资源描述
2024-2025 学年广东省广州二中八年级（上）期中数学试卷
一．选择题（每小题 3 分，共 30 分）
1. 以下十二生肖的简笔画中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列长度的三条线段能组成三角形的是( )
A. 5cm 2cm 3cm B. 5cm 2cm 2cm C. 5cm 2cm 4cm D. 5cm 12cm 6cm
3. 如图，表示V ABC 的 AB 边上的高的图形是（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，在V ABC 中， AB = AC ， AD 是ÐBAC 的平分线，若 BD = 5 ，则CD 等于（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
5. 如图所示，AB = AC, AD = AE, ÐBAC = ÐDAE, Ð1 = 25°, Ð2 = 30° ，且点 B 、D 、E 在同一直线上， 则Ð3 = （ ）
A. 60° B. 55° C. 50° D. 无法计算
6. 如图，工人师傅砌门时，为使长方形门框 ABCD 不变形，常用木条 EF 将其固定，这种做法的依据是（ ）
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A. 两点之间线段最短 B. 垂线段最短
C. 两点确定一条直线 D. 三角形具有稳定性
7. 如图，锐角三角形 ABC 中，直线 l 为 BC 的垂直平分线，射线 m 平分∠ABC，l 与 m 相交于 P 点．若∠A
＝60°，∠ACP＝24°，则∠ABP 等于（ ）
A 24° B. 30° C. 32° D. 42°
8. 点 D、E 分别在线段 AB、AC 上，CD 与 BE 相交于点 O，已知 AE＝AD，添加以下哪一个条件不能判定
△ABE≌△ACD（ ）
A. ∠B＝∠C B. ∠BEA＝∠CDA C. BE＝CD D. AB＝AC
9. 如图，Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD 是 AB 边的中线，AE 平分∠CAB，CF⊥AB，下列结论一定成立的是（ ）
①△ACD 与△BCD 的面积相等；②∠ACF＝∠B；③△ACE≌ △CFD；④∠CEG＝∠CGE．
A. ①② B. ②③ C. ①③④ D. ①②④
10. 如图， V ABC 是等边三角形，D 是线段 BC 上一点（不与点 B，C 重合），连接 AD ，点 E，F 分别在线段 AB, AC 的延长线上，且 DE = DF = AD ，点 D 从 B 运动到 C 的过程中，V CDF 周长的变化规律是
（ ）
A. 不变 B. 一直变小 C. 先变大后变小 D. 先变小后变大
二．填空题（每小题 3 分，共 18 分）
11. 在平面直角坐标系中，点(-3,1) 关于 x 轴对称的点的坐标是 ．
12. 图中 x 的值为 ．
13. 若等腰三角形的周长为 10cm，其中一边长为 4cm，则该等腰三角形的底边 是 cm．
14. 如图，将含30° 角的直角三角板 ABC 放在平行线 a 和 b 上，ÐC = 90° ，ÐA = 30° ，若Ð1 = 12° ，则
Ð2 的度数为 ．
15. 如图，在平面直角坐标系中，B (2, 2) ，C (4, -2) ，若 AC = BC ，AC ^ BC ，则点 A 的坐标为 ．
16. 在平面直角坐标系 xOy 中，对于任意点T (m, n) ，将点 T 的“元变化”定义为：当 m > n 时，作点 T
关于 x 轴对称：当 m £ n 时，作点 T 关于 y 轴对称．根据定义，解决问题：
如图，点 P (3, 2) ，点Q (-2,b) ，其中b < -2 ，点 P，Q“元变化”后的对应点是点 P¢ ， Q¢ ．
（1） 直接写出坐标， P¢ ， Q¢ （ Q¢ 用含 b的式子表示）；
（2） 若 PQ¢ = P¢Q ，则 b 的值为 ．
三．解答题（共 72 分）
17. 正多边形的一个外角是72° ，求这个多边形的边数与内角和的度数．
18. 已知：如图，点 A，F，C，D 在同一直线上， AB = DE ， AB ∥ DE ，ÐB = ÐE ．求证： AF = CD ．
19. 如图， V ABC 中， AB = AC ， BD ^ AC,CE ^ AB ．求证： BD = CE ．
20. 如图， ÐAOB = 15° ，点 P 是OA 上一点，点 Q 与点 P 关于OB 对称．
（1） 对称轴OB 是线段QP 的 线；
（2） 用无刻度的直尺和圆规作图：过点 Q 作QM ^ OA 交OA 于点 M；（保留作图痕迹，不写作法）
（3） 连接OQ ，若OP = 6 ，求线段OM 的长．
21. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中， V ABC 的三个顶点的坐标分别是 A (4, 3) ， B (1, 0) ， C (1, 2) ．
（1） 在图中画出V ABC 关于 y 轴对称的V A¢B¢C¢ ，点 A¢ 的坐标为 ；
（2） 在 y 轴上取一点 P，使点 P 到点 B 和点 C 的距离之和最小，则点 P 的坐标为 ；
（3） 如果要使以 B、C、D 为顶点的三角形与V ABC 全等（不与V ABC 重合），直接写出所有符合条件的点 D 坐标为 ．
22. 如图，在V ABC 中， AB = BC ， BD 是中线，延长 BC 至 E，使CE = CD ，若 BD = ED ．
（1） 求证： ÐACB = 2ÐE ；
（2） 求证： V ABC 是等边三角形；
（3） 在△ABD 中，点 P 是边 BD 上的定点，点 M、N 分别是边 AB 、 AD 上的动点．当VPMN 的周长取最小值时，直接写出此时ÐMPN 的度数．
23. 已知：如图 1，点 A 的坐标是(6, 0) ，动点C (0,t ) 在 y 轴上， 0 < t < 6 ，点 D 在线段 AC 上，过点 D
作 BD ^ AC 交 y 轴于点 B，交OA 于点 E．
（1） 当 BE = AC 时，
①求点 B 的坐标；
②连接OD ，求ÐCDO 的度数；
（2） 如图 2，点 H 为第四象限上一动点， CH = CA ， S△COH
= 1 t 2 ，当OH 取得最小值时，求点 H 的坐
2
标．
24. 如图，在V ABC 中， AB = AC ，点 D 为射线 BC 上一点，过点 D 作 DE ^AC 于 E．
（1） 如图 1，当点 D 在边 BC 上，若ÐBAC=40°，求ÐEDC 的度数；
（2） 如图 2，当点 D 在 BC 的延长线上时，记 S△ABC = S1 ，S△ADC = S2 ，AB = m ，AD = n ，当 S1 = k × S2
时， m = k × n ．
①当ÐCDE = 15° 时，求 AD 的值：
ED
②请判断 AB ， AD ， AE 的数量关系，并说明理由．
2024-2025 学年广东省广州二中八年级（上）期中数学试卷
一．选择题（每小题 3 分，共 30 分）
1. 以下十二生肖的简笔画中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查轴对称的知识，解题的关键是掌握轴对称图形的识别，即可．
【详解】如图所示，A、B、D 均不是轴对称图形，
∴C 是轴对称图形， 故选：C．
2. 下列长度的三条线段能组成三角形的是( )
A. 5cm 2cm 3cm B. 5cm 2cm 2cm C. 5cm 2cm 4cm D. 5cm 12cm 6cm
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角形的三边关系进行分析判断．
【详解】解：根据三角形任意两边的和大于第三边，得
A、3＋2＝5，不能组成三角形，不符合题意；
B、2＋2＝4＜5，不能组成三角形，不符合题意； C、4＋2＝6＞5，能够组成三角形，符合题意；
D、5＋6＝11＜12，不能组成三角形，不符合题意． 故选：C．
【点睛】本题考查了能够组成三角形三边的条件，解题的关键是用两条较短的线段相加，如果大于最长的 那条线段就能够组成三角形．
3. 如图，表示V ABC 的 AB 边上的高的图形是（ ）
A. B. C. D.
第 16页，共 28页
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角形的高的定义，即可求解．
【详解】解：A、AD 是 BC 边的中线，故本选项不符合题意；
B、AD 是△BAC 的角平分线，故本选项不符合题意；
C、BD 是 AC 边的高，故本选项不符合题意； D、CD 是 AB 边的高，故本选项符合题意； 故选：D
【点睛】本题考查了三角形的高的定义：熟练掌握从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之 间的线段叫做三角形的高是解题的关键．
4. 如图，在V ABC 中， AB = AC ， AD 是ÐBAC 的平分线，若 BD = 5 ，则CD 等于（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】根据等腰三角形的三线合一的性质可得： AD 为 BC 边上的中线，从而求解．
【详解】解：Q AD 是ÐBAC 的平分线， AB = AC ，
\ AD 为 BC 边上的中线，
\ CD = BD = 5 ． 故选 C．
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，关键是熟练掌握等腰三角形三线合一的性质．
5. 如图所示，AB = AC, AD = AE, ÐBAC = ÐDAE, Ð1 = 25°, Ð2 = 30° ，且点 B 、D 、E 在同一直线上， 则Ð3 = （ ）
A. 60° B. 55° C. 50° D. 无法计算
【答案】B
【解析】
【分析】先通过角的等量代换找到全等三角形的条件，证明两个三角形全等，再利用全等三角形的性质和 三角形外角的性质来求解Ð3 的度数．本题主要考查了全等三角形的判定（ SAS ）与性质，以及三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定条件和外角性质是解题的关键．
【详解】解：QÐBAC = ÐDAE
\ÐBAC -ÐDAC = ÐDAE -ÐDAC ，即ÐBAD = ÐCAE
又Q AB = AC ， AD = AE ，
\VBAD≌VCAE (SAS)
∴ÐABD = Ð2 = 30o
QÐ3 = Ð1+ÐABD ，Ð1 = 25o ，ÐABD = 30o ，
\Ð3 = 25o + 30o = 55o
故选：B．
6. 如图，工人师傅砌门时，为使长方形门框 ABCD 不变形，常用木条 EF 将其固定，这种做法的依据是（ ）
A. 两点之间线段最短 B. 垂线段最短
C. 两点确定一条直线 D. 三角形具有稳定性
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查三角形稳定性的实际应用，三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、
房屋架梁等，根据三角形具有稳定性解答．因此要使一些图形具有稳定的结构．
【详解】解：常用木条 EF 固定长方形门框 ABCD ，使其不变形，这种做法的根据是三角形具有稳定性． 故选：D．
7. 如图，锐角三角形 ABC 中，直线 l 为 BC 的垂直平分线，射线 m 平分∠ABC，l 与 m 相交于 P 点．若∠A
＝60°，∠ACP＝24°，则∠ABP 等于（ ）
A. 24° B. 30° C. 32° D. 42°
【答案】C
【解析】
【分析】根据角平分线定义求出∠ABP＝∠CBP，根据线段的垂直平分线性质得出 BP＝CP，求出∠CBP＝
∠BCP，根据三角形内角和定理得出方程 3∠ABP+24°+60°＝180°，求出方程的解即可．
【详解】解：∵BP 平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠CBP，
∵直线 l 是线段 BC 的垂直平分线，
∴BP＝CP，
∴∠CBP＝∠BCP，
∴∠ABP＝∠CBP＝∠BCP，
∵∠A+∠ACB+∠ABC＝180°，∠A＝60°，∠ACP＝24°，
∴3∠ABP+24°+60°＝180°，
解得：∠ABP＝32°， 故选：C．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理、线段垂直平分线性质、等腰三角形的性质的应用，能求出
∠ABP=∠CBP=∠BCP 是解此题的关键．
8. 点 D、E 分别在线段 AB、AC 上，CD 与 BE 相交于点 O，已知 AE＝AD，添加以下哪一个条件不能判定
△ABE≌△ACD（ ）
A. ∠B＝∠C B. ∠BEA＝∠CDA C. BE＝CD D. AB＝AC
【答案】C
【解析】
【分析】三角形全等条件中必须是三个元素，并且一定有一组对应边相等．在△ABE 和△ACD 中，已知了
AE=AD，公共角∠A，因此只需添加一组对应角相等或 AC=AB 即可判定两三角形全等．
【详解】解：A．由 AE＝AD、∠A＝∠A、∠B＝∠C 可依据“AAS”判定△ABE≌△ACD，此选项不符合题意；
B. 由 AE＝AD、∠A＝∠A、∠BEA＝∠CDA 可依据“ASA”判定△ABE≌△ACD，此选项不符合题意；
C. 由 BE＝CD、AE＝AD、∠A＝∠A 不能判定△ABE≌△ACD，此选项符合题意；
D. 由 AE＝AD、∠A＝∠A、AB＝AC 可依据“SAS”判定△ABE≌△ACD，此选项不符合题意； 故选：C．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
9. 如图，Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD 是 AB 边的中线，AE 平分∠CAB，CF⊥AB，下列结论一定成立的是（ ）
①△ACD 与△BCD 的面积相等；②∠ACF＝∠B；③△ACE≌ △CFD；④∠CEG＝∠CGE．
A. ①② B. ②③ C. ①③④ D. ①②④
【答案】D
【解析】
【分析】利用 AD = DB 和三角形面积公式可对①进行判断；利用等角的余角相等可对②进行判断；根据 AC
和CF 的大小关系和全等三角形的判定方法可对③进行判断；由于ÐCAE = ÐBAE ，ÐACF = ÐB ，则根
据三角形外角性质可对④进行判断．
【详解】解：QÐACB = 90° ， CD 是 AB 边的中线，
\ DA = DB = DC ，
\ SDACD = SDBCD ，所以①成立；
QCF ^ AB ，
\ÐAFC = 90° ，
QÐCAF + ÐACF = 90° ， ÐCAF + ÐB = 90° ，
\ÐACF = ÐB ，所以②成立；
Q AC > CF ，
\DACE≌DCFD 错误，所以③不成立；
Q AE 平分ÐCAB ，
\ÐCAE = ÐBAE ，
QÐCEG = ÐEAB + ÐB ， ÐCGE = ÐACG + ÐCAG ， 而ÐACF = ÐB ，
\ÐCGE = ÐCEG ，所以④成立． 故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的 5 种判定方法，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等， 则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
10. 如图， V ABC 是等边三角形，D 是线段 BC 上一点（不与点 B，C 重合），连接 AD ，点 E，F 分别在
线段 AB, AC 的延长线上，且 DE = DF = AD ，点 D 从 B 运动到 C 的过程中，V CDF 周长的变化规律是
（ ）
A. 不变 B. 一直变小 C. 先变大后变小 D. 先变小后变大
【答案】D
【解析】
【分析】先根据等边三角形的性质可得ÐABC = ÐACB = ÐBAC = 60°，从而可得
ÐEBD = ÐDCF = 120° ，再根据等腰三角形的性质、角的和差可得ÐBAD = ÐE = ÐCDF ，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得 BE = CD ，从而可得△CFD 周长为
CD + CF + DF = CD + BD + AD = BC + AD ，最后根据点到直线的距离即可得出答案．
【详解】QV ABC 是等边三角形，
\ÐABC = ÐACB = ÐBAC = 60° ，
\ÐEBD = ÐDCF = 120° ，
Q DF = AD ，
\ÐCAD = ÐF ，
íÐCDF + ÐF = ÐACB = 60°
又QìÐBAD + ÐCAD = ÐBAC = 60° ，
î
\ÐBAD = ÐCDF ，
QDE = AD ，
\ÐBAD = ÐE ，
\ÐE = ÐCDF ，
ìÐEBD = ÐDCF
í
在VBDE 和△CFD 中， ïÐE = ÐCDF ，
î
ïDE = FD
\VBDE @VCFD (AAS) ，
\ BE = CD ，
则△CFD 周长为CD + CF + DF = CD + BD + AD = BC + AD ，
Q在点 D 从 B 运动到 C 的过程中， BC 长不变， AD 长先变小后变大，其中当点 D 运动到 BC 的中点位置时， AD 最小，
\在点 D 从 B 运动到 C 的过程中， △CFD 周长的变化规律是先变小后变大， 故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、等边三角形的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，正 确找出两个全等三角形是解题关键．
二．填空题（每小题 3 分，共 18 分）
11. 在平面直角坐标系中，点(-3,1) 关于 x 轴对称的点的坐标是 ．
【答案】(-3, -1)
【解析】
【分析】关于 x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得答案．
【详解】解：点(-3,1) 关于 x 轴对称的点的坐标是(-3, -1) 故答案为： (-3, -1) ．
【点睛】本题考查了关于 x 轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于 x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于 y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
12. 图中 x 的值为 ．
【答案】70
【解析】
【分析】本题考查了三角形的外角性质，熟练掌握知识点是解题的关键．根据外角的性质得到 2x° = x° + 70° ， 解方程即可．
【详解】解：由题意得， 2x° = x° + 70° ， 解得： x = 70 ，
故答案为：70．
13. 若等腰三角形的周长为 10cm，其中一边长为 4cm，则该等腰三角形的底边 是 cm．
【答案】2 或 4
【解析】
【分析】已知等腰三角形的周长，与一边长为 4cm，这一边可能为底也可为腰，为此要分类讨论求底边长， 然后进一步根据三角形的三边关系进行分析能否构成三角形．
【详解】等腰三角形的周长为 10cm，其中一边长为 4cm，
当 4cm 为底时，设腰长为 xcm，4+2x=10，x=3cm，3+3>4,能构成等腰三角形， 当 4cm 为腰时，则底为 10-2×4=2cm，4+4>2,能构成等腰三角形
周长为 10cm 时，其中一边长为 4cm，底为 4cm 或 2cm． 故答案为：2 或 4．
【点睛】本题考查等腰三角形的底长问题，掌握等腰三角形的两腰相等的性质，同时注意三角形的三边关 系．
14. 如图，将含30° 角的直角三角板 ABC 放在平行线 a 和 b 上，ÐC = 90° ，ÐA = 30° ，若Ð1 = 12° ，则
Ð2 的度数为 ．
【答案】 42°##42 度
【解析】
【分析】根据三角形的外角性质得出∠3=42°，再根据平行线的性质即可得解．
【详解】解：如图，AB 与直线 a 相交于点 M，
∵∠1=∠AMN，∠1=12°，
∴∠AMN=12°，
∵∠A=30°，
∴∠3=∠A+∠AMN=42°，
∵ a / /b ，
∴∠2=∠3=42°； 故答案为：42°
【点睛】此题考查了三角形的外角性质，平行线的性质，熟记“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．
15. 如图，在平面直角坐标系中，B (2, 2) ，C (4, -2) ，若 AC = BC ，AC ^ BC ，则点 A 的坐标为 ．
【答案】(8, 0) 和(0, -4)
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性 质定理是解题的关键．
分两种情况讨论：①如图，过点C 作直线l ∥ x 轴，过 B 作 BF ^ l 于 F ，过A 作 AE ^ l 于 E ，根据余角的
性质得到ÐFBC = ÐACE ，根据全等三角形的性质得到 BF = CE, AE = CF ，由 B(2, 2), C(4, -2) ，得到
BF = 4, CF = 2 ，于是得到 A(8, 0) ；②如图，过点C 作直线l∥y 轴，过 B 作 BF ^ l 于 F ，过A 作 AE ^ l
于 E ，同理得到 A(0, -4) ．
【详解】解：分两种情况讨论：
①如图，过点C 作直线l ∥ x 轴，过 B 作 BF ^ l 于 F ，过A 作 AE ^ l 于 E ，
第 35页，共 28页
\ÐBFC = ÐAEC = ÐACB = 90° ，
\ÐFBC + ÐBCF = ÐBCF + ÐACE = 90° ，
\ÐFBC = ÐACE ， 在V BCF 和VCAE 中，
ìÐBFC = ÐCEA
í
ïÐFBC = ÐACE ，
î
ïBC = AC
\VBCF≌VCAE ( AAS ) ，
\ BF = CE, AE = CF ，
Q B(2, 2), C(4, -2) ，
\ BF = 4,CF = 2 ，
\CE = BF = 4, AE = CF = 2 ，
\ A(8, 0) ；
（2）过点C 作直线l∥y 轴，过 B 作 BF ^ 于 F ，过A 作 AE ^ l 于 E ，
\ÐBFC = ÐAEC = ÐACB = 90° ，
\ÐFBC + ÐBCF = ÐBCF + ÐACE = 90° ，
\ÐFBC = ÐACE ， 在V BCF 和VCAE 中
ìÐBFC = ÐCEA
í
ïÐFBC = ÐACE ，
î
ïBC = AC
\VBCF≌VCAE ( AAS ) ，
\ BF = CE, AE = CF ，
Q B(2, 2), C(4, -2) ，
\ BF = 2,CF = 4 ，
\CE = BF = 2, AE = CF = 4 ，
\ A(0, -4) ，
综上所述，点A 的坐标为(8, 0) 和(0, -4) ， 故答案为： (8, 0) 和(0, -4) ．
16. 在平面直角坐标系 xOy 中，对于任意点T (m, n) ，将点 T 的“元变化”定义为：当 m > n 时，作点 T
关于 x 轴对称：当 m £ n 时，作点 T 关于 y 轴对称．根据定义，解决问题：
如图，点 P (3, 2) ，点Q (-2,b) ，其中b < -2 ，点 P，Q“元变化”后的对应点是点 P¢ ， Q¢ ．
（1） 直接写出坐标， P¢ ， Q¢ （ Q¢ 用含 b 的式子表示）；
（2） 若 PQ¢ = P¢Q ，则 b 的值为 ．
【答案】 ①. (3, -2)
②. (2,b)
③. -3
【解析】
【分析】本题考查了轴对称性质，全等三角形的判定与性质，坐标与图形，难度较大．
（1） 根据定义，结合轴对称性质即可求解；
（2） 连接 P¢Q¢ ，延长 PP¢,QQ¢ 交于点 H，则VPP¢Q¢≌VQQ¢P¢(SSS) ，可证明VPHQ¢≌VQHP¢(AAS)，则 P¢H = Q¢H ，继而得到关于 b 的方程，即可求解．
【详解】解：（1）对于点 P (3, 2) ，可知 3 > 2 ，
∴点 P¢ 为 (3, -2) ，
对于点Q (-2,b) ，其中b < -2 ， 则 -2 < b ，
∴ Q¢(2, b) ，
故答案为： (3, -2) ， (2,b) ；
（2）点 P (3, 2) ，点Q (-2,b) ， Q¢(2, b) ， P¢(3, -2) ， 连接 P¢Q¢ ，延长 PP¢,QQ¢ 交于点 H，如图，
∴ H (3,b)， PP¢ = 4, QQ¢ = 4 ，
∴ PP¢ = QQ¢ ，而 PQ¢ = P¢Q ， P¢Q¢ = Q¢P¢ ，
∴ VPP¢Q¢≌VQQ¢P¢(SSS) ，
∴ Ð1 = Ð2 ，
∵ ÐH = ÐH = 90° ，
∴ VPHQ¢≌VQHP¢(AAS) ，
∴ P¢H = Q¢H ，
∴ 3 - 2 = -2 - b ， 解得： b = -3 ， 故答案为： -3 ．
三．解答题（共 72 分）
17. 正多边形的一个外角是72° ，求这个多边形的边数与内角和的度数．
【答案】5， 540°
【解析】
【分析】本题考查多边形的内角和与外角和，结合已知条件列得正确的方程或算式是解题的关键．根据多边 形的外角和及正多边形的性质求得边数，然后利用多边形的内角和公式列式计算即可．
【详解】解：由题意可得该正多边形的边数为360 ¸ °72 = °5 ， 则其内角和为(5 -2´)180 = °540 °，
即这个正多边形的内角和为540 °．
18. 已知：如图，点 A，F，C，D 在同一直线上， AB =DE ， AB ∥ DE ，ÐB Ð =E ．求证： AF =
CD ．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，还涉及平行线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．利 用SAS 证明△ABC ≌△DEF 即可求证．
【详解】证明：∵ AB ∥ DE ，
∴ ÐA = ÐD ，
∵ AB = DE ， ÐB = ÐE ，
∴△ABC≌△DEF (SAS) ，
∴ AC = DF ，
∴ AF = CD ．
19. 如图， V ABC 中， AB = AC ， BD ^ AC,CE ^ AB ．求证： BD = CE ．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解答本题的关键．根据
AAS 证明△ABD≌△ACE 即可证明 BD = CE ．
【详解】证明：∵ BD ^ AC,CE ^ AB ，
∴ ÐADB = ÐAEC = 90°． 在△ABD 和△ACE 中，
ì ÐA = ÐA
í
ïÐADB = ÐAEC ，
î
ï AB = AC
∴ VABD≌VACE (AAS) ，
∴ BD = CE ．
20. 如图， ÐAOB = 15° ，点 P 是OA 上一点，点 Q 与点 P 关于OB 对称．
（1） 对称轴OB 是线段QP 的 线；
（2） 用无刻度的直尺和圆规作图：过点 Q 作QM ^ OA 交OA 于点 M；（保留作图痕迹，不写作法）
（3） 连接OQ ，若OP = 6 ，求线段OM 的长．
【答案】（1）垂直平分；
3
（2）见解答； （3） 3 ．
【解析】
【分析】本题主要考查作垂线、勾股定理、轴对称的性质、直角三角形的性质等知识点，是理解题意、灵 活运用所学知识是解题的关键．
（1） 结合轴对称的性质可知，对称轴OB 是线段QP 的垂直平分线即可解答；
（2） 根据垂线的作图方法作图即可；
（3） 由题意可得OQ = OP = 6 、ÐPOQ = 2ÐAOB = 30° ，则可得QM = 1 OQ = 3 ，然后利用勾股定理求解
2
即可．
【小问 1 详解】
解：如图：∵点 Q 与点 P 关于OB 对称，
∴对称轴OB 是线段QP 的垂直平分线． 故答案为：垂直平分；
解：如图： QM 即为所求．
【小问 2 详解】
【小问 3 详解】
解：由（1）可知，对称轴OB 是线段QP 的垂直平分线，
∴ OQ = OP = 6，OB ^ PQ
∴△OPQ 为等腰三角形，
∴ ÐPOQ = 2ÐAOB = 30° ，
∴ QM = 1 OQ = 3 ，
2
OQ 2 - QM 2
62 - 32
3
∴.OM = = = 3 ．
21. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中， V ABC 的三个顶点的坐标分别是 A (4, 3) ， B (1, 0) ， C (1, 2) ．
（1） 在图中画出V ABC 关于 y 轴对称的V A¢B¢C¢ ，点 A¢ 的坐标为 ；
（2） 在 y 轴上取一点 P，使点 P 到点 B 和点 C 的距离之和最小，则点 P 的坐标为 ；
（3） 如果要使以 B、C、D 为顶点的三角形与V ABC 全等（不与V ABC 重合），直接写出所有符合条件的
点 D 坐标为 ．
【答案】（1）画图见解析， (-4, 3)
（2）(0,1)
（3） (-2, 3) 或(-2, -1) 或(4, -1)
【解析】
【分析】本题考查作图 - 轴对称变换、轴对称- 最短路线问题、全等三角形的判定，熟练掌握轴对称的性质、全等三角形的判定是解答本题的关键．
（1） 根据轴对称的性质作图，即可得出答案；
（2） 连接 B¢C 交 y 轴于点 P ，则点 P 即为所求，即可得出答案；
（3） 结合全等三角形的判定可确定点 D 的位置，即可得出答案．
【小问 1 详解】
解：如图， V A¢B¢C¢ 即为所求．
由图可得，点 A¢ 的坐标为(-4, 3) ． 故答案为： (-4, 3) ；
【小问 2 详解】
解：连接 B¢C 交 y 轴于点 P ，连接 BP ， 由轴对称性质得 BP = B¢P ，
∵ PB + PC = PB¢ + PC ³ B¢C ，
∴当C, P, B¢ 三点共线时，点 P 到点 B 和点 C 的距离之和最小，
\点 P 的坐标为(0,1)． 故答案为：(0,1)；
【小问 3 详解】
解：如图，点 D1 ， D2 ， D3 均满足题意，
\点 D 的坐标为(-2, 3) 或(-2, -1) 或(4, -1) ．
故答案为： (-2, 3) 或(-2, -1) 或(4, -1) ．
22. 如图，在V ABC 中， AB = BC ， BD 是中线，延长 BC 至 E，使CE = CD ，若 BD = ED ．
（1） 求证： ÐACB = 2ÐE ；
（2） 求证： V ABC 是等边三角形；
（3） 在△ABD 中，点 P 是边 BD 上的定点，点 M、N 分别是边 AB 、 AD 上的动点．当VPMN 的周长取最小值时，直接写出此时ÐMPN 的度数．
【答案】（1）见解答 （2）见解答
（3） 60°
【解析】
【分析】（1）利用等边对等角和三角形外角的性质证明即可；
（2） 先求出ÐACB = 60° ，再利用有一个角等于60° 的等腰三角形是等边三角形证明即可；
（3） 作出VPMN 的周长取最小值时，M , N 的位置，再利用三角形内角和定理及其推论即可求出ÐMPN
的度数．
【小问 1 详解】
证明：∵ CE = CD ，
\ÐCDE = ÐE ，
QÐACB = ÐCDE + ÐE ，
\ÐACB = 2ÐE ．
【小问 2 详解】
证明：∵ AB = BC, BD 是中线，
\ BD ^ AC ，
\ÐBDC = 90°，
\ÐDBC + ÐDCB = 90°，
Q BD = ED ，
\ÐDBC = ÐE ，
\ÐDBC = 1 ÐACB ，
2
\ 1 ÐACB + ÐACB = 90° ，
2
解得： ÐACB = 60° ，
Q AB = BC ，
∴V ABC 是等边三角形；
【小问 3 详解】解： 60° ．
理由：作点 P 关于 AB, AD 的对称点 P1 , P2 ，连接 P1P2 ，分别交 AB, AD 于点 M , N ，连接 PM , PN , MN ，
此时则VPMN 的周长取最小值，
如图，当点 P1, P2 , M , N 共线时， VPMN 的周长 PM + PN + MN = P1M + P2N + MN = P1P2 取最小值，
由题意知ÐABP = 30°， 则ÐBPP1 = 60° ，
\ÐP1PP2 = 120°,ÐP1 + ÐP2 = 60° ，
\ÐMPN = ÐP1PP2 -(ÐP1PM + ÐNPP2 ) = ÐP1PP2 -(ÐP1 + ÐP2 ) = 120° - 60° = 60° ．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，轴对称-最短路线问题，两点之间线段最 短，三角形内角和定理及其推论，掌握相关图形的判定和性质是解题的关键．
23. 已知：如图 1，点 A 的坐标是(6, 0) ，动点C (0,t ) 在 y 轴上， 0 < t < 6 ，点 D 在线段 AC 上，过点 D
作 BD ^ AC 交 y 轴于点 B，交OA 于点 E．
（1） 当 BE = AC 时，
①求点 B 的坐标；
②连接OD ，求ÐCDO 的度数；
（2） 如图 2，点 H 为第四象限上一动点， CH = CA ， S△COH
= 1 t 2 ，当OH 取得最小值时，求点 H 的坐
2
标．
【答案】（1）① (0, -6) ，② 45°
（2） (3, -3)
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，两点之间距离公式，熟练掌握知识点，正确构造全等三角 形时解题的关键．
（1） 利用AAS 证明△ACO ≌△BEO ，即可求解；
（2） 延长 DC 至点 G，使得CG = DE ，连接OG ，证明VOCG≌VOED (SAS) ，得到VGOD 为等腰直角三角形，则ÐCDO = 45° ；
（3） 过点 H 作 HM ^ y 轴于点 M，则ÐCMH = 90° ，则证明 Rt△CMH≌Rt△ACO ，表示出 H (t,
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