例如：互耦电路如下，以次级回路电流为输由(2)式:出，试列出系统的输入输出方程。Ri1(0+L 且也-M=e(t)dt dtdt dt=上i +dt M M dt把(1)式，求一次导数后，再将(3)代入:22,2)2RL 出2 R2力 2+2-M 2 It+L2-M2M de(r)L2-M 2 dt信号导系就信号与系挑7上透海事大等信息科学技木学流(一第二章LTI系统时域分析2.1 LTI系统的时间方程LTI系统的状态与响应分解一、系统响应的分解前一章中曾提到：线性方程%二%（，）n 线性系统线性方程 y+b n?非线性系统若方程中=0,则y=以（。+=%。）是线性系统。信号与东髭信号易乐就8上透海事大等信息科学技木学流（一第二章LTI系统时域分析 2.1 LTI系统的时间方程y(t)=康I+区I这个例子提示我们：如果将系统的响应分成两部分，一部分与激励信号无关，完全由某些“常数”决定；在LT系统中，“常数”称之为系统的起始状态。而另一部分则完全由激励信号确定。这样，对于一个线性方程描述的系统而言，完全由 激励信号确定的响应与激励信号之间就可能满足系统的线 性关系了。y=qx+0上逵海事上考信息一:我木一(一信号导系就信号与系挑9第二章LTI系统时域分析2.1 LTI系统的时间方程例：一个AC串联电路的描述方程为4y+=x)y(t)+eatay(t)与起始状 态看关与激励 譬两端从。和积分:丁-y(0-谭jdef o 0即y-a(t-T)0若起始状态不为零，输出和输入就不满足线性和时不 变的关系。然而事实是：AC电路是线性时不变的。信号导系就信号与系挑10上透海事大等信息科学技木学流(一第二章LTI系统时域分析2.1 LTI系统的时间方程前面的例子表明，系统的响应是完全可以根据起始状 态和激励信号分开考需。分别求解既能为求解完全响应带来方便，又能真 实反映系统的特性。按此思路，提出了零输入响应和 零状态响应的概念。所谓零输入响应是指激励信号为零,或者不考虑激励 信号的作用时，仅由系统起始状态产生的响应。塞拉态响应则是当系统的起始状态为零，或者不考虑 起始状态时，仅由激励信号产生的响应。完全响应=零输入响应+零状态响应据此，线性系统的概念可以扩展为：响应可分解为零输入响应和零状态响应；零输入响应线性；零状态响应线性；=信号与就信号易乐就 11 上逵诲事上学信息科学裁者名就 W第二章LTI系统时域分析 2.1 LTI系统的时间方程上例中的零状态响应：t0-由卷积的定义tj e)xdz=兄*0以后可以证明，是该系统的单位冲激响应，这说明，只要求得系统的单位冲激响应，就可以通 过卷积求得零状态响应了。以上的推导过程虽然是以连续系统为例，但 其概念同样完全适用于离散系统。信号导系就信号与系挑12上透海事大等信息科学技木学流(一第二章LTI系统时域分析 2.1 LTI系统的时间方程二素统的起始状态和初始状态对N阶连续系统，一般将激励信号作用于系统的时 刻设为零时刻方=0,此前一瞬间记为0一，此后一 瞬间记为0+,系统的响应设为起始状态:丁(0-),_/(0-)一,尸(0-)初始状态:y(0+),(0+),严)(0+)尽管都是定义在40附近，但是二者不一定相等。系统在40时刻的跳变值：Ayw(0)=严(0+)-严(0一)因此：/(0+)=Ay(3(0)+yW(T)=0,2，N l信号导系就信号与系挑13上透海事大等信息科学技木学流(一第二章LTI系统时域分析2.1 LTI系统的时间方程给定如图所示电路，vO开关S处于1的位置而且已 经达到稳态，当，时S由1转向2。系统输出为处)试确 定峭及3F在t二 o时刻前后的值(即求=0一与0+时起始状态转换初始状态信号身索挑信号与系挑 14 大透海事之等信息和学技木等一()第二章LTI系统时域分析2.1 LTI系统的时间方程对N阶离散系统，状态定义为起始状态：y(T),y(-2),，y(-N)初始状态：y(O),y，y(N-1)离散系统的状态变化求解相对简单，可以 通过迭代递推获得各阶状态值，这将在以后的例 题中体现。信号与东髭信号易乐就 15 上逵海事大考信息科考裁本考一(第二章L77系统时域分析 2.2零输入响应求解2.2177系统零输入响应的求解一、连续时间系统零输入响应的求解。dky(tN阶连续系统的一般方程为 Z以二尸二。左=0 at即零输入响应方程为齐次方程，其解应该是齐次解，解中的待定系数由起始状态确定。特征方程：aNaN+4=0信号导系就信号与系挑16上透海事大等信息科学技木学流(一第二章177系统时域分析 2.2零输入响应求解N齐次解：一般形式%0）=24日 k若应是阶重根，则重根部分将有项（A/T+4_2尸2+力+4）*由于没有输入信号作用于系统，系统在户0时刻状态 不会发生改变，此时片0与Q0+的状态应该是相同的。信号导系就信号与系挑17上透海事大等信息科学技木学流（一第二章177系统时域分析 2.2零输入响应求解例1、设系统方程能始条件如下，试求系统的扁画I。oy+3/(0+2y(0=0 M。)=0 V(0)=1翟蚤 求系统的特征根，并写出其齐次通解。系统的特征方程为：a2+3a+2=0特征根为：%=-1,。2=-2系统的齐次通解为：为=4一+4”2信号导系就信号与系挑18上透海事大等信息科学技木学流(一第二章L77系统时域分析 2.2零输入响应求解系底的齐次通解为；力=4*+4于2,由起始条件确定待定常数，即求出零输入响应。y(o-)=o=4+A A=i 4=Ty(o-)=i=-4-2A所以系统的响应在。时 广%=短-*_立、对例1、设系统方程与起始条件如下，试求系统的响应为。/(0+3/(r)+2y(t)=0 y(0-)=0/(0-)=1信号导系就信号与系挑19上透海事大等信息科学技木学流(一第二章L77系统时域分析22零输入响应求解例2、设系统方程与起始条件如下，试求系统的响应为。y()+2/(0+2y(0=0 项)=0 火6)=1求系统的特征根，并写出其齐次通解。系统的特征方程为：a2+2a+2=0特征根为：%2=-1 土/系统的齐次通解为：匕=丁(4 cost+&sin%)=Be1 cos(k+(p)=Cef sin+0)任选一种形式上逵海事上考信息一:我木一(一信号与东髭信号易乐就20第二章L77系统时域分析 2.2零输入响应求解（万藁始条襦定花定馆数面求出零碗入加仓。M）=o=A yzi（t）=e-W cosr+4sinr）y（。）=1=_A+&a=o 4=1或者可求得 5=1,（p=/。=1,。=02 3。所以系统的响应在00时yzi（t）=靖 sin/*z z例2、设系统方程与起始条件如下，试求系统的响应为。y+2/（0+2y（0=0 项）=0 y（0r）=l信号导系就信号与系挑21上透海事大等信息科学技木学流（一第二章L77系统时域分析 2.2零输入响应求解而广段素统方程写起始条件如下，试求系统的嘀应点。(%)+2/(0+y=0 M)=o y(0T)=l嚼矗山)求系统的特征根，并写出其齐次通解。系统的特征方程为：a2+2a+l=0特征根为：%=T系统的齐次通解为：%=二(%+a)由起始条件确定待定常数，即求出零输入响应。)=0=4y(o)=i=44 A=o 4=1信号导系就信号与系挑22上透海事大等信息科学技木学流(一第二章L77系统时域分析 2.2零输入响应求解一丽系统的嘀应在/丽 严小结：上，”连续时间系统零输入响应是齐次解的形式。当系统的特 征根应为单根，其形式为：N1k=0当系统的特征根以为i重根，其对应分量的形式为：(A/T+4_2/2+./+4.3当特征方程有共辗复根a/O,其对应分量的形式为:eat(A cosQ?+&sinO，)=B济 cos(D?+(p)=Ceat sin(Q?+0)上逵海事上考信息一:我木一(信号与东髭信号易乐就23第二章L77系统时域分析 2.2零输入响应求解三7离散硒旬系统零输入响应的求解离散时间系统零输入响应的求解有类似连续时间系统 的经典法，还有一种迭代法。1、迭代法例如：已知系统差分方程与起始条件，求系统的响应兴)。y(n)-1 y(n-1)+1 y(n-2)=0 1)=(-2)=1O O蟹盔将以上方程写成y()=g y(T)-J y(-2)o o5 1 Sid?当/t=0 y(0)=一y(1)y(2)=-=6 6 6 6 6 3信号导系就信号与系挑24上透海事大等信息科学技木学流(一第二章L77系统时域分析 2.2零输入响应求解5 1 5 4 2当 n=o y(0)=/y(-1)嚏 y(-2)=-=t6 6 6 6 6 35 1 5 2 1 7当 n=l J(l)=-y(0)_/y(_ 1)=2.三 一 二二/o 6 6 3 6 18小、5 小 1 小、5 7 1 2 23当 n=2 y(2)=-y(i)-y(0)=/77-G=uwo o o 18 6 3 108迭代法是数值计算的方法，简单且易于计算机实现。但在大多数时不容易得到一个封闭的解2、经典法：o 5 1丁二:y 5 T)二 y 5一2)O O如上例：已知系统方程与起始条件，求系统的响应为()。y(n)-y(n-1)+y(n-2)=0 1)=2)=16 6=信号信号与乐就 25 上逵海事丈考信息科考我木名就()第二章L77系统时域分析 2.2零输入响应求解离散丽系统零输入响应也是弄而解的形式。-当系统的特征根因为单根，其形式为：为()=4或k=0 当系统的特征根a为i重根，其对应分量的形式为：(4.i“T+4-2-2+-+4)a,当特征方程有共朝复根叼2=匕士加，其对应分量形式为：(4 cos3+4 sinco)k=Bf cos(con+(p)=Cf sin(coM+0)式中的待定系数，由vO时的起始条件确定。信号导系就信号与系挑26上透海事大等信息科学技木学流(一第二章L77系统时域分析 2.2零输入响应求解篇叁 求方程的特荏菽系系展前齐次通解。9 5 1差分方程对应的特征方程：oc2-oc+-=0 6 6得到方程的特征根：%二1 2 3所以设系统的齐次通解为:/1 yyzM=Ai-k 2 7十42已知系统方程与起始条件，求系统的响应为()。y -，y(T)+，(-2)=o y(T)=y(-2)=16 6信号导系就信号与系挑27 大/海事辱信技木等流0第二章L77系统时域分析22零输入响应求解n+4为=A门丫 根据起始条件，确定齐次通解中的待定系数。y(1)=1=4y(2)=1=4Q Y1=2A+3 A?A 乙=4A+94+乙+A?已知系统方程与起始条件，求系统的响应为5)。y -，y(T)+，(-2)=o y(T)=y(-2)=16 6信号导系就信号与系挑28 大透海事辱信技木等流一第二章L77系统时域分析 2.2零输入响应求解J 2A+3A2=144+94=1A=i 4=-；所以系统的零输入响应为：(1 Y 1/1 丫(1 Y(1 Y+1yzi(n)=T=-T已知系统方程与起始条件，求系统的响应为()。y -：y(-1)+,(-2)=o y(T)=y(-2)=16 6信号与东髭信号易乐就29上透海事大等信息科学技木学流(一第二章L77系统时域分析2.3零状态响应求解 2.3 L77系统的零状态响应 一、两个连续信号的卷积积分00 x*N=j x(r)h(t-Tdr00二、卷积积分的运算1、卷积积分的定义法求解卷积积分运算有两点要注意：积分限的确定和结果函 数的定义区间。信号与东髭信号易乐就30上逵海事上学信息科学裁本学就(一第二章L77系统时域分析2.3零状态响应求解例 1：设 X)二 M，=/(%)求卷积积分丁=X。)*W)00y(t)=%(0*用=j x(t)/z(Z-t)Jt0000j u(T)e(tr)u(t-T)dr0000=J 6一(一00信号导系就信号与系挑31上透海事大等信息科学技木学流（一第二章L77系统时域分析2.3零状态响应求解oo丁二J006一-T)dr1-式下间y以上积分式中，积分变量是口的“W-工）决定了积分的上 L也确定了积分结果的定义区eT dr0-T 八(-T)-1t=00A1-TL o/(/1)o二（1 6一加。）t0-T信号导系就信号与系挑32大逡海事大等信息科学技木学流（管）第二章L77系统时域分析2.3零状态响应求解例2：已知X=eatut h=求卷积积分金 00 00y(t)=J x(7)h(t-zdz=j-c)dc00 00=J*eMdtu(t)00a丰Ba=0t0信号导系就信号与系挑33上透海事大等信息科学技木学流（一第二章L77系统时域分析卷积运算例3：设 1),%)=/),求卷积积分y=W）*恤）y。）=%）*。（。=j X（T）/Z（Z-T）6/t0000=j(c)-(r-1)峻(1)”0-00=%)+为信号导系就信号与系挑34上透海事大等信息科学技木学流（一第二章L77系统时域分析卷积运算“=J 6-()4(1-7)八=(1-1)4(%)0000乃(%)=-”(工-一工)d工00以上积分式的积分的上下限为61),积分结果的定义区间为(18),所以后i-o i 工 a(-T)1=0个 w(f-T)面要乘以(T)。t11 _t7T个小一1)“。一T)=j eTdru(t-1)i=e，(/1)0 1 工二 口 6一(1)(1)信号导系就信号与系挑35上逵海事上学信息科学裁本等就(第二章177系统时域分析 卷积运算所以 yQ）=%。）+%。）=(1 -1-e1)注:更简单的方法是根据系统的时不变性和线性得到该结果。例3：设=h（t）=求卷积积分丁（。=%。）*仲）信号导系就信号与系挑36上透海事大等信息科学技木学流（一第二章L77系统时域分析卷积运算2、借助作图求卷积积分借助作被积函数的波形图求卷积积分，比较容易确定 积分的上下限和结果函数的定义区间，特别是当被卷积的 函数是分段连续情况的时候。信号与东髭信号易乐就37 上逵诲串上一信我木名就()=第二章L77系统时域分析2.3零状态响应求解例4：设 X（/）=K-K（-l）0=+1）+1）_ 1）试求：丁=%”)*h(t)借助作图的方法，求解卷积积分。卷积的积分式:丁=x）*/z 00j X（T）/Z（Z-T）JT先作出被积函数的图形信号与东髭信号易乐就38 上逵诲串上一信我木名就()=第二章L77系统时域分析卷积运算内di（”i）小恤）=。+1）凶+1）-。1）向12ioTA1 To1T-I 0当仁.11 力0A1告100-I 02h(-T)=h(O-T)，h(t-r)士.x(r)当-lvO当 OV1y(t)=J x(t)W-工)以00t+1=0t?+10 1，h(t r)2x(r)2Z+1 0-i 穴/+1A/z(r-r)卜之MDIC10信号导系就信号与系挑39上透海事大等信息科学技木学流（管）第二章L77系统时域分析卷积运算当 ovi y)=%+；当 lqv21 t2y)=f(-T+1)T=(-+T)|Li t-i 21Fo I%。-T)曰2章L77系统时域分析2.3零状态响应求解产 1=(W+/+RM+1)一()+Q+)w(/)-1)+(2-)w(r-l)-u(t-2)信号导系就信号与系疣41上透海事大等信息科学技木学流（管）一第二章L77系统时域分析卷积运算借助作图求卷积积分的的步骤可归纳为：（1）将参加卷积积分的两信号的自变量彳一工；将其中一个信号反褶，一（-力；将反褶的信号平移，g）；（4）求工（工）与平移信号力的乘积；（5）求X（T）（片T）的定积分。信号与东髭信号易乐就42上透海事大等信息科学技木学流（0第二章Z77系统时域分析 卷积运算三、离散信号的卷积和00 x()*/z()=y x(m)h(n m)m=oo卷积和的运算与卷积积分类似，要注意求和限的确定 和结果序列的定义区间。信号导系就信号与系挑43上透海事大等信息科学技木学流(一第二章L77系统时域分析2.3零状态响应求解例 1：设 x()=(),h(n)=anu(n)求卷积和()=%()*伏)y()=x(n)*h(n)00=Z x(m)h(n-m)m=oc00=Z-m)a i/(m)1，00二 an-mu(m)u(n 一 加)小=oo-ma u(n-ni)1。T-信号导系就信号与系挑44 大透海事等信息一一技木等流一第二章系统时域分析卷积运算n 几y(n)=(Z Lm)()=/)()m=0 m=01-a(n+1)=(一加 1-a(jn a 1 1-a 1u(n)2()-an+i Cl“(n)信号导系就信号与系挑45上透海事大等信息科学技木学流（一第二章L77系统时域分析例2：设 x(n)=anu(n)，h(n)=求卷积和 =%()*和)00y(n)=工 腔u(m)0nf _ 哈m=ooHm=0二 _ oT,、A-un)13 手 a 13-a(+1)/m()3-a信号导系就信号与系挑46上透海事大等信息科学技木学流（一第二章上系统时域分析2.3零状态响应求解例3：设 M)=1,232,1，伏)=1,2,3求卷积和 了5)=%5)*%5)我们先借助作图的方法，求此卷积和。两序列的图形为:a x(ri)3 2 11a h(ri)3 2Ind2 3 4im个hQ-哂4m信号导系就信号与系挑48上透海事大等信息科学技木学流（第二章L77系统时域分析卷积运算当=2M2)=lx3+2x2+3xl=10当=3X3)=2x3+3x2+2x1=14当=444)=3x3+2x2+1x1=143 d 1 2 3 4 ma/z(4-772)3 2 叶信号导系就信号与系挑49上透海事大等信息科学技木学流（一第二章L77系统时域分析卷积运算当=5X5)=2x3+1x2=8当=6乂6）=x3=3当稔7地）二0所以科加)3 2 T 1 2 3 4-h(6-ni)y()=L 4,10,14,14,8,33 2 叶对于这种两个短序列的卷积和，可以用称为“不进位 乘法”的方法求解。信号导系就信号与系挑50上透海事大等信息科学技木学流（一第二章L77系统时域分析卷积运算如上例，()=1,2,3,21,2,3,2,1X 1,2,336Z 9Z6229,43622用()=1,2,31,4,10,14,14,8,3结果如上，表示为地)L 4 1Q 14 14 8,3信号导系就信号与系挑51上逵海事上学信息科学裁本等就（第二章177系统时域分析 卷积运算四、卷积的性质(一)、代数性质(对卷积积分、卷积和均存在，用代 替，或/1、交换律()*人()=贻)*x()2、分配律%()*%()+似叨=%()*%()+%()*4()3、结合律()*4()*似)=%()*4()*%()4、平移特性 x(t-tQ)h(t-ti)=y(t-tQ-ti)%(一%)*恤_勺)=y(n-r-nJ信号导系就信号与系挑52上透海事大等信息科学技木学流(一第二章L77系统时域分析 2.3零状态响应求解（二卜卷积积分的微积分1 微分 x（0*砥）-X,*h（t）=%。）*”2、t t t积分 J x(T)*/z(T)依=j X(T)闵*h(t)=X*j h(r)ck000000t互逆运算入（。*砥）=/（。“g）dr应用时注意成立条件tX0)=J00dx(c)d 时可用 dr信号导系就信号与系挑53上透海事大等信息科学技木学流（一第二章L77系统时域分析 卷积运算3、信号与串位而激和展位丽跃信号的卷碗分00 00X*5）=X（T）d（t-T）dT=6（T）X（t-T）dT=X（z）8 00 8%*5_小)=J x(r6(t-T-tdz00 00=J X(t-Td(T-tdz00=x(o)八x(0 一t八 3。一%)八o t.t八y%t信号导系就信号与系挑54上透海事大等信息科学技木学流（管）章L77系统时域分析2.3零状态响应求解00兄*(%)=J-r)dr00J x(t-c)(c)dcj xrdz0000二 J x(t-T)droa x(-r)信号导系就信号与系疣55上透海事大等信息科学技木学流（卷积运算第二章77系统时域分析例如：已知%（/）=U（t）h(t)=求卷积：、(。=刈)*砥)由上性质可知 I00 ty)=j hrut-T)dr-j h(r)d00T一Q0j eTu(rdr-信号导系就信号与系挑56上逵海事上学信息科学裁本考就（管）第二章L77系统时域分析卷积运算或者y=xt)*砥)=*于山 dt=瓯)*efu(t)=6一 勿t ty=J y(T)所-J eTu(r)dr00 00p)=Je Tdz u(t)(1 e)ko J小 xO)Aj(O(1)八0例如：已知 x(t)=u(t)h(t)=efu(f)求卷积：砥)信号导系就信号与系挑57上透海事大等信息科学技木学流(一第二章L77系统时域分析 卷积运算(B年积布的有关画1、卷积和的累加和 8 8设 y(n)=x(n)h(ri)=x(m)h(n-m)=h(m)x(n-ni)m=oo m=oo则n n n*h(n)-x(n)*Z丛如】2、任一序列与单位样值信号的卷积和00 00 x(ri)*5(n)=x(m)d(n-ni)-8(m)x(n-ni)-x(n)加=00 m=QQx(ri)*8(n%)=x(n-n0)信号导系就信号与系挑58上透海事大等信息科学技木学流(一第二章L77系统时域分析卷积运算3、任一序列与单位阶跃序列的卷积和op n%()*()=x(m)u(n-m)=，x(ni)m=oc00 00二 u(m)x(n-m)m=-oc m=0个 x(m)八 u(n)-nx(n-m)0八”(n m)0 n信号导系就信号与系挑59上透海事大等信息科学技木学流（一第二章L77系统时域分析 2.3零状态响应求解ST连续研词系端的零状态响应求解一卷积积分设输入信号*作用于一个零状态的线性时不变系统 根据信号的冲激分解和卷积定义可知：00%=j x(r)8(t-T)dr=*5(。00若”()零状态系统而-丁)-h(t-c)信号导系就信号与系挑60上透海事大等信息科学技木学流(一第二章L77系统时域分析2.3零状态响应求解则由L77系统的性质可知:”()零状态系统即为=W)*R)其中方9）称为系统的单位冲激响应。信号导系就信号与系挑61上透海事大等信息科学技木学流（管）第二章L77系统时域分析2.3零状态响应求解例：设。)=(。一。一1)，h(t .(%)u(t-3)+u(t-1)u(t-4)+-2)u(t 5)，画出系统的零状态响应”S。)的波形。个X0A321 恤)5012.34第二章L77系统时域分析2.3零状态响应求解六、离散时间系统的零状态响应求解一卷积和若以“()作用于一个零状态的线性时不变系统35 J LTI系统一饵)00-00 x(m)8(/z-m)()=x(m)h(n-加)加=oo m=-oo00即 以=E x(m)h(n-m)=x()*0()m=ooA()称之为系统的单位样值响应。因此，只要知道系统的单位样值(冲激)响应，不论是 离散系统还是连续系统，其零状态响应都能通过卷积求解 得到。信号导系就信号与系挑63上透海事大等信息科学技木学流(一第二章L77系统时域分析 2.3零状态响应求解例：设()=(一1)()，h(n)=3nu(n)求系统的零状态响应 月()=%()*心切00九s()=x()*/l()=Z(根)以)m=oc00=E(T)f 根)(3广(加)加二 00(n、二 Z(T广(3)()=m=0 Jn(-ir(-3r)m=0=:(1)”+(3)+i】S)x()=”()，h(n)=0nu(n)f n+l oo p-ay(n)=Z amu(ni)0Tl-mu(n m)=0时的响应是零输入响应的形式零输入响应的形式:，h(t)=Ae3tu(t)代入上式是不可以，因为左边不出现如果设成/z(O=Art(O+W)方程左边出现(/)信号导系就信号与系挑68上透海事大等信息科学技木学流(一2.4单位冲激响应第二章L77系统时域分析d-Ia3Xo+W）+3毋山+防=3+25(。3AH3%。)+Ae-3t3(t)+BS(1+3Ae-3tu(t)+3B3(t)=8)+28t得到 A+3B=2 B=1 A=-l所以 h(t)=-e-3tu(t)+例：*+3y(/)=q+2x求单位冲激响应。设成 h(t)=Ae-3tu(t)+BS +CS(t)所以 h=1勿+33。)信号导系就信号与系挑69上透海事大等信息科学技木学流（管）第二章L77系统时域分析 2.4单位冲激响应涌激嘀应防数学模型对于线性时不变系统，可以用一高阶微分方程表示d/W dtn arm+G*y(0d/T+Gt$+GW=dt响应及其各 阶导数(最 高阶为次)17 d“-I x。)口 dx(r)口/、at cU令小尸财f激励及其各,y(t)=h(t)|阶导数(最高阶为阳次.E。d g),-77 1W h(t)d1+c十 十n-1蜉1+watdm 5dtm+用 5dr-1+.+.1 逆+mL 1,m v/d%,、一逡海事等信息科学技木人流(信号导系就信号与系挑70第二章L77系统时域分析2.4单位冲激响应僦。解答的形式由于3（。及其导数在此。+时都为零，因而方程式右 端的直由项恒等于零，这样原系统的冲激响应形式与零输 入响应的形式相同。与特阪睡巷 df c dh设特征戒为简单根之无重根的革根）n-1 dt 心叫%片鼠斗必陪+*）与孙 m相对大小有关 当mH寸，力不含3及其各阶导数；当=刷寸，/z中应包含3；当 加时d严n+G+与W 3i=l n恤)=船。)+04*0)i=l伏。=+Tl/=1当=加时当(0+(-3-5A2e-5z)(0+(4+4)6=(9A+2545zX0+(-3A-54 W)+(4+4)6。)例1设系统方程如下，试求系统的单位冲激响应力。yt)+8/(0+15j(0=X,。)+3x(0信号易东就信号易乐就 永 上逵海事大考信息科考裁本名就()第二章L77系统时域分析2.4单位冲激响应/1。）=（4”3、46一而=（34，,+（A+4）5。）ht）=（94+25f）。）+（345&）3+（a+4）将以上三式代入方程ht）+8 +15/z=/+35（0得：（3454）3+（a+4）S+8（4+4）3=5。）+33。）例1设系统方程如下，试求系统的单位冲激响应。y+8/(0+15j(0=X+3x(。信号易东就信号易乐就 75 上逵海事大等信息科考裁本等就W第二章L77系统时域分析2.4单位冲激响应(3 a 54)3。)+(a+&)6 +8(4+4)3。)=9+33。)(4+&)S(0+(54+34)3=夕+33 4+4=15 5 a+3A2=3解得：a=o 4=1所以单位冲激响应为：h(t)=e 5u(t)例1设系统方程如下，试求系统的单位冲激响应。y+8y +15丁。）=/+3%。）-信号易东就信号易乐就 76 上逵海事大等信息科考裁本等就第二章L77系统时域分析2.4单位冲激响应齐次解法求冲激响应（补充）E0dtmL h(t)duH-F C 1ni竽+。价）=at+.+丸T(w)dt+E消包ar+Gdm 5(。+月W S使方程左端最高阶导数的系数为1,右端只有一项b（t）时,冲激响应为h“）d h(?)df+。1d(f h(?)df1+,+=5左端最高阶微分中含有5（。项，其他各阶微分中不含有 6（。项。可以由此定初始条件信号导系就信号与系挑77上透海事大等信息科学技木学流（一第二章L77系统时域分析2.4单位冲激响应左端最高阶微分中含有b(t)项，其他各阶微分中不 含有阳。项。可以由此定初始条件力(0+)=(0+)=必(0+)=.(-2)(0+)=0,仙T)9+)=1机+三口+.+四+&百/)df Co dr(J。d/C0)E dm 5。)Ex d-1 况。+Em-d 5。)Em 2Co dtm Co dr-1 Co dt Coh(t)=区h(m)+且加f 十区力此方法窗冲激函数凄数平衡法简单。品于高阶系 统更有优越性。信号易东就信号易乐就 78 上逵海事大等信息科考裁本等就第二章L77系统时域分析 2.4单位冲激响应而设系统方程如E 求索统的犀丽激扃丽而。y（）+5y+6y=%。）+2+3x（。设 乂+5 乂 +6 X。）=x（0则彳+5.+6%）=/）由特征根 似。=（Al+由方程可知（）+）=1%（。+）=0代入解的表达式得信号导系就信号与系挑79上透海事大等信息科学技木学流（一第二章L77系统时域分析 2.4单位冲激响应代入解的表达式得=(2+4)“4(0+)=(A?%+46-3*。+)刈0+)=4+4=0“二(2 J 34)必+(+4)5 例2：设系统方程如下，试求系统的单位冲激响应。y。)+5y+6y=+2x+3x(。信号导系就信号与系挑80上透海事大等信息科学技木学流 W第二章L77系统时域分析 2.4单位冲激响应“=/-2-m+(a+4川(0+)=(-2A/X0+_34/。+)mQ)+(a+4)3(0+)=124-34=1%()+)=A+4=0解得 A=i 4=-i所以.=(/”)由L77系统特性 姐)=4)+2吊+3%。)例2:设系统方程如下，试求系统的单位冲激响应人。y+5y。)+6 y=xt)+2x+3x(。一信号与东就信号易乐就 81 上逵诲串上学信息科裁木学一()第二章L77系统时域分析 2.4单位样值响应二、舌散证间系赢章仓样值扁应N J零状态素丽U单位样值响应（）是系统忠蓬电由单位样值信 号作用之下产生的响应。因此，它是一个零状态响应。同样，单位样值信号仇m仅在=o时刻等于1,其它时 刻）（m=o,因此系统在o时的响应是零输入响应形式。因为是差分方程的时域求解，除了有类似于以上单位 冲激响应求解的方法外，还可以用迭代法求解响应。下面还是通过举例，说明单位样值相应的求解。信号导系就信号与系挑82上透海事大等信息科学技木学流（一第二章L77系统时域分析 2.4单位样值响应例L已知系统差分方程，求系统的单位样值而应()。y()3-1)+!52)=式)6 65 1此时以上方程可以写成-1)+二h(n-2)=3()0 0解法一(迭代法)：将方程写成如下形式h(n)=8(n)+h(n-1)-h(n-2)6 6考虑到系统是因果的和零状态的，当=05 1.(0)=1+与(1)一 一h(2)=16 6信号与东髭信号易乐就83上透海事大等信息科学技木学流(一第二章L77系统时域分析2.4单位样值响应当=1/z(l)=O+-/i(O)-/z(-l)=-6 6 6S 1 1Q当=2/i(2)=0+/z(l)/i(0)=6 6 36 同样，在大多数情况下不易得到封闭的解。解法二：由因果性与零状态条件，源过迭代求谒一组初始 条件，进而求防P时幽需输知胞应工)h(n-2)在心0以后 h(n)=4(+4(岁 6S 2 3 19由以上(1)=-碇)=记例1:已知系统差分方程，求系统的单砺标响应以)。y-3,5-1)+!y 5-2)=%6 6_=信号易东信号与乐就 84 上逵海事丈考信息科考我木名就()第二章L77系统时域分析 2.4单位样值响应所以 W=-|*。)=1|求得 4=3 4=-2考虑到 碗)=1所以 瓜n)=的)+3(；)-2。(-1)解法三：方法二中的初始条件是由人(.2)=任1户0和3(0户1 迭代得来的。二阶系统，确定系数有两个条件足 够，我们可以用=1和0时的条件，进而求稔0时 的零输入响应。例1:已知系统差分方程，求系统的单砺标响应以)。y-3,5-1)+!y 5-2)=%6 6_=信号易东信号与乐就 85 上逵海事丈等信息科考我木等就W第二章L77系统时域分析 2.4单位样值响应1 1设在吟 0 以后 h(n)=A(-)w+A2(-)w将 Zz(1)=0 h(0)=1作为条件5+吗7=24+34=。(0)=A+4=1 A=3 A2 2所以=3(；)2(=8(n)+3(y-2(yu(n-i)例1:已知系统差分方程，求系统的单位样值响应久)。y-3,5-1)+y 5 2)=%x(n-1)6 6一信号易东就信号易乐就 86 上逵海事大考信息科考裁本名就()第二章L77系统时域分析 2.4单位样值响应例2：已知系统差分方程,求系统的箪位样值响应证)。y-y(-l)+-y(n-2)=M)-%5-1)6 6此时以上方程可以写成5 1h(n)h(n-1)+h(n-2)=8(n)-8(n-1)6 6解法一:先用迭代法，求得(0尸L h(l)=-1/6,再 设在稔 0 以后 h(n)=A(1f+A2(1f 因此信号导系就信号与系挑87 大/海事辱信技木等流0第二章L77系统时域分析 2.4单位样值响应，(o)=a+4=i 岫)=a dr+a dr1 1 1 _2_L_打=74+;4=_/A=-3 A2=42 3 o 1 2所以 恤)=3(%+4()“解法二:=8(n)-3(1r-4(|rMn-l)5 2 3y 一二y(n-l)+-y(n-2)=x(n)-x(n-1)6 6由于是线性时不变系统，将以上方程看成是两个 信号分别作用于系统例2：已知系统差分方程，求系统的单位样值响应()。y-y(n-l)+-y(n 2)=x(n)-x(n-1)6 6信号易系信号/系 88 一逡海事大等信息和号技木等/第二章L77系统时域分析2.4单位样值响应所以有()=%()+%()考虑到系统的线性与时不变性%5)=%(1)5(也5(n-1),零状态系统 h(n-1)系统的单位样值响应 版)=%()+45)=4+4(一 1)由前例可知 1 145)=3(/2(?所以 h(n)=3(；)-2(；)心)3(；严2(；)a-1)例2：已知系统差分方程，求系统的单位样值响应/1()。-y(n-l)+-y(n 2)=x(n)-x(n-1)6 6信号易系信号/系 89 一逡海事大等信息和号技木等/第二章L77系统时域分析2.4单位样值响应1 1 1