资源描述
广州南方学院番禺附属中学
2024-2025 学年第一学期八年级数学期中质量检测
本试卷分选择题和非选择题两部分，共三大题 25 小题，共 6 页，满分 120 分．考试用时 120
分钟．
注意事项：
1. 答题前，考生务必在答题卡上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写自己的姓名、考号、座位号 等相关信息．
2. 选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试卷上．
3. 非选择题答案必须用黑色字迹的钢笔或签字笔写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上， 涉及作图的题目，用 2B 铅笔画图；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，改 动后的答案也不能超出指定的区域；不准使用铅笔（作图除外）、涂改液和修正带．不按以上要求作答的答案无效．
4. 考生必须保持答题卡的整洁．
第一部分 选择题（共 30 分）
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 下列图形不是轴对称图形的是（ ）．
A. B. C. D.
2. 下列长度的线段能组成三角形的是（ ）．
A. 3，4，8 B. 5，6，11 C. 2，11，9 D. 3，6，8
3. 点 P (2，3) 关于 y 轴对称的点的坐标是（ ）
第 4页，共 6页
A. (2，3)
B. (-2，3)
C. (2, -3)
D. (-2，-3)
4. 已知一个多边形的内角和是540° ，则这个多边形是（）．
• 四边形 B. 五边形 C. 六边形 D. 七边形
5. 下列运算中，计算结果正确的是（ ）
A. a2 × a3 = a6
B. a2 + a3 = a5
C. (a2 )3 = a6
D. a8 ¸ a4 = a2
6. 如图，在V ABC 中， ÐABC = 90°， BD 是 AC 边上的高， ÐC = 30° ， AD = 1 ，则 AC = （ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7. 计算： 3a (5a - 2b) = （ ）
• 15a - 6ab
• 8a - 6ab
• 15a2 + 6ab
• 15a2 - 6ab
A. 已知 x2 + kx + 9 是完全平方式，则 k 的值为（ ）
A. 3 B. ±3
C. 6 D. ±6
B. 如图，在V ABC 中，DE 是 AC 的垂直平分线，AE = 5，△ABD 的周长为 12，则V ABC 的周长为（ ）
A. 17 B. 22 C. 29 D. 30
C. 如图，等边V ABC 的边长为 4， AD 是 BC 边上的中线， F 是 AD 边上的动点， E 是 AC 边上一点， 若 AE = 2 ，当 EF + CF 取得最小值时，则ÐECF 的度数为（ ）
A 15° B. 22.5° C. 30° D. 60°
第二部分 非选择题（共 90 分） 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分．）
11 计算： 30 = ．
12. 如图， ÐACD = 75° ， ÐA = 30° ，则∠B= °
13. 若am = 3 ， an = 2 ，则 am-n = ．
A. 将多项式 x3 - x 因式分解，结果是
B. 如图，在 3×3 的网格中，每个网格线的交点称为格点．已知图中 A，B 两个格点，请在图中再寻找另一个格点 C，使△ABC 成为等腰三角形，则满足条件的点 C 有 个．
C. 如图，在Rt△ABC 中， ÐBAC = 90° ， AB = AC ，BF 平分ÐABC ，过点 C 作CF ^ BF 于 F 点， 过 A 作 AD ^ BF 于 D 点．AC 与 BF 交于 E 点，下列四个结论：① BE = 2CF ；② AD = DF ；
1
③ AD + DE =
BE ；④ AB + BC = 2AE ．其中正确结论的序号是 ．
2
三、解答题（本大题共 9 小题，满分 72 分．解答应写出文字说明或演算步骤．）
D. 计算：
（1） 4x2 y × (-xy)3 ；
（2） 24x2 y ¸ 6xy ．
18. 如图， Ð1 = Ð2 ，Ð3=Ð4 ，求证： AB = AC ．
19. 先化简，再求值： (2x + y )2 - (2x + y )(2x - y ) ，其中 x = 1 ， y = 2 ．
8. 如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（ -2 ，3），点 B 的坐标为（-3 ，2），点C 的坐标为（ -1，
1），完成下列问题：
14. 画出V ABC 关于 y 轴对称的△A1B1C1 ；
15. 求V ABC 的面积．
9. 如图，已知V ABC 中，BD 是ÐABC 的角平分线，DE ∥ BC ，交 AB 于点 E，ÐA = 60° ，ÐBDC = 95° ， 求V BDE 各内角的度数．
10. 如图，已知V ABC 中 AB = AC ，在 AC 上有一点 D ，连接 BD ，并延长至点 E，使 AE = AB ．
（1） 画图：作ÐEAC 的平分线 AF , AF 交 DE 于点 F （用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2） 在（1）的条件下，连接CF ，求证： ÐABE = ÐACF ．
11. 如图VABC 是等腰直角三角形， AB = BC ，O 是VABC 内部的一个动点，VOBD 是等腰直角三角形，
OB = BD ．
20. 求证： AO = CD ；
21. 若VCOD 是等腰三角形， ÐAOC = 140° ，求ÐAOB 的度数．
12. 如图①是一个长为 4b ，宽为 a 的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成如图②的正方形．
（1） 由图②可以直接写出(a + b)2 ， (a - b)2 ， ab 之间的一个等量关系式是 ；
（2） 根据（1）中的结论，解决下列问题： 3x + 2 y = 8 ， xy = 2 ，求3x - 2 y 的值；
（3） 两个正方形 ABCD ， AEFG ，如图③摆放，边长分别为 x，y．若 x2 + y2 = 45 ， BE = 3 ，求图中阴影部分的面积和．
25. 如图，点 A(a, 0) ， B(0,b) ，且 a，b 满足(a - 3)2 + 2b - 6 = 0 ．
（1） 如图 1，求V AOB 的面积；
（2） 如图 2，点 C 在线段 AB 上（不与 A、B 重合）移动， AB ^ BD ，且ÐCOD = 45° ，猜想线段 AC 、
BD 、CD 之间的数量关系，并证明你的结论；
（3） 若点 P 为 x 正半轴上异于原点 O 和点 A 的一个动点，连接 PB ，将线段 PB 绕点 P 顺时针旋转90° 至 PE ，直线 AE 交 y 轴于点 Q，当点 P 在 x 正半轴上移动时，线段 BE 和线段 BQ 中哪一条线段长为定值，并求出该定值．
广州南方学院番禺附属中学
2024-2025 学年第一学期八年级数学期中质量检测
本试卷分选择题和非选择题两部分，共三大题 25 小题，共 6 页，满分 120 分．考试用时 120
分钟．
注意事项：
5. 答题前，考生务必在答题卡上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写自己的姓名、考号、座位号 等相关信息．
6. 选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试卷上．
7. 非选择题答案必须用黑色字迹的钢笔或签字笔写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上， 涉及作图的题目，用 2B 铅笔画图；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，改 动后的答案也不能超出指定的区域；不准使用铅笔（作图除外）、涂改液和修正带．不按以上要求作答的答案无效．
8. 考生必须保持答题卡的整洁．
第一部分 选择题（共 30 分）
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
7. 下列图形不是轴对称图形的是（ ）．
C. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互 相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可．
【详解】解：A．不是轴对称图形，故 A 符合题意；
D. 是轴对称图形，故 B 不符合题意；
E. 是轴对称图形，故 C 不符合题意；
F. 是轴对称图形，故 D 不符合题意．
第 11页，共 21页
故选：A．
8. 下列长度的线段能组成三角形的是（ ）．
A. 3，4，8 B. 5，6，11 C. 2，11，9 D. 3，6，8
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形三边关系，根据三角形任意两边之和大于第三边逐个判断即可．
【详解】因为3 + 4 < 8 ，所以这三条线段不能组成三角形，则 A 不符合题意； 因为5 + 6 = 11，所以这三条线段不能组成三角形，则 B 不符合题意；
因为 2 + 9 = 11 ，所以这三条线段不能组成三角形，则 C 不符合题意．
因为3 + 6 > 8 ，所以这三条线段能组成三角形，则 D 符合题意； 故选：D．
9. 点 P (2，3) 关于 y 轴对称的点的坐标是（ ）
A. (2，3)
B. (-2，3)
C. (2, -3)
D. (-2，-3)
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查了关于 x 轴、y 轴对称点的性质，根据“关于 y 轴对称的点，横坐标相反，纵坐标不变”即可求解，正确掌握横纵坐标的关系是解题关键．
【详解】解：点 P (2，3) 关于 y 轴对称的点的坐标是(-2，3) ，
故选：B．
10. 已知一个多边形的内角和是540° ，则这个多边形是（）．
A. 四边形 B. 五边形 C. 六边形 D. 七边形
【答案】B
【解析】
【详解】根据多边形内角和定理，n 边形的内角和公式为(n - 2)180°，因此， 由(n - 2)180° = 540°
得 n=5． 故选 B．
11. 下列运算中，计算结果正确的是（ ）
D. a2 × a3 = a6
E. a2 + a3 = a5
C. (a2 )3 = a6
D. a8 ¸ a4 = a2
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查同底数幂相乘，同底数幂相除，合并同类项，幂的乘方，运用同底数幂相乘运算法则计算并判定 A；运用合并同类项运算法则计算并判定 B；运用同底数幂相除运算法则计算并判定 D；运用幂的乘方运算法则计算并判定 C．
【详解】解：A、 a2 × a3 = a5 ，故此选项不符合题意；
B、 a2 、 a3 不是同类项不能合并，故此选项不符合题意；
C、(a2 )3 = a6 ，故此选项符合题意；
D、a8 ¸ a4 = a4 ，故此选项不符合题意； 故选：C．
12. 如图，在V ABC 中， ÐABC = 90°， BD 是 AC 边上的高， ÐC = 30° ， AD = 1 ，则 AC = （ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查含 30° 角的直角三角形， 在 Rt△ABD 中， 由 30° 角的直角三角形的性质推出
AB = 2 AD = 2 ，在Rt△ABC 中，由30° 角的直角三角形的性质推出 AC = 2AB = 4 ，即可求出 AC 的长．
【详解】解：∵ BD 是 AC 边上的高， ÐC = 30° ， ÐABC = 90°，
∴ ÐADB = 90° ， ÐA = 90° - ÐC = 60° ，
\ÐABD = 90° - ÐA = 30° ，
∵ AD = 1 ，
\ AB = 2AD = 2 ，
QÐABC = 90°, C 30°，
\ AC = 2AB = 4 ． 故选：D．
7. 计算： 3a (5a - 2b) = （ ）
E. 15a - 6ab
F. 8a - 6ab
G. 15a2 + 6ab
H. 15a2 - 6ab
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了单项式乘多项式，熟练掌握运算法则，是解题的关键．根据单项式乘多项式运算 法则，进行计算即可．
【详解】解： 3a (5a - 2b) = 3a ×5a - 3a × 2b = 15a2 - 6ab ．
故选：D．
13. 已知 x2 + kx + 9 是完全平方式，则 k 的值为（ ）
A. 3 B. ±3
【答案】D
C. 6 D. ±6
【解析】
【分析】本题考查了完全平方式，掌握(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 是解题的关键．根据完全平方式的特点即可解答．
【详解】解：∵ x2 + kx + 9 是完全平方式，
∴ x2 + kx + 9 = ( x ± 3)2 = x2 ± 6x + 9 ，即 k = ±6
故选：D．
14. 如图，在V ABC 中，DE 是 AC 的垂直平分线，AE = 5，△ABD 的周长为 12，则V ABC 的周长为（ ）
A. 17 B. 22 C. 29 D. 30
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了垂直平分线的性质．先根据垂直平分线的性质可得 AD = CD, AE = CE = 1 AC ，再
2
根据三角形的周长公式即可得．
【详解】解：Q DE 是 AC 的垂直平分线，
\ AD = CD，AE = CE = 1 AC ，
2
QV ABD 的周长为C△ABD = AB + BD + AD = 12 ， AE = 5，
\DABC 的周长为CDABC = AB + BC + AC
= AB + (BD + CD) + 2 AE
= AB + BD + AD + 2 AE
= C△ ABD + 2AE
= 12 + 2 ´ 5 = 22 ， 故选：B．
15. 如图，等边V ABC 的边长为 4， AD 是 BC 边上的中线， F 是 AD 边上的动点， E 是 AC 边上一点， 若 AE = 2 ，当 EF + CF 取得最小值时，则ÐECF 的度数为（ ）
A 15° B. 22.5° C. 30° D. 60°
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了轴对称- 最短路线问题，等边三角形的性质，等腰三角形的性质等知识点的应用，找 到CM 是解题的关键．作点 E 关于 AD 对称的点 M，连接CM ，与 AD 交于点 F，推出 EF + CF 最小时即为CM ，再根据等边三角形的性质可得结果．
【详解】解：作点 E 关于 AD 对称的点 M，连接CM ，与 AD 交于点 F，
∵V ABC 是等边三角形， AD 是 BC 边上的中线，
∴ AD ^BC ， AD 平分ÐBAC ，
∴M 在 AB 上，
∴ MF = EF ，
∴ EF + CF = MF + CF ³ CM ，
∵两点之间线段最短，
∴当C, F , M 时， EF + CF 最小，且为CM ，
∵ AE = 2 ，
∴ AM = 2 ，即点 M 为 AB 中点，
∵V ABC 是等边三角形，
∴ CM 平分ÐACB ， ÐACB = 60°
∴ ÐECF = 1 ÐACB = 30°，
2
故选：C．
第二部分 非选择题（共 90 分）
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分．）
11. 计算： 30 = ．
【答案】1
【解析】
【分析】本题主要考查了零指数幂运算法则，根据零指数幂运算法则 a0 = 1(a ¹ 0) ．
【详解】解： 30 = 1 ． 故答案为：1．
12. 如图， ÐACD = 75° ， ÐA = 30° ，则∠B= °
【答案】 45
【解析】
【分析】根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和这一性质即可求解．
【详解】Q
ÐACD = ÐA + ÐB ， ÐACD = 75° ， ÐA = 30°
\ ∠B =∠ACD -∠A = 75° - 30° = 45° ．
故答案为： 45
【点睛】本题主要考查三角形的外角的性质，熟悉性质是解题的关键．
13. 若am =3 ， an =2 ，则 am-n = ．
3
【答案】
2
【解析】
【分析】本题主要考查了同底数幂除法逆用，熟练掌握同底数幂除法运算法则是解题的关键．逆用同底数 幂除法运算法则，进行计算即可．
【详解】解：∵ am = 3 ， an = 2 ，
∴ am-n = am ¸ an = 3 ．
2
3
故答案为： ．
2
16. 将多项式 x3 - x 因式分解，结果是
【答案】 x ( x +1)( x -1)
【解析】
【分析】本题主要考查了因式分解，先提公因式，然后用平方差公式，分解因式即可．
【详解】解： x3 - x = x ( x2 -1) = x ( x +1)( x -1) ． 故答案为： x ( x +1)( x -1)．
17. 如图，在 3×3 的网格中，每个网格线的交点称为格点．已知图中 A，B 两个格点，请在图中再寻找另一个格点 C，使△ABC 成为等腰三角形，则满足条件的点 C 有 个．
【答案】8
【解析】
【详解】如图，
AB 是腰长时，红色的 4 个点可以作为点 C， AB 是底边时，黑色的 4 个点都可以作为点 C， 所以，满足条件的点 C 的个数是 4+4=8．
故答案为 8．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握网格结构的特点是解题的关键，要注意 AB 是腰长与底边两种情况讨论求解．
18. 如图，在Rt△ABC 中， ÐBAC = 90° ， AB = AC ，BF 平分ÐABC ，过点 C 作CF ^ BF 于 F 点，
过 A 作 AD ^ BF 于 D 点．AC 与 BF 交于 E 点，下列四个结论：① BE = 2CF ；② AD = DF ；
③ AD + DE = 1 BE ；④ AB + BC = 2AE ．其中正确结论的序号是 ．
2
【答案】①②③
【解析】
【分析】延长 BA、CF，交于点 H，①证明△ABE≌△ACH ，得到 BE = CH ，又可证CH = 2CF ，故可得 BE = 2CF ；②若要得到 AD = DF ，则需要证明△ADF 为等腰直角三角形，需要证明ÐDAF = 45°
即可； ③ 过 E 作 EM ^ AF 交 AF 于点 M ， 证明 V EMF 为等腰直角三角形， EM = MF ， 则有
AD + DE = AM + EM = AM + MF = AF = CF = 1 BE
2
； ④ 过 E 作 EN ^ BC
于 点 N ， 证 明
2AE = AE + EN < AE + EC = AC ，得到 AB + BC > 2AE + BC > 2AE ，即可证明④错误．
【详解】解：延长 BA、CF，交于点 H，
∵ BF ^ CH , ÐCBF = ÐHBF ，
∴ ÐBCH = ÐH ，
∴ BC = BH ，
∴ CH = 2CF ，
∵∠ABE +∠AEB = 90°,∠FCE +∠FEC = 90°,∠AEB =∠FEC ，
∴ ÐABF = ÐACF ，
∵∠BAE =∠CAH = 90°, AB = AC ，
∴ VBAE≌VCAH ( ASA) ，
∴ BE = CH = 2CF ，故结论①正确；
②由①知，F 为CH 中点，又VCAH 为直角三角形， 故 AF = 1 CH = CF = HF ，
2
∴ ÐH = ÐFAH ，
∵ BC = BH , ÐHBC = 45° ，
∴∠H =∠FAH = 1 ´ (180° -∠HBC) = 67.5°，
2
∵ ÐHAC = 90° ，
∴ ÐFAC = 22.5° ，
又 BF 为ÐHBC 的平分线，
∴ ÐHBF = 22.5° ，
∴∠BAD = 90° -∠HBF = 67.5°，
∴ ÐCAD = 90° - 67.5° = 22.5° ， ÐFAD = ÐFAC + ÐDAC = 45° ， 在 RtVADF 中， ÐDAF = ÐDFA = 45° ，
∴ AD = DF ，故结论②正确；
③过 E 作 EM ^ AF 交 AF 于点 M，由②知， AC 为ÐDAF 的平分线，
∴ DE = EM ，
易得 AD = AM ， V EMF 为等腰直角三角形，
∴ EM = MF ，
∴ AD + DE = AM + EM = AM + MF = AF = CF = 1 BE ，故结论③正确；
2
④过 E 作 EN ^ BC 于点 N，可知 AE = EN ，
在 RtV ENC 中， EN < EC ，
∴ 2AE = AE + EN < AE + EC = AC ， 即 2AE < AC ，而 AC = AB ，
∴ 2 AE < AB ，
故 AB + BC > 2AE + BC > 2AE ，
∴ AB + BC ¹ 2AE ，故结论④错误． 故答案为：①②③．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、直角三 角形的性质等知识，正确作出辅助线并证明三角形全等是解题的关键．
三、解答题（本大题共 9 小题，满分 72 分．解答应写出文字说明或演算步骤．）
19. 计算：
（1） 4x2 y × (-xy)3 ；
（2） 24x2 y ¸ 6xy ．
【答案】（1） -4x5 y4
（2） 4x
【解析】
【分析】此题考查了积的乘方，单项式乘以单项式，单项式除以单项式运算，解题的关键是掌握以上运算 法则．
（3） 首先计算积的乘方，然后计算单项式乘以单项式即可；
第 24页，共 21页
（4） 根据单项式除以单项式运算法则求解即可．
【小问 1 详解】
4x2 y × (-xy)3
= 4x2 y × (-x3 y3 )
= -4x5 y4 ；
【小问 2 详解】
24x2 y ¸ 6xy
= 4x ．
18. 如图， Ð1 = Ð2 ，Ð3=Ð4 ，求证： AB = AC ．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法；由Ð3=Ð4 可得ÐADC = ÐADB ，根据ASA 可证△ ADC ≌△ ADB ，即可得证．
【详解】证明：∵Ð3=Ð4 ，
∴180° - Ð4 = 180° - Ð3 ，
\ÐADC = ÐADB ，
Q AD = AD ， Ð1 = Ð2 ，
∴△ADC ≌△ADB (ASA) ，
∴ AB = AC ．
19. 先化简，再求值： (2x + y )2 - (2x + y )(2x - y ) ，其中 x = 1 ， y = 2 ．
【答案】 2 y2 + 4xy ；16
【解析】
【分析】本题主要考查了整式化简求值，先根据完全平方公式和平方差公式进行化简，然后再代入数据进 行计算即可．
【详解】解： (2x + y )2 - (2x + y )(2x - y )
= 4x2 + 4xy + y2 - (4x2 - y2 )
= 4x2 + 4xy + y2 - 4x2 + y2
= 2 y2 + 4xy ，
把 x = 1 ， y = 2 代入得：
原式= 2´ 22 + 4´1´ 2 = 16 ．
22. 如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（ -2 ，3），点 B 的坐标为（-3 ，2），点C 的坐标为（ -1，
1），完成下列问题：
（4） 画出V ABC 关于 y 轴对称的△A1B1C1 ；
（5） 求V ABC 的面积．
【答案】（1）见解析；
3
（2） ．
2
【解析】
【分析】（1）根据轴对称的性质，即可得出△A1B1C1 ；
（2）由正方形的面积减出 3 个直角三角形的面积即可求出V ABC 的面积．
【小问 1 详解】
解：如图： △A1B1C1 即为所求；
【小问 2 详解】
解： S = 2 ´ 2 - 1 ´1´1- 1 ´ 2 ´1- 1 ´ 2 ´1 = 3 ．
V ABC
2 2 2 2
【点睛】本题主要考查了轴对称的性质与作图，格点三角形求面积，割补法是解决问题的关键．
23. 如图，已知V ABC 中，BD 是ÐABC 的角平分线，DE ∥ BC ，交 AB 于点 E，ÐA = 60° ，ÐBDC = 95° ， 求V BDE 各内角的度数．
【答案】ÐEDB = 35° ， ÐEDB = 35° ， ÐBED = 110°
【解析】
【分析】此题考查了三角形内角和定理和外角的性质，平行线的性质和角平分线的概念，解题的关键是掌 握以上知识点．
根据三角形外角的性质求出ÐABD ，然后由角平分线的概念求出ÐCBD = ÐABD = 35° ，然后由平行线
求出ÐEDB = ÐCBD = 35° ，然后利用三角形内角和定理求解即可．
【详解】∵ ÐA = 60°， ÐBDC = 95° ，
∴∠ABD = ∠BDC -∠A = 35°
∵ BD 是ÐABC 的角平分线
∴ ÐCBD = ÐABD = 35°
∵ DE ∥ BC
∴ ÐEDB = ÐCBD = 35°
∴ ÐBED = 180° - ÐEBD - ÐEDB = 110°．
24. 如图，已知V ABC 中 AB = AC ，在 AC 上有一点 D ，连接 BD ，并延长至点 E，使 AE = AB ．
（4） 画图：作ÐEAC 的平分线 AF , AF 交 DE 于点 F （用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（5） 在（1）的条件下，连接CF ，求证： ÐABE = ÐACF ．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查尺规作角平分线，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题 的关键．
（1） 根据尺规作角平分线即可；
（2） 根据题意证明VEAF≌VCAF (SAS) ，即可求解．
【小问 1 详解】
解：如图， AF 即为所求；
【小问 2 详解】
证明：∵ AB = AC,AE = AB ，
∴ ÐE = ÐABE ，
由（1）知： AF 平分ÐEAC ，
∴ ÐEAF = ÐCAF ， 在△EAF 和V CAF 中，
ì AE = AC
í
ïÐEAF = ÐCAF ，
î
ï AF = AF
∴ VEAF≌VCAF (SAS) ，
∴ ÐE = ÐACF ，
∴ ÐABE = ÐACF ．
25. 如图VABC 是等腰直角三角形， AB = BC ，O 是VABC 内部的一个动点，VOBD 是等腰直角三角形，
OB = BD ．
（1） 求证： AO = CD ；
（2） 若VCOD 是等腰三角形， ÐAOC = 140° ，求ÐAOB 的度数．
【答案】（1）见解析 （2）110°或95° 或125°
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，关键是根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定和 性质解答．
（1） 根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可；
（2） 设ÐAOB 的度数为 x，分三种情况进行解答即可．
【小问 1 详解】
∵ VABC 和VOBD 是等腰直角三角形，
∴ AB = BC, OB = BD, ÐABC = ÐOBD = 90° ，
∵ ÐABO + ÐOBC = ÐCBD + ÐOBC ，
∴ ÐABO = ÐCBD ， 在VABO 和VCBD 中
ì AB = BC
í
ïÐABO = ÐCBD ，
î
ïOB = BD
∴ VABO≌VCBD (SAS) ，
∴ AO = CD ；
【小问 2 详解】
解：∵ VOBD 是等腰直角三角形，
∴ ÐBOD = ÐBDO = 45°，
设ÐAOB 的度数为 x，则ÐCDB = x, ÐCDO = x - 45° ，
∵ ÐCOD = 360° - ÐAOC - ÐAOB - ÐBOD = 360° -140° - x - 45° = 175° - x ，
∴ ÐOCD = 180° - ÐCDO - ÐCOD = 50°，
∵ VCOD 是等腰三角形，
①当ÐCDO = ÐCOD 时， x - 45° = 175° - x ，解得： x = 110°，
②当ÐCDO = ÐOCD 时， x - 45° = 50°，解得： x = 95°，
③当ÐCOD = ÐOCD 时，175° - x = 50° ，解得： x = 125°， 故ÐAOB 的度数为110°或95° 或125°．
26. 如图①是一个长为 4b ，宽为 a 的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成如图②的正方形．
（1） 由图②可以直接写出(a + b)2 ， (a - b)2 ， ab 之间的一个等量关系式是 ；
（2） 根据（1）中的结论，解决下列问题： 3x + 2 y = 8 ， xy = 2 ，求3x - 2 y 的值；
（3） 两个正方形 ABCD ， AEFG ，如图③摆放，边长分别为 x，y．若 x2 + y2 = 45 ， BE = 3 ，求图中阴影部分的面积和．
【答案】（1） (a + b)2 - (a - b)2 = 4ab
（2） ±4
27
（3）
2
【解析】
【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，完全平方公式在几何图形中的应用，熟练掌握完全平 方公式是解题的关键．
（1） 根据大正方形的面积等于 4 个小长方形和小正方形面积之和，可得结论；
（2） 利用（1）中关系式得到(3x - 2 y)2 = (3x + 2 y)2 - 24xy ，然后代入数值计算即可；
（3） 先求出 x - y = 3 ， DG = BE = x - y = 3 ，进而根据已知条件得到 2xy = 36 ，则( x + y )2 = 81，进一步得到 x + y = 9 ，再利用三角形的面积公式计算出阴影部分的面积，然后整体代入即可．
【小问 1 详解】
解：图 2 中 4 个小长方形的面积之和等于大正方形面积减去中间小正方形的面积，即
(a + b)2 - (a - b)2 = 4ab ，
∴ (a + b)2 - (a - b)2 = 4ab ，
故答案为： (a + b)2 - (a - b)2 = 4ab ；
【小问 2 详解】
解：∵ (3x + 2 y)2 -(3x - 2 y)2 = 4 ×3x × 2 y = 24xy ，
∴ (3x - 2 y)2 = (3x + 2 y)2 - 24xy ，
∵ 3x + 2 y = 8 ， xy = 2 ，
∴ (3x - 2 y)2 = 82 - 24´ 2 = 64 - 48 = 16 ，
∴ 3x - 2 y = ±4 ；
【小问 3 详解】
解：∵正方形 ABCD ， AEFG 如图 3 摆放，边长分别为 x ， y ， BE = 3 ，
∴ x - y = 3 ， DG = BE = x - y = 3 ，
∴ ( x - y)2 = 9 ，
∴ x2 - 2xy + y2 = 9
∵ x2 + y2 = 45 ，
∴ 2xy = 45 - 9 = 36 ，
∴ x2 + 2xy + y2 = 45 + 36 = 81 ，
∴ ( x + y )2 = 81，
∵ x > 0，y > 0 ，
∴ x + y = 9 ，
∴ S阴影
= SVDCF
+ SVBEF
= 1 ´ 3x + 1 ´ 3y = 3 ( x + y) = 27 ．
2 2 2 2
25. 如图，点 A(a, 0) ， B(0,b) ，且 a，b 满足(a - 3)2 + 2b - 6 = 0 ．
（1） 如图 1，求V AOB 的面积；
（2） 如图 2，点 C 在线段 AB 上（不与 A、B 重合）移动， AB ^ BD ，且ÐCOD = 45° ，猜想线段 AC 、
BD 、CD 之间的数量关系，并证明你的结论；
（3） 若点 P 为 x 正半轴上异于原点 O 和点 A 的一个动点，连接 PB ，将线段 PB 绕点 P 顺时针旋转90° 至 PE ，直线 AE 交 y 轴于点 Q，当点 P 在 x 正半轴上移动时，线段 BE 和线段 BQ 中哪一条线段长为定值，并求出
该定值．
9
【答案】（1）
2
（2） CD = BD + AC ，证明见解析
（3） BQ 是定值，且 BQ = 6
【解析】
【分析】（1）根据非负数的性质得到 a = 3， b = 3 ，进而可得OA 与OB 的长，进一步可求出结果；
（2） VOAB 是等腰直角三角形，将VAOC 绕点O 逆时针旋转90° 得到VOBF ，如图2 ，根据旋转的性质、已知条件和等腰三角形的性质可利用SAS 证明VODF≌VODC ，再根据全等三角形的性质和线段的和差关系即可推出结论；
（3） BQ 是定值，作 EF ^ OA 于 F ，在 FE 上截取 PF = FD ，连接 PD ，如图3 ，证ÐPAB = ÐPDE = 135°，根据余角的性质可得ÐBPA = ÐPED ，进而可根据AAS推出VPBA≌VEPD ，可得 AP = ED ， 从而可得
FE = FA ，然后根据等腰直角三角形的性质和判定即可得到结论．
【小问 1 详解】
解：Q (a - 3)2 + 2b - 6 = 0 ，
\a - 3 = 0 ，
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