工业机器人重复定位精度与不确定度研究.pdf

摘要本文旨在研究一种提高6轴串联工业机器人重复定位精度和不确定度的方 法。通过利用D-H模型分析法建立机器人运动学模型，利用D-H模型推导出的 机器人每个轴坐标系以及机器人末端坐标系与机器人基坐标系之间的转换关系，分析机器人误差模型。本文研究内容如下：1.研究负载对机器人重复性定位精度的影响。在机器人末端添加不同重量 的负载对机器人6个轴的重复性定位精度的影响，从负载对机器人产生 误差的原因出发，在理论上推导出机器人各个轴末端与负载质量之间的 误差模型，并经过实验验证了误差模型的正确性。2.分析机器人各轴轴心跳动情况。分析了机器人的每个轴单独旋转其他轴 不动时，旋转轴轴心的跳动。通过建立轴心跳动误差模型，找到了一种 简单有效的降低机器人轴心跳动的方法。3.此外还研究了机器人在以不同的速度运行时，机器人各轴的重复性定位 误差与运行速度的关系，发现机器人运行速度越快机器人的重复性定位 误差越大，为机器人最终选择合适的运行速度提供了参考依据。4.分析机器人回程误差对机器人重复性定位精度的影响。通过测量机器人 每个轴正转和反转到达同一指定位置时的定位误差，通过补偿机器人回 程误差使得机器人的重复性定位误差从补偿之前的0.17mm减小到了 0.03mm,将机器人的重复性定位精度提高了 75%以上，极大地提高了 机器人定位的准确度。5.研究机器人末端定位不确定度。通过建立机器人末端定位不确定度包络 球来评价机器人重复性定位精度。关键词：工业机器人重复定位误差不确定度误差补偿1ABSTRACTThis paper aims to study a method of 6-axis industrial robot positioning accuracy and repeatability uncertainty.Through the establishment of the robot kinematics model uses D-H model analysis,using the conversion relationship between D-H models derived for each robot axis coordinate system and the robot coordinate system and the end of the robot base coordinate system to analyze robot error model.Study of this paper are shown as follows:1.Load Impact Study repetitive positioning accuracy of the robot.Effect of different weight added to the end of the robot load repetitive positioning accuracy of the robot shaft 6,the load from the reasons for the departure of the robot to produce the error,the error model is theoretically deduced distal end of each robot axis between the mass of the load,and after experimental verification of the correctness of the errors of the model,point by some validation tests to verify the theory in line with the actual situation.2.Analysis of each axis robot axis beating case.Analyzed separately for each axis of the robot does not move the other axes of rotation,the rotation shaft runout.Through the establishment of axial runout model,found a simple and effective to reduce robot axis beating methods.3.Besides studied on different speeds,the relationship between the robot and the robot repeatability of positioning error running speed of each axis,the greater the robot run faster discovery robot repeatability positioning error,eventually choosing the right robot running speed provide a reference.4.Return error analysis robot robot positioning precision of repeatability.By measuring each axis robot reaches forward and reverse positioning errors during the same specified location,return error by compensating the robot makes repetitive positioning error of the robot from the previous compensation is reduced to 0.17mm 0.03mm,the robot repeat positioning accuracy is improved by more than 75%,which greatly improves the accuracy of the robot positioning.5.Research robot end positioning uncertainty.Through the establishment of the robot end positioning uncertainty enveloping the ball to evaluate the reproducibility of positioning accuracy of the robotKEY WORDS：industrial robots,repeatability,uncertainty,error compensation2目录目录.I第一章绪论.11.1 课题研究的目的与意义.11.2 工业机器人测控技术发展概况.21.2.1 直接测量法.21.2.2 组合测量法.31.3 机器人重复性定位背景.61.4 本课题研究的主要内容.11第二章 机器人运动学基础.132.1 三维坐标系的矩阵表示形式.142.2 坐标系变换的矩阵表示方法.152.2.1 平移变换的表示.152.2.2 平移变换的表示.152.2.3 复合变换的表示.162.3 机器人正运动学方程的D-H表示法.162.4 逆运动学问题解法.192.5 机器人末端速度求解一雅可比矩阵.202.5.1 雅可比矩阵的定义.202.5.2雅可比矩阵的构造.212.6 机器人重复性定位精度实验平台.212.7 本章小结.23第三章负载对机器人轴重复定位精度的影响.243.1 负载引起的机器人轴变形.243.1.1 负载引起的机器人关节臂挠性变形.243.1.2 负载引起的机器人轴关节变形.253.1.3 负载引起的机器人关节之间连接件变形.273.2 机器人负载试验.273.2.1 机器人单轴固定负载实验.273.2.2 单轴不同重量负载实验.31I3.3 负载造成的机器人末端误差.333.4 本章小结.34第四章速度和轴心跳动对机器人重复性定位精度的影响.354.1 速度对机器人重复性定位精度的影响.354.2 速度对机器人重复性定位精度影响实验.354.3 轴心跳动误差.374.4 轴心跳动误差补偿.414.5 本章小结.42第五章 机器人重复性定位精度分析.435.1 机器人重复性定位精度.435.1.1 机器人轴重复定位精度的定义.435.1.2 机器人轴单向重复定位精度.445.1.3 机器人轴双向重复定位精度.455.1.4 机器人重复定位精度实验基础.465.1.5 单轴回程误差实验.475.1.6 单轴回程误差补偿.495.2 机器人末端重复定位精度概述.505.2.1 机器人末端重复定位精度分析.515.2.2 机器人补偿后的机器人末端重复定位精度.535.3 本章小结.55第六章总结与展望.566.1 总结.566.2 工作展望.57参考文献.58发表论文和参加科研情况说明.63致 谢.64II第一章绪论第一章绪论1.1 课题研究的目的与意义现在随着大型装备制造越来越精密化，如何保证大型装备的制造和装配精 度越来越受到广泛关注，也受到了世界各国政府以及学者的重视。2007年欧盟 发布了迄今为止投资最多的科技研究开发计划一欧盟第七框架计划(7th Framework Programme,简称FP7),其中大型装备制造技术被列为其十大主题研 究领域之一，机器人系统更是被列为其具体技术整合领域的研究项目之一，尤其 是具有认知能力的先进机器人系统备受关注。高端装备制造业被列为在我国的十二五规划中七大战略性新兴产业之一，高 端装备的智能制造，制造业智能化、精密化和绿色化被定义为高端装备制造业的 未来发展方向，其中大尺寸数字化在线制造技术是研究热点内容之一。目前我国 正在积极发展的商业大飞机计划、先进航母制造、海洋机器人、高速铁路、太空 空间站等重大大型装备的制造，都是具有尺寸大、精度高、不易搬运等特点。这 给大型装备制造技术提出了很高的要求。现在有很多人研究利用机器人加工平台进行精密加工，机器人具有柔性好、灵活性高、使用方便、通用性强等优点。为了解决机器人精密加工中存在的问题,本课题组提出了基于可移动加工平台的柔性在线精密制造系统。该系统主要研究 基于6轴串联工业机器人加工平台的在线测量和实时精密控制技术，能实时获取 机器人末端的三维位置和姿态信息，通过反馈补偿的方法对机器人的运动轨迹规 划，达到实时精密控制机器人末端执行器的三维位姿。它的精度能满足加工要求，能够实现高精度的大型装备加工。目前绝大多数研究工业机器人的学者都将精力放在了如何通过外部测量手 段测量机器人末端的位姿，以达到提高机器人绝对定位精度的目的。前些年就有 很多国内外学者都可以通过标定技术在一定空间范围内将机器人的绝对定位误 差提高到0.2mm左右，但是几年过去却没有更进一步对机器人的探索遇到了瓶 颈,这主要是因为如果要精密控制机器人的行走路径，首先要对机器人进行标定，而标定的基础就要求机器人具有良好的重复性定位精度。现在市场上的工业机器 人的重复性定位精度一般都在0.1mm左右，如果不提高机器人的重复性定位精 度，那么机器人的绝对定位精度就无法更进一步。本文就是基于此缘由探索提高 机器人重复性定位精度的方法。1第一章绪论本课题的关键技术指标有：机器人末端的重复性定位精度在0.03mm以内；各轴重复性精度优于0.01。；全局自动测量控制，重复性好；本课题采用摄影测量装置实时获取机器人末端的位置，利用倾角仪测量机器 人末端的姿态信息。结合机器人标定技术、路彳空规划以及优化算法等实现机器人 末端位置和姿态的控制。1.2 工业机器人测控技术发展概况机器人末端的位置和姿态精度是保证机器人加工质量质量的重要因素之一，机器人的高精度在线测量技术在机器人加工和装配领域占据重要的位置，是目前 世界上面临的重要的技术难题。近几十年来，国内外的学者对机器人末端位姿测量技术进行了大量的研究，探索出了很多测量方法和装置。这些方法分为两类：直接测量法和组合测量法。直接测量法包括：内部编码法、多陀螺仪测量法等；组合测量法包括：激光系统 与陀螺仪组合测量法、摄影系统与陀螺仪组合测量法等。1.2.1 直接测量法直接测量法的精度并不高，由于这种测量方法需要已知机器人的臂长或者 内部的角度编码器信息，就会引入机器人自身的误差。比如常见的内部编码测量 法，不需添加外部测量设备就可以利用机器人每个轴的臂长和旋转角度通过机器 人转换矩阵推算出机器人末端的位置和姿态，但是这样精度比较低，由于直接利 用机器人的编码器无法剔除机器人本身的系统误差造成精度极为有限口.引。1996年南非共和国兰德阿非利加大学的H.A.Cronje和J.Goriws利用多陀螺 仪测量法则是在每根轴上都固定一个陀螺仪（如下图所示），以排除机器人自身 编码器所带来的系统误差，但是需要标定出机器人每个轴的臂长，这种方法对于 6轴串联机器人需要6个高精度的陀螺仪，价格昂贵，陀螺仪的固定以及与上位 机的通讯连接线较为复杂，并不实用。2第一章绪论图1-1直接测量法总结直接测量法，主要依赖于机器人的重复性定位精度，而且由于引入系统 误差、精度有限、价格昂贵以及操作比较复杂，在工业现场并不实用，不能满足 本文所述机器人测量的要求。1.2.2 组合测量法随着近些年来激光技术、光电技术以及视觉测量技术的发展，机器人末端 定位系统越来越多的结合激光测量法和视觉测量法，使得机器人末端位姿测量系 统的精度有了很大的提升，自动化程度也越来越高。采用组合测量方法来定位机 器人末端位姿的方法也越来越多了，机器人的姿态一般都是利用陀螺仪测量，机 器人末端的位置测量出现很多方法。下面介绍几种激光测量和视觉测量的方法和 装置。1激光直接测量法激光测量法一般只能测量机器人末端姿态变化不大的情况，当机器人末端 旋转时，由于机器人可能会遮挡光路，使得测量系统无法在线实时测量，这限制 了激光测量法的反用。2011年澳大利亚莫纳什大学的B.Shirinzadeh和P.L.Teoh等人利用激光器 发出激光通过半透半反镜一分为二，反射的激光经过简单处理传给上位机，透射 的激光经过固定在机器人末端的反射镜反射后原路返回，利用反射的激光与透射 的激光计算被测点的距离。3第一章绪论图1-2激光测量法这种激光测量方法由于需要搭建较多的光路和辅助机构，给测量造成了很 大的不便利，而且激光受温度、湿度等因素影响较大，因此目前并没有在机器人 末端测量领域得到广泛的以用。2激光跟踪仪测量法激光跟踪仪测量法利用激光在跟踪仪测量精度高的特点，可以实现机器人末 端执行器精密测量。2011年浙江大学的曲巍麻和董辉跃等人利用机器人制孔中，将跟踪仪靶座 固定在，利用激光跟踪仪测量机器人末端的位置，然后根据测得的机器人实际位 置与理论位置的差值，通过误差分析并利用软件补偿差量，控制机器人移动到目 标位置。图1-3激光跟踪仪测量法4第一章绪论激光跟踪仪作为一种大尺寸测量设备，具有精度高、操作简易、量程大等 优点，在制造、装配、质量检验等领域具有广泛的取用。但是，它的一些特点局 限了它的质用：（1）测量时需要目标靶镜配合，在一些高危环境下，靶镜固定 是一大难题；（2）跟踪仪价格较贵，支架占面积较大，限制了工作环境。3摄影测量法摄影测量的相机有两种常见搭配方式：相机固定在机器人末端执行器上，在 待加工工件附近粘贴标记点移动相机到达目标点；相机固定，在机器人末端执行 器上固定标识结构移动机器人从而带动标识机构运动，实时测出标识结构在摄影 测量系统中的位置，进而引导机器人到达目标位置。2000年英国城市大学的Dr.T.Clarke和Dr.X.Wang利用摄影测量法成功的 将机器人末端执行器精确地引导到目标位置。他们通过在被测工件上粘贴标记 点，建立世界坐标系，并确定被测点在世界坐标系中的坐标。在机器人末端执行 器上安装两个相机实时测量摄影系统坐标系相对于世界坐标系的位置，进而得出 被测点在摄影坐标系中的坐标，摄影系统通过电路和信号处理系统实时引导机器 人末端到达被测点。图1-5相机安装在机器人上2010年德国的Frank Boochs和Rainer Schutze等人在室内定位和室内导航 国际会议上简述了他们研究的利用4个固定相机和标识机构组成的摄影测量系 统作为测量仪器。利用4个相机可以防止由于机器人遮挡造成的双相机系统不能 工作的缺陷，标识结构则是由多个同心的红外LED组成的标记球，能保证机器5第一章绪论人在任何姿态相机都能识别标记球。图1-6相机固定数字近景工业摄影测量，利用高速相机在不同的位置和角度拍摄被测目标2 幅以上的数字图像，经过图像处理和数学算法计算后得到待测点的三维坐标，其 测量原理是利用了三角形交会法。数字近景摄影测量系统具有精度高、非接触式测量、方便携带、测量速度快、受温度振动等外界因素影响小等优点。国外比较成熟的摄影测量系统供应商包括 美国GSI公司的V-STARS、挪威Metronor公司的Metronor和德国AICON 3D公 司的DPA-Pro等，国内做的比较成熟的有北京天远三维科技有限公司的 3DMoCap 系统。以V-STARS摄影测量系统为例说明数字摄影测量的特点：(1)精度高：系统在测量距离10m以内时，测量精度可以达到0.17mm；(2)非接触测量：相机采用光学感皮的测量方式，不需要直接接触被测物体；(3)速度快：可以实现实时测量；(4)不稳定环境下能正常工作：受温度影响小；(5)通用性强：一套系统的测量尺寸从0.5m到10m；1.3 机器人重复性定位背景机器人具有灵活性高、使用方便、通用性强等优点，在诸如钻孔、弧焊、喷 涂、搬运、装配、医疗等领域反用越来越广泛。随着机器人在工业领域的反用需 求的不断上升，在一些精密制造、飞机装配等领域对机器人的精度要求也越来越 6第一章绪论高，如何提高机器人的绝对定位精度成为了大家关注的焦点。现在机器人具有重 复定位精度高的优点，但是机器人的绝对定位精度比较低，现在国际上还没有机 器人绝对定位精度的参考标准，机器人厂商一般给出的都是机器人重复性定位精 度。机器人具有良好的重复定位精度是机器人绝对定位标定技术的基础。加拿大Montreal大学的Albert Nubiola等人于2011年研究了 6轴串联机器 人的6个轴每个轴误差随角度的变化，并提出角度补偿方法。该方法通过分析各 轴末端的误差变化规律，通过在端添加延长辅助机构使得轴6的误差，在标定时 将轴6的误差考虑进去。这样在有延长机构时,机器人末端的定位误差大大提高。通过1000个验证点，机器人的定位误差从补偿前的最大/平均值从1.634mm/0.681mm减小到了 0.672mm/0.292mm。他们通过控制机器人某一个轴最小角度 运动到最大角度，再从最大角度运动到最小角度，分别测出定位误差，发现两种 方式的误差有区别口引。【EEuoto _斑EEJ JOJJO一 EPU&UE该团队于2012年研究了机器人在笛卡尔坐标系下，机器人以不同的速度沿 着机器人坐标系的X、Y、Z坐标分别移动不同的典型距离值，控制机器人的Y、Z轴随着机器人以不同的运动速度到达指令点，测出在不同速度下机器人末端的 误差，实验发现随着机器人运动速度变化，机器人的距离误差也随之变化；机器 人误差也随着运动距离的改变而改变口37第一章绪论图1-8速度对重复性影响韩国KAIST大学的Joon Hyun Jang等人在2001年研究了机器人腕部3个的 误差随负载的变化规律，由于轴2、3的旋转轴心平行，轴2、3旋转时会相互影 响，因此分析了轴2、3的联动误差。由于手部的3个轴轴距较小，对机器人末 端的误差影响也较小，因此并没有加以分析口力图1-9负载对机器人重复性影响西班牙的Jorge Santolaria和Manuel Gines在2012年提出在机器人标定时要 考虑不确定度对机器人24个参数的影响，在标定时每个点都到达100次，通过 100次的实验结果画出了机器人24个参数的标定不确定度范围。并通过到达同8第一章绪论意随机目标点1000次的实验得出机器人末端的位置，并在XY、YZ、XZ平面上 投影机器人末端的坐标。由此可以看出，机器人多次到达同一目标点，实际上机 器人末端的位置是在一个范围内变化的心切。4d 2(g)d 3(mni)d 4(mm)d 5(mm)w 4d 6(mm)d 1(mm)334.9336 335.1图1-10机器人标定不确定度国内也有很多人在研究机器人在线加工技术。浙江大学研究的机器人准确 制孔技术利用奇异值分解的最小二乘拟合算法对机器人准确制孔系统中工业机 器人平台进行构建与标定，见笑了了工业机器人的定位误差，提高了机器人准确 制孔的精度m2。图1-11机器人在飞机装配制孔系统中的应用9第一章绪论北京航天航空大学研究的应用于表面加工的机器人磨削系统，利用先激光扫 描仪作为测量设备测量测量被剥削工件的表面变化，结合磨削机器人末端的姿 态，便可建模出工件表面的轮廓。利用机器人重复性定位精度高的特点，对加工 轨迹进行规划，进而完成切削工作22-2引。图1-12机器人磨削系统天津大学测试技术与精密仪器国家重点实验室将机器人与视觉检测技术结 合起来实现了实时在线测量汽车白车身生产。该系统利用ABB机器人重复性定 位精度高、柔性好、通用性强的特点，在机器人末端固定视觉测量系统，汽车生 产过程中，利用视觉检测系统进行全局测量生产质量侬-25。图1-13白车身检测机器人机器人的重复定位精度高使机器人在一些工业重复生产中得到推广，例如机 器人在汽车装配生产线上需要机器人的重复定位性能较好25-4。机器人的轨迹规 划同样需要机器人保证优良的重复定位精度MW。10第一章绪论现在很多机器人制造商是根据ISO9283标准给出机器人的重复定位精度参 数，即机器人在相同的条件下多次重复从一个位置往返移动到目标点的精度（单 向重复定位精度）。但是这样得出的重复性精度在工业现场并不适用，因为机器 人可能会从不同的位置到达目标点。机器人从若干个不同位置到达同一目标点，理论上这些目标点位置成该在重复定位精度以内，但实际上这些目标点之间的重 复精度（多向重复定位精度）远远超出了机器人单向重复定位精度。例如本文使 用的KUKA-ARC5机器人的单向重复定位精度是0.02mm,但是它的多向重复 定位精度只有0.14mm。造成机器人多向重复定位精度低的原因主要是机器人轴的双向重复定位精 度较低。基于此，本文研究了造成机器人轴双向重复定位精度较低的原因一轴的 回程误差，并分析了轴回程误差对机器人多向重复定位精度的影响。最后提出了 补偿单个轴回程误差的方法以及提高机器人多向重复定位精度的误差模型。1.4 本课题研究的主要内容为提高机器人柔性在线加工系统的性能与水平，在机器人位移精度控制方 面，目前所采用的方案有：直接利用机器人平台的精度保证位移精度；通过规划 与限制重复路径，保证机器人在限定运动区域的重复运动精度。上述方式中都存 在着一些发展瓶颈，方式一为开环控制模式，精度很难提高，对于稍高精度的制 造，理论上需要很高精度的机器人，目前难以达到。方式二限制了机器人的运动 范围，降低了系统的柔性。在切削性能方面，根据加工工具与材料情况，需要有 足够的切削力，采用金属刀具的一般数字化制造系统，切削力的变化直接影响机 器人的变形，特别是夹持刀具端部变形，影响制造精度。本文的研究内容主要包括以下几部分：1.研究机器人6各轴的重复性定位精度。利用跟踪仪和倾角仪对6轴串联 机器人每个轴的典型代表角度进行多次重复测量，研究多次测量每个轴 到达指定位置的的误差规律和不确定度分析。2.研究负载对机器人重复定位精度影响。由于工业机器人都有极限负载限 制，当在机器人末端添加不同质量的负载时，机器人的轴关节都会有一 定的挠性，影响了机器人的运动精度，因此有必要对此进行分析。3.分析机器人运动速度对机器人重复定位精度的影响。由于机器人在不同 速度下定位精度不同，因此为机器人选择一个合适的快速定位和较慢速 度定位的速率很有必要。4.分析机器人轴心跳动误差。由于机器人单个轴旋转时，轴心位置的变化11第一章绪论给机器人的定位造成了误差，通过实验探讨轴心跳动误差的大小以及不 同轴受到的影响。5.研究回程误差对机器人重复定位精度影响。由于回程误差的存在，大大 影响了机器人的重复性定位精度，因此对机器人的每个轴到达指定的一 个角度的回程误差做出误差特性研究，并提出改进的方法。6.分析机器人末端的不确定度分析。由于机器人各个轴回程误差的存在使 得机器人到达同一位置时，机器人末端的位置在一定范围内变化，本文 对机器人末端的重复性定位进行了不确定度分析。12第二章机器人运动学基础第二章机器人运动学基础机器人运动学主要是研究机器人在不受外力干扰的情况下机器人的运动特 性。它主要关注机器人运动到达的位置、运行速度、加速度、姿态旋转角等几何 量信息，而不将机器人受外力、负载、温度、振动等这些物理量考虑在内。它解 决的问题主要有两个方面：机器人正运动学、机器人逆运动学。机器人正运动学 解决的问题是当已知机器人各轴的角度时，求取各轴末端和机器人末端的位置和 姿态；机器人逆运动学问题则与正运动学正好相反，使机器人末端运动到我们设 定的位姿，我们反该给机器人的各个轴多大的旋转角度是机器人的逆运动学所关 心的。本文采用的机器人是德国KUKA机器人公司生产的6轴串联工业机器人，它是由6个独立旋转的连杆串联起来组成的。由于6轴串联工业机器人空间结构 很复杂，直接求解机器人末端的位姿与机器人基座标系的转换关系是难以实现 的。通过在每个连杆都设立一个单独的轴坐标系，再利用矩阵运算的方法描述着 6个轴坐标你之间的坐标转换关系，就可以建立起从机器人基座标系到轴1坐标 系的转换，再到轴2坐标系的转换一直到机器人末端坐标系。这样就可以建 立起机器人末端到机器人基坐标系的转换关系，以及与机器人6个轴旋转角度的 方程。关节角关节角杆件参数1图2-1机器人正逆运动学关系本章将研究机器人正逆运动学理论。机器人的正运动学求解时，应该先按照 机器人的结构从理论上推导出一组与6轴串联工业机器人相对质的通用坐标转 换方程，当已知机器人6个轴的旋转角度时，能直接代入公式求解出机器人末端 13第二章机器人运动学基础的位姿。逆运动学也一样，当已知了机器人末端的期望位置和姿态之后，按照机 器人逆运动学方程，便可计算出6个关节对质的角度值。确定一个自由刚体在三维空间的位姿，第一，在这个刚体上建立坐标系；第 二，求出刚体在建立的坐标系下的三维位置和姿态。也就是说在一个空间三维坐 标系统中描述一个刚体需耍用六个自由度定义这个刚体的位姿。2.1 三维坐标系的矩阵表示形式当移动坐标系A与参考坐标系O重合时，可以利用三个相互垂直的单位向 量小0,1表示两个坐标系之间的关系。40,3分别表示法线、指向和接近向量，而一个单位向量可以根据它们在参考坐标系的三个分量来表示。标系A在坐标 系O中的矩阵表示形式为：A=%移动坐标系A的原点与参考坐标系O的原点不重合，那么坐标系A的原点 P：到参考坐标系原点的相对关系可以通过一个三维向量P=P来表示。P代表坐 上一标系原点之间位置关系了将矩阵A表示成方阵，在第四行添加一行。一巴%4 PxA=%y ay Py%4 az 2_0 0 0 1由于前三个表示方向向量，比例因子可以设为0；向量P的长度是一项非常 重要的信息，使用比例因子为1。其中：(1)n-o=0(2)n-a=0(3)a-o=0(4)n=l(向量的长度必须为1)(5)o=1(6)|a|=1因此，在前述6个表达式史立的电提下，坐标系之间的转换才可以用矩阵表 示。前三个方程可以简化为：nxo=ao14第二章机器人运动学基础2.2 坐标系变换的矩阵表示方法当空间的一个坐标系通过运动变成另外一个坐标系时，这一运动可以通过 矩阵转换的方法来表示。一般坐标的变换都是下面这3种基本变换形式中的一 种：1、纯平移运动；2、纯旋转运动；3、平移运动与旋转运动的结合。2.2.1 平移变换的表示将一个坐标系在空间中保持姿态不变的运动称为平移运动。这时，只有坐 标系的原点发生了坐标平移，但是3个单位方向向量都保持同一方向不变。所以 这种变换可以简化为坐标系原点在原来坐标系中的平移问题，采用矩阵形式表达 的话，旧坐标系右变换矩阵就可得到新坐标系。由于在平移运动的过程中单位方 向向量已知保持不变，所以变换矩阵T可以表示为：-1 0 0 dx一。1。4o o 1 40 0 0 1其中dx,dy,dz分别表示平移向量d在旧坐标系下x,y,z轴的三个分量。由此可 知，由于坐标系的轴没有旋转运动所以矩阵的前三列不变，最后一列则表示平移 运动的坐标分量。新的坐标系位置为：100d；4%pxX4%PxTF=010dyX%ayPy%外ayPy+dynew0014z%Pz%2+4_000i _0001_0001用符号写为：Fnew=Trandrd Fold o新坐标系相对于旧坐标系方向向量 经过纯平移后保持不变，位置是向量d和向量p相加。2.2.2 平移变换的表示当坐标系的原点保持在原来的位置不变的运动称为旋转变换。在变换过程 中，坐标系的原点不变，坐标系绕着某一个或多个坐标轴发生旋转。旋转前后坐 标系的变化用矩阵形式表达为：0-sin 6 cos。PnPoPa利用符号形式可表示为:Pxyz=Rot(x,0)xPnoaO 旋转矩阵为:15第二章机器人运动学基础1 0 0Rot(x,9)=0 cosO-sinO0 sinO cosd上面的旋转矩阵是绕旧坐标系的x轴做旋转变换的情况，同样的方法可得出 坐标系绕旧坐标系y轴和z轴旋转的情况。2.2.3 复合变换的表示复合变换是旧坐标系通过若干个平移运动以及若干个旋转运动之后成为新 的坐标系。坐标系的运动都可以分解为坐标系的旋转和平移运动。坐标系变换的 顺序很重要，交换坐标变换的先后顺序，那么坐标系变换的结果就不同。每次坐标系变换后，新坐标系中的某一点相对于旧坐标系该点的坐标，是利 用该点的旧坐标右乘变换矩阵求出的。2.3 机器人正运动学方程的D-H表示法1955年，Denavit、Hartenberg发表了一篇机器人表示和建模的论文。这篇 文献通过对机器人的关节结构进行分析，提炼出一种与机器人的复杂机械结构无 关，只与机器人构成形式有关系的关节模型。然后建立在机器人的每个关节上都 建立了机器人轴关节的轴坐标系。再利用矩阵变换的方法，通过推导出机器人相 邻轴关节坐标系之间的转换关系，进而计算出了机器人末端执行器到机器人基座 标系之间的矩阵变换关系。而且还推导出了机器人各个轴的运动学方程表达式，这种方法被后来研究机器人的学者广为接受，成为了机器人运动建模最基本的标 准方法。D-H模型提出了一种非常简单的对机器人关节进行数学建模的方法，该方法 适用于任何机器人构型。第一步，在每个关节上都建立一个独立的轴坐标系；第二步，建立从某一个轴坐标系到下一个轴坐标系的转换矩阵；第三步，这样就可以先从机器人基坐标系到轴1标系，再从轴1标系到轴2 标系直到最后一个轴坐标系，这样就得到了机器人末端执行器在机器人基坐 标系中的坐标变换矩阵。D-H模型可以简化为如下图所示：16第二章机器人运动学基础图2-2关节-连杆的D-H表示从运动学的角度出发，杆件的距离4和杆件的回转角仇可以确定位置关系，杆件长度右和杆件扭转角5则确定姿态关系。各参数定义为：和。+/在4轴线上的交点之间的距离。由：k和li-l之间的夹角，按右手定则由h-l转向lioh：关节4的轴线和4+,的轴线的公法线的长度。冉：关节，轴线与，+1轴线在垂直于4平面内的夹角。上面的这4个参数，确定了相邻杆件相对位置关系和结构形态。对于KUKA6 轴串联工业机器人来说，每个关节都是转动关节，所以&、儿Q,的值是常量，只有仇是一个变量。用D-H表示法对机器人建模时，在机器人每个轴关节上建立一个轴关节坐 标系。因此每个轴关节坐标系都定义坐标系的三个坐标轴方向。是沿着杆n按右 手规则旋转的方向就是z轴的方向，关节n处的z轴的坐标系原点在轴n-1上。一般情况下定义相邻两个Z轴的公垂线方向为轴坐标系的x轴（相邻关节的z轴 相交时，x轴垂直于两个z轴构成的平面；相邻两个轴坐标系的z轴平行，x轴 可选一条与上个关节的x轴平行的轴线即可）。y轴则可以根据右手定则来判断。根据上面介绍的方法可以为所有的关节定义轴坐标系。将轴n坐标系变换到 轴n+1坐标系，通过以下四个步骤实现：（1）绕如轴旋转角度为+/,那么旋转之后/与/+/平行。（2）沿如轴平移距离办+/,平移之后/与%+/共线。（3）沿/轴平移距离期+/,平移之后/与/+/的原点重合。（4）将/轴绕/+/轴旋转角度%+/,旋转完成之后0轴与的+/轴重合。这时轴n坐标系和轴n+1坐标系将完全重合，便完成了从一个轴坐标系到下 一个轴坐标系的转换，重复上述4步，就能够实现相邻坐标系之间的坐标转换。17第二章机器人运动学基础所以我们可以从机器人的基坐标系开始，首先转换到到第一个关节的轴1坐标 系，再到第二个关节轴2坐标系，直至机器人的末端。设矩阵A为通过上述4步实现的机器人从轴n坐标系到轴n+1坐标系的坐标 转换矩阵。那么A可以通过四个运动的四个矩阵右乘得到。矩阵A的推导过程 如下所示：Tran(0,0,dn+Tran(an+1,0,0)x Rot(x,an+1)10 0 01 0 0 1 0o o o 1&OSo c a%风 OSin c s o oXo o o 1 1 o o o0o Oo 11 o o o0cos a-cos%sin asin%sin%cos 0tA=sin qcos%cos 4-sin ai cos”ai sin a(2-1)0sin弓cos%40001那么从机器人基坐标系到轴i坐标系的转换表达式为：4（2-2）查阅机器人的资料，可以得出机器人末端坐标系在机器人基座标系中的位置和姿态可表达为：-0 0 1 915 0 10 0TZero=A&A3A4A5A6=-10 0 1120(2-3)0 0 0 1其中，3X3的上三角矩阵表示机器人末端在机器人基坐标系中的姿态，第 四列的前三行表示机器人末端坐标系在机器人基坐标系中的位置。根据机器人的参考资料得出机器人的的D-H参数如下：#edaa10400180-902-9006000300620-9040220090518001159060000机器人的6个转换矩阵如下所示:18第二章机器人运动学基础d 4 23+2d4sls23+%S+42sle2d4 c23 a2s 2cos2-sin 02 0 Qcos 4 sin 4 0 a20 0 1 0sina cos ft 0 04=7=4=7=sin%cos%0 00 0 1 00 0 0 10 0 0 1-cos a sin a 0 0cos4 sin4 0 00 Old,40 0-104=7=+A4=-sin 劣cos 4 0 0sin 05 cos gOO0 0 0 10 0 0 11-一 1cos5 sin 4 0 0cos6-sin 06 0 00 0-100 0 1 04=7=AT6=3T4 4T5 5T$方程两边对质项相等，解出关节变 量。4、。5、。6。在求解机器人运动学逆解时，经常会出现多组解，机器人逆运动学解的个数 与机器人结构以及所处姿态有关。根据实际情况从多组解中选则其中的一组。2.5 机器人末端速度求解一雅可比矩阵251雅可比矩阵的定义机器人末端在机器人笛卡尔坐标系中，机器人运动速度V与机器人各轴关 节的角速度q的关系用雅可比矩阵j(q)来表示。雅可比矩阵也可以表示机器人末 端位姿的微分D与机器人各轴关节的旋转角度微分dq间的关系。V=J(q)*q(2-5)D=J(q)*dq(2-6)