资源描述
2024-2025 学年度第一学期期中质量检测八年级数学试题卷
本试卷共 4 页，25 小题，满分 120 分，考试用时 120 分钟．
一、单选题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 下面四幅作品分别代表“立春”、芒种”、“白露”、“大雪”四个节气，其中是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A. 3，8，4 B. 5，10，6 C. 4，4，8 D. 3，7，11
3. 木工在做完门框后，为防止门框变形，常像如图的方式斜拉两个木条，这样做的数学道理（ ）
A. 两点之间线段最短
B. 矩形的四个角时直角
C. 三角形的稳定性
D. 长方形的对称性
4. 下列计算正确的是（
）
第 6页，共 6页
A. a2 + a3 = 2a5
B. a2 × a3 = a5
C. (-a2 )3 = a6
D. a2 + a3 = a5
5. 如图， V ABC 的边 BC 上的高是（ ）
A. 线段 AF B. 线段 BD C. 线段 BF D. 线段 BE
6. 已知图中的两个三角形全等，则Ð1等于( )
A. 50° B. 58° C. 60° D. 72°
7. 如图，已知OC 平分ÐAOB ，P 是OC 上一点，PH ^ OB 于点 H，Q 是射线OA 上的一个动点，如 PH = 5 ，则 PQ 长的最小值为（ ）
A. 10 B. 5 C. 3 D. 2.5
8. 如图，若V ABE≌V ACF ，且 AB = 5，AE = 2 ，则 EC 的长为（ ）
A. 1 B. 2 C. 2.5 D. 3
9. 如图，在V ABC 中， BE，CE 分别是ÐABC 和ÐACB 的平分线，过点 E 作 DF∥BC 交 AB 于 D， 交 AC 于 F，若 AB = 6，AC = 4 ，则△ADF 周长为（ ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 10
10. 如图，在等腰V ABC 中， AB = AC ， AD 是 BC 边上的高，点 E 是高 AD 上任意一点，点 F 是边 AB
上任意一点， AB = 5 ， BC = 6 ， AD = 4 ，则 BE + EF 的最小值是（ ）
7 24
A. 3 B. 5 C. D.
2 5
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分）
11. 在平面直角坐标系中，点(-6, 2) 关于 x 轴对称的点的坐标是 ．
12. 如图，在V ABC 中， AB = AC = 10cm ，DE 垂直平分 AB ，垂足为 E，交 AC 于 D，若△DBC 的周长为18cm ，则 BC 的长为 cm ．
13. 如图， ÐACD 是V ABC 的一个外角，若ÐACD = 115°，ÐB = 40° ，则ÐA = ．
14. 已知一个等腰三角形的一边是 6，另一边是 8，则这个等腰三角形的周长是 ．
V DEB V ABC
15. 如图， AD 是V ABC 的中线， DE 是△ABD 的中线．若 S = 3cm2 ，则 S = cm2 ．
16. 如图， 已知： AC = BC ， DC = EC ， ÐACB = ÐECD = 90° ， ÐEBD = 38° ， 现有下列结论：
①△BDC≌△AEC ；② BE 平分ÐCBA ；③ BD = AE ；④ AE ^ BD ．其中正确的有 ．（填序号）
三、解答题
17 计算：
（1） 4x2 y × 2xy ；
（2） (3a - 2b )× æ 1 a + b ö ；
ç 3 ÷
è ø
18. 已知一个多边形的边数为 n ，若这个多边形的每个内角都比与它相邻的外角的 4 倍多30° ，求 n 的值．
19. 已知：如图，点 E 、F 在线段 BD 上， BF = DE ， AF = CE ， AF ∥CE ．求证：△ABF ≌△CDE ．
20. 如图， V ABC 的三个顶点坐标分别为 A (2, 3) ， B (1,1) ， C (5, 3) ．
（1） 作出V ABC 关于 y 轴对称的图形△A1B1C1 ．
（2） 在 x 轴上找一点 P ，使得 PC + PB 最小，请画图并直接写出点 P 的坐标．
21. 如图，在V ABC 中， ÐACB = 90° ．
（1） 请用尺规作图，作ÐCAB 的平分线，与 BC 交于点 D；（不要求写作法，保留作图痕迹）
20
（2） 在（1）的条件下，若CD = 2 ， AB = ，求△ABD 的面积．
3
22. 如图，在V ABC 中， AB = AC ，过 BC 的中点 D 作 DE ^AB ， DF ^AC ，垂足分别为 E 、 F ．
（1） 求证： DE = DF ；
（2） 若ÐBDE = 55° ，求ÐBAC 的度数．
23. 两个大小不同的等腰直角三角板如图所示放置，如图是由它抽象出的几何图形，B，C，E 在同一条直线上，连结 DC ．
（1） 求证： VABE≌VACD ；
（2） 指出线段 DC 和线段 BE 的位置关系，并说明理由．
24. 如图 1，在Rt△ABC 中ÐACB = 90° ， ÐA = 30° ， AB = 10 ， CD 平分ÐACB ，交边 AB 于点 D ， 点 E 为边 AC 上的一个动点，连接 DE ．
（1） 当CD 是四边形 BCED 的对称轴时，求线段CE 的长；
（2） 若△CED 为等腰三角形，求ÐCDE 的度数；
（3） 如图 2，点 P 是 AB 的中点，点Q 在线段CD 上，连接 PQ 、 EQ ，求当 PQ + EQ 取最小时CE 的长．
25. 在△ ABC 中， ÐBAC = 120° ，点 D 为 BC 的中点，点 E 、 F 分别在边 AB 、 AC 上．
（1） 如图 1，若 AB = AC = 6 ， DE ^AB ， DF ^AC ，求 AE + AF 的值；
（2） 如图 2，当ÐEDF = 60° ， AB = AC 时，求证： AE + AF = 1 AC ；
2
3
（3）如图 3，连接 EF ，已知ÐEDF = 90° ， ÐAEF = 55°， ÐDEF = 40° ，若 BE = 6 + 2
，用三条
3
线段 BE 、 EF 、CF 围成的三角形的面积为18 + 6 ，求CF 的长．
2024-2025 学年度第一学期期中质量检测八年级数学试题卷
本试卷共 4 页，25 小题，满分 120 分，考试用时 120 分钟．
一、单选题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 下面四幅作品分别代表“立春”、芒种”、“白露”、“大雪”四个节气，其中是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形的概念，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重 合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，故本选项符合题意；
故选：D．
2. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A. 3，8，4 B. 5，10，6 C. 4，4，8 D. 3，7，11
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了构成三角形的条件 “任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”．根据构成三角形的条件进行求解即可．
【详解】解：A、∵ 3 + 4 < 8 ，
∴3，8，4 不能构成三角形，本选项不符合题意；
第 15页，共 21页
B、∵ 5 + 6 > 10 ，
∴5，10，6 能构成三角形，本选项符合题意；
C、∵ 4 + 4 = 8 ，
∴4，4，8 不能构成三角形，本选项不符合题意；
D、∵ 3 + 7 < 11 ，
∴3，7，11 不能构成三角形，本选项不符合题意； 故选：B．
3. 木工在做完门框后，为防止门框变形，常像如图的方式斜拉两个木条，这样做的数学道理（ ）
A. 两点之间线段最短 B. 矩形的四个角时直角
C. 三角形的稳定性 D. 长方形的对称性
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查三角形稳定性的实际应用，熟悉三角形稳定性的性质是解题的关键．根据三角形具有稳 定性解答．
【详解】解：木工在做完门框后，为防止门框变形，斜拉两个木条，是根据三角形具有稳定性． 故选：C．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. a2 + a3 = 2a5
B. a2 × a3 = a5
C. (-a2 )3 = a6
D. a2 + a3 = a5
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了整式的运算，根据合并同类项法则、同底数幂的乘法、积的乘方及幂的乘方运算法则 逐项判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解： A 、a2 与 a3 不是同类项，不能合并，该选项错误；
B 、 a2 × a3 = a5 ，该选项正确；
C 、(-a2 )3 = -a6 ，该选项错误；
D 、 a2 与 a3 不是同类项，不能合并，该选项错误； 故选： B ．
5. 如图， V ABC 的边 BC 上的高是（ ）
A. 线段 AF B. 线段 BD C. 线段 BF D. 线段 BE
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了三角形的高，从一个顶点到其对边的垂线叫作三角形的高，据此即可求解；
【详解】解：由三角形的高的定义可知：线段 AF 是VABC 的边 BC 上的高， 故选：A ．
6. 已知图中的两个三角形全等，则Ð1等于( )
A. 50° B. 58° C. 60° D. 72°
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理；根据全等三角形的性质得出 Ð1 = ÐB ，
ÐA = ÐD = 50°， ÐF = ÐC = 72° ，进而根据三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：如图所示，
QVABC 和VDEF 全等， AC = DF = b ， DE = AB = a ，
\Ð1 = ÐB ， ÐA = ÐD = 50°， ÐF = ÐC = 72° ，
\Ð1 = 180° - ÐD - ÐF = 58° ， 故选：B．
7. 如图，已知OC 平分ÐAOB ，P 是OC 上一点，PH ^ OB 于点 H，Q 是射线OA 上的一个动点，如 PH = 5 ，则 PQ 长的最小值为（ ）
A. 10 B. 5 C. 3 D. 2.5
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的性质，垂线段最短，当 PQ ^ OA 时， PQ 有最小值，利用角平分线的性质可得 PH = PQ = 5 ，即可解答，掌握角平分线的性质定理是解题的关键．
【详解】解：如图，
当 PQ ^ OA 时， PQ 有最小值，
∵ OC 平分ÐAOB ，P 是OC 上一点， PH ^ OB 于点 H， PQ ^ OA ， PH = 5 ，
∴ PH = PQ = 5 ，
∴ PQ 的最小值为 5， 故选：B．
8. 如图，若V ABE≌V ACF ，且 AB = 5，AE = 2 ，则 EC 的长为（ ）
A. 1 B. 2 C. 2.5 D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质， 根据全等三角形对应边相等得到 AC = AB = 5 ， 则
EC = AC - AE = 3 ．
【详解】解：∵V ABE≌V ACF ，
∴ AC = AB = 5 ，
∵ AE = 2 ，
∴ EC = AC - AE = 5 - 2 = 3 ， 故选：D．
9. 如图，在V ABC 中， BE，CE 分别是ÐABC 和ÐACB 的平分线，过点 E 作 DF∥BC 交 AB 于 D， 交 AC 于 F，若 AB = 6，AC = 4 ，则△ADF 周长为（ ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 10
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线和角平分线的性质，先根据已知条件，证明
DF∥BC，ÐABE = ÐDEB，ÐACE = ÐFEC ，从而证明 BD = DF ， CF = EF ，从而求出△ADF 的
周长即可．
【详解】解：∵ BE、CE 分别是ÐABC 和ÐACB 的平分线，
∴ ÐABE = ÐCBE，ÐACE = ÐBCE ，
∵ DF∥BC ，
∴ ÐDEB = ÐCBE，ÐFEC = ÐBCE ，
∴ ÐABE = ÐDEB，ÐACE = ÐFEC ，
∴ BD = DF，CF = EF ，
∴△ADF 的周长= AD + DE + EF + AF
= AD + BD + AF + CF
= AB + AC
= 6 + 4
= 10 ， 故选：D．
10. 如图，在等腰V ABC 中， AB = AC ， AD 是 BC 边上的高，点 E 是高 AD 上任意一点，点 F 是边 AB
上任意一点， AB = 5 ， BC = 6 ， AD = 4 ，则 BE + EF 的最小值是（ ）
7 24
A. 3 B. 5 C. D.
2 5
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判断，等腰三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 如图所示，过点 C 作CH ^ AB 于 H，连接CE ，先证明 AD 是 BC 的垂直平分线得到 BE = CE ，进而推出当 E 、 F 在CH 上时， CE + EF 有最小值，即此时 BE + EF 有最小值，利用等面积法求出CH 的长即可得到答案．
【详解】解：如图所示，过点 C 作CH ^ AB 于 H，连接CE ，
∵ AB = AC ， AD 是 BC 边上的高，
∴ BD = CD ，即 AD 是 BC 的垂直平分线，
∴ BE = CE ，
∴ BE + EF = CE + EF ，
∵ CE + HE ³ CH ，
∴当 E 、 F 在CH 上时， CE + EF 有最小值，即此时 BE + EF 有最小值，
∵ SV ABC
= 1 BC × AD = 1 AB × CH ，
2 2
∴ CH = AD × BC = 4 ´ 6 = 24 ，
AB 5 5
∴ BE + EF 的最小值为 24 ，
5
故选 D．
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分）
11. 在平面直角坐标系中，点(-6, 2) 关于 x 轴对称的点的坐标是 ．
【答案】(-6, -2)
【解析】
【分析】本题考查了关于 x 轴对称点的坐标特点，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据关于 x 轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数即可得到答案．
【详解】解：点(-6, 2) 关于 x 轴对称的点的坐标是(-6, -2)
故答案为： (-6, -2)
12. 如图，在V ABC 中， AB = AC = 10cm ，DE 垂直平分 AB ，垂足为 E，交 AC 于 D，若△DBC 的周长为18cm ，则 BC 的长为 cm ．
【答案】8
【解析】
【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意等量代换思想 的应用．
根据线段垂直平分线的性质可知 AD = BD ，再利用已知条件结合三角形的周长计算即可．
【详解】解：Q △DBC 的周长为18cm ，即 BC + BD + CD = 18cm ，
QDE 垂直平分 AB，
\ AD = BD ，
\ BC + AD + CD = 18cm ，
Q AB = AC = AD + DC = 10cm ，
BC = 18 -10 = 8cm ， 故答案为：8．
13. 如图， ÐACD 是V ABC 的一个外角，若ÐACD = 115°，ÐB = 40° ，则ÐA = ．
【答案】75°
【解析】
【分析】本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是熟记三角形的外角性质并熟练运用．直接利用三 角形的外角性质进行求解即可．
【详解】解：QÐACD 是V ABC 的外角， ÐACD = 115° ， ÐB = 40°，
\ÐA = ÐACD - ÐB = 75°， 故答案为： 75°
14. 已知一个等腰三角形的一边是 6，另一边是 8，则这个等腰三角形的周长是 ．
【答案】 20 或 22 ##22 或 20
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的定义、三角形三边关系，分两种情况：当腰为6 时；当腰长为8 时；结合三角形三边关系进行判断能否组成三角形，进而求出周长即可得解，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
【详解】解：当腰为6 时，三边长分别为6 ， 6 ， 8 ，符合三角形的三边关系，则其周长为6 + 6 + 8 = 20 ； 当腰长为8 时，三边长分别为6 ， 8 ， 8 ，符合三角形的三边关系，则其周长为6 + 8 + 8 = 22 ；
综上所述，这个等腰三角形的周长是 20 或22 ，
故答案为： 20 或22 ．
V DEB V ABC
15. 如图， AD 是V ABC 的中线， DE 是△ABD 的中线．若 S = 3cm2 ，则 S = cm2 ．
【答案】12
【解析】
【分析】本题考查了三角形中线的性质，由三角形中线性质可得 SVDAB = 2SVDEB ，SVABC = 2SVDAB ，据此即可求解，掌握三角形中线的性质是解题的关键．
【详解】解：∵ DE 是△ABD 的中线，
V DAB V DEB
∴ S = 2S = 6cm2 ，
∵ AD 是V ABC 的中线，
V ABC V DAB
∴ S = 2S = 12cm 2 ， 故答案为：12 ．
16. 如图， 已知： AC = BC ， DC = EC ， ÐACB = ÐECD = 90° ， ÐEBD = 38° ， 现有下列结论：
①△BDC≌△AEC ；② BE 平分ÐCBA ；③ BD = AE ；④ AE ^ BD ．其中正确的有 ．（填序号）
【答案】①③④
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识成为 解题的关键．
先证明ÐBCD = ÐACE ，进而可证明VBDC≌VAEC (SAS) ，据此可判断①；由全等三角形的性质得到
ÐDBC = ÐEAC ， BD = AE ，据此可判断③；再根据全等三角形的性质、角的和差、等腰三角形的性质以及等量代换说明ÐABE ¹ ÐEBC ，即可判断②；根据三角形内角和定理可证明ÐBFE = ÐACB = 90° ， 据此可判断④．
【详解】解：∵ ÐACB = ÐECD = 90°，
∴ ÐACB - ÐBCE = ÐECD - ÐBCE ，
\ÐBCD = ÐACE ， 在VBDC 和△AEC 中，
ì AC = BC
í
ïÐBCD = ÐACE ，
î
ïDC = EC
∴ VBDC≌VAEC (SAS) ，故①正确；
\ÐDBC = ÐEAC ， BD = AE ，故③正确；；
Q ÐEBD = ÐDBC + ÐEBC = 38° ，
∴ ÐEBC = 38° - ÐDBC ， ÐEAC + ÐEBC = 38°
\ÐABE + ÐEAB = 90° - 38° = 52° ，
∴ ÐABE = 52° - ÐEAB ，
∵ ÐEAB = ÐCAB - ÐCAE = 45° - ÐCAE = 45° - ÐCBD ，
∴ ÐABE = 52° - 45° + ÐCBD = 7° + ÐCBD
∵ ÐEBC = 38° - ÐDBC ，
∴ ÐABE 不一定等于ÐEBC ，即 BE 不一定平分ÐCBA ，故②错误； 如图：延长 AE 交 BD 于 F，
QÐ3 = Ð4 ， ÐDBC = ÐEAC ，
\ÐBFE = ÐACB = 90° ，
∴ AE ^ BD ，故④正确； 综上，正确的有①③④． 故答案为：①③④．
三、解答题
17. 计算：
（1） 4x2 y × 2xy ；
（2） (3a - 2b )× æ 1 a + b ö ；
ç 3 ÷
è ø
【答案】（1） 8x3 y2
（2） a2 + 7 ab - 2b2
3
【解析】
【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则以及运算顺序是解此题的关键．
（1） 根据单项式乘单项式的运算法则计算即可得解；
（2） 利用多项式乘以多项式的运算法则计算即可得解.
第 27页，共 21页
【小问 1 详解】
解： 4x2 y × 2xy = 8x3 y2 ；
【小问 2 详解】
解： (3a - 2b )× æ 1 a + b ö
ç 3 ÷
è ø
= a2 - 2 ab + 3ab - 2b2
3
= a2 + 7 ab - 2b2 .
3
18. 已知一个多边形的边数为 n ，若这个多边形的每个内角都比与它相邻的外角的 4 倍多30° ，求 n 的值．
【答案】 n 的值为12 ．
【解析】
【分析】本题考查了多边形的外角和，内角与外角之间的关系，根据这个多边形的每个内角都比与它相邻的外角的 4 倍多30° ，设多边形的相邻的外角为 x ，由题意得 4x + 30° + x = 180°，求出 x ，再根据多边形的边数“ n = 360° ¸ 每一个外角”即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：设多边形的相邻的外角为 x ， 由题意得 4x + 30° + x = 180°，
解得： x = 30°，
∴ n = 360° = 12 ，
30°
∴ n 的值为12 ．
19. 已知：如图，点 E 、F 在线段 BD 上， BF = DE ， AF = CE ， AF ∥CE ．求证：△ABF ≌△CDE ．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形全等的判定等知识点，熟练掌握三角形全等的判断条件是 解题的关键．
根据平行线的性质可得ÐAFB = ÐCED ，然后利用SAS 即可得出结论．
【详解】证明：Q AF ∥CE ，
\ÐAFB = ÐCED ， 在△ABF 和VCDE 中，
ìBF = DE
í
ïÐAFB = ÐCED ，
î
ï AF = CE
\VABF ≌VCDE (SAS) ．
20. 如图， V ABC 的三个顶点坐标分别为 A (2, 3) ， B (1,1) ， C (5, 3) ．
（1） 作出V ABC 关于 y 轴对称的图形△A1B1C1 ．
（2） 在 x 轴上找一点 P ，使得 PC + PB 最小，请画图并直接写出点 P 的坐标．
【答案】（1）见解析 （2）点 P 的位置见解析，(2，0)
【解析】
【分析】本题主要考查了作图—轴对称变换、坐标与图形、最短路径等知识点，找到关于 x 轴、y 轴的对称点是解题的关键．
（1） 先确定 A、B、C 关于 y 轴的对称点 A1、B1、C1 ，然后顺次连接即可；
（2） 作 B 点关于 x 轴对称的对称点 B2 ，连接 B2C ，与 x 轴交点即为 P，然后确定点 P 的坐标即可．
【小问 1 详解】
解：如图： △A1B1C1 即为所求．
【小问 2 详解】
解：如图：作 B 点关于 x 轴对称的对称点 B2 ，连接 B2C ，与 x 轴交点即为 P，点 P 的坐标为(2，0) ．
21. 如图，在V ABC 中， ÐACB = 90° ．
（1） 请用尺规作图，作ÐCAB 的平分线，与 BC 交于点 D；（不要求写作法，保留作图痕迹）
20
（2） 在（1）的条件下，若CD = 2 ， AB = ，求△ABD 的面积．
3
【答案】（1）详见解析
20
（2）
3
【解析】
【分析】本题考查作图-基本作图，角平分线的性质定理，
（1） 根据角平分线的作图步骤画出图形即可；
（2） 根据角平分线的性质和三角形的面积公式即可得到结论．
【小问 1 详解】
解：如图，AD 即为所求．
【小问 2 详解】
解：如图，作 DE ^AB 交 AB 于 E，
∵ AD 平分ÐCAB ， ÐACB = 90° ， DE ^AB
∴ DE = CD = 2．
∴△ABD 的面积为 1 AB × DE = 1 ´ 20 ´ 2 = 20 ．
2 2 3 3
22. 如图，在V ABC 中， AB = AC ，过 BC 的中点 D 作 DE ^AB ， DF ^AC ，垂足分别为 E 、 F ．
（1） 求证： DE = DF ；
（2） 若ÐBDE = 55° ，求ÐBAC 的度数．
【答案】（1）见解析 （2）110 度
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，三角形的内角和，熟练掌握等腰三角形“三线 合一”，“等边对等角”，角平分线上的点到两端距离相等，以及三角形的内角和是 180 度，是解题的关键．
（1） 连接 AD ，根据“三线合一”得出 AD 平分ÐBAC ，再根据角平分线的性质定理，即可求证；
（2） 先根据直角三角形两个锐角互余得出ÐB = 35° ，再根据“等边对等角”得出ÐC = ÐB = 35° ，最后根据三角形的内角和定理，即可求解．
【小问 1 详解】证明：连接 AD ，
Q AB = AC ，D 是 BC 的中点，
\ AD 平分ÐBAC ，
∵ DE ⊥ AB
， DF ^AC ，
\DE = DF ．
【小问 2 详解】 解：∵ DE ⊥ AB ，
\ÐBED = 90°，
QÐBDE = 55° ，
\ÐB = 35° ，
Q AB = AC ，
\ÐC = ÐB = 35° ，
\ÐBAC = 110°．
23. 两个大小不同的等腰直角三角板如图所示放置，如图是由它抽象出的几何图形，B，C，E 在同一条直线上，连结 DC ．
（1） 求证： VABE≌VACD ；
（2） 指出线段 DC 和线段 BE 的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）见解析；
（2） CD ^ BE ，理由见解析．
【解析】
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质可得出 AB = AC 、 AD = AE 、ÐBAC = ÐEAD = 90° ，进而可得出ÐBAE = ÐCAD ，利用全等三角形的判定定理SAS 即可证出VABE≌VACD ；
（ 2 ） 根 据 等 腰 三 角 形 的 性 质 可 得 出 ÐABC = ÐACB = 45° ， 由 全 等 三 角 形 的 性 质 可 得 出
ÐACD Ð =ABC =45 °，再结合ÐBCD Ð =ACB Ð +ACD 即可得出ÐBCD =90°，即CD ^BE ．
本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形，解题的关键是：（1）根据等腰直角三角形的性质结合角的计算找出 AB =AC 、 AD =AE 、ÐBAE Ð =CAD ；（2）根据等腰直角三角形的性质结合全等三角形的性质得出ÐACB =45Ð、°ACD =45 °．
【小问 1 详解】
证明：VQABC 和V ADE 是等腰直角三角形，
\AB =AC ， AD =AE ， ÐBAC Ð =EAD =90 °，
Ð\BAC Ð +CAE Ð =EAD Ð +CAE ， 即ÐBAE Ð =CAD ．
在VABE 和VACD 中，
ì AB = AC
í
ïÐBAE = ÐCAD ，
î
ï AE = AD
\VABE≌VACD(SAS) ；
【小问 2 详解】
解： CD ^ BE ，理由如下：
QV ABC 是等腰直角三角形，
\ÐABC = ÐACB = 45° ．
QV ABE≌V ACD ，
\ÐACD = ÐABC = 45° ，
\ÐBCD = ÐACB + ÐACD = 45° + 45° = 90°，
\CD ^ BE ．
24. 如图 1，在Rt△ABC 中ÐACB = 90° ， ÐA = 30° ， AB = 10 ， CD 平分ÐACB ，交边 AB 于点 D ， 点 E 为边 AC 上的一个动点，连接 DE ．
（1） 当CD 是四边形 BCED 的对称轴时，求线段CE 的长；
（2） 若△CED 为等腰三角形，求ÐCDE 的度数；
（3） 如图 2，点 P 是 AB 的中点，点Q 在线段CD 上，连接 PQ 、 EQ ，求当 PQ + EQ 取最小时CE 的长．
【答案】（1）5 （2） 90° 或67.5° 或 45°
（3） 2.5
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称的性质、等腰三角形的判定和性质、线段的最值等知识点，灵活运用相关 知识是解题的关键．
（1） 由直角三角形的性质可求出 BC ，根据轴对称的性质解答即可；
（2） 分CD = CE 和CD = DE 两种情况，分别根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解即可；
（3） 如图：在CB 上截取CF = CE ，连接 EF 、QF ，然后利用三角形的三边关系说明当 PF ^ BC ，且点 Q 在 PF 上时， PQ + FQ 的值最小；如图：过 P 作 PF ¢ ^ BC ，易得 PF ¢∥ AC ，然后根据轴对称的性质即可解答．
【小问 1 详解】
解：在Rt△ABC 中ÐACB = 90° ， ÐA = 30°， AB = 10 ，
∴ BC = 1 AB = 5， 2
∵ CD 是四边形 BCED 的对称轴时，
\CE = BC = 5 ．
【小问 2 详解】
解：当CD = CE 时， ÐCED = ÐCDE ，
QÐACB = 90° ， CD 平分ÐACB ，
\ÐECD = 45°
QÐCED + ÐCDE + ÐECD = 180° ，
\ÐCDE = 67.5° ，
当CD = DE 时， ÐCED = ÐECD = 45° ，
\ Ð CDE = 90°；
当CE = DE 时， ÐCDE = ÐECD = 45° ． 综上， ÐCDE = 90° 或67.5° 或45°．
【小问 3 详解】
解：如图：在CB 上截取CF = CE ，连接 EF 、QF ，
QCF = CE ， CD 平分ÐACB ，
\CD 垂直平分 EF ，
\ EQ = FQ ，
\ PQ + EQ = PQ + FQ ，
Q PQ + FQ ³ PF ，
∴ PQ + FQ = PF ，且 PF 的值最小时， PQ + FQ 的值最小，此时 PQ + FQ 的值最小，
∴当 PF ^ BC ，且点 Q 在 PF 上时， PQ + FQ 的值最小如图：过 P 作 PF ¢ ^ BC ，
∵点 P 是 AB 的中点， ÐACB = 90° ，
∴ PF ¢∥ AC ， AP = PB = 1 AB = 5 ， ÐF ' PB = 30°
2
\ BF ¢ = 1 PB = 2.5 ，
2
∴ CF ' = BC - BF ' = 2.5 ，
\CE = CF¢ = 5 = 2.5 ．
2
25. 在△ ABC 中， ÐBAC = 120° ，点 D 为 BC 的中点，点 E 、 F 分别在边 AB 、 AC 上．
（1） 如图 1，若 AB = AC = 6 ， DE ^AB ， DF ^AC ，求 AE + AF 的值；
（2） 如图 2，当ÐEDF = 60° ， AB = AC 时，求证： AE + AF = 1 AC ；
2
3
（3）如图 3，连接 EF ，已知ÐEDF = 90° ， ÐAEF = 55°， ÐDEF = 40° ，若 BE = 6 + 2
，用三条
3
线段 BE 、 EF 、CF 围成的三角形的面积为18 + 6 ，求CF 的长．
【答案】（1）3， （2）见解析，
3
（3） 4
【解析】
【分析】（1）连接 AD ，根据等腰三角形的性质和直角三角形的性质即可得到结论；
（2） ） 如图 2 中， 连接 AD ， 作 DM ^AB 于 M ， DN ^AC 于 N ． 证明VDME≌VDNF (ASA) ，
RtVDAM≌RtVDAN (HL)
， 可 得 EM
= FN
， AM = AN
， 推 出
AE + AF = AM - EM + AN + FN = 2AM ，再利用直角三角形 30 度角性质即可解决问题．
3
（3） 延长 ED 到 K ，使得 DK = DE ，连接 EK ，CK ，作 FH ^ CK 于 H ．首先证明 SVCFK = 18 + 6 ，求出 FH ， CH 即可解决问题．
【小问 1 详解】解：连接 AD ，
Q点 D 为 BC 的中点，
\ BD = CD ，
Q AB = AC = 6 ，
\ AD ^ BC ， ÐBAD = 1 ÐBAC = 60° ，
2
\ÐB = ÐC = 30° ，
\ AD = 1 AB = 3 ，
2
∵ DE ⊥ AB ，
\ÐAED = 90°，
\ÐADE = 30° ，
\ AE = 1 AD = 1.5 ，
2
同理， AF = 1.5 ，
\ AE + AF = 3；
【小问 2 详解】
证明：如图 2 中，连接 AD ，作 DM ^AB 于 M ， DN ^AC 于 N ．
Q AB = AC ， BD = CD ，
\ AD ^ BC ， ÐBAD = ÐCAD = 1 ÐBAC = 60° ，
2
Q DM ^ AB ， DN ^AC ，
\ÐAMD = ÐAND = 90° ， DM = DN ，
∴ ÐADM = 90° - ÐBAD = 30°
\ÐMDN = 60° ，
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