资源描述
广东实验中学教育集团 2024-2025 学年第一学期教学质量监测八年级数学
命题：张小利 审题：郭红地 校对：蓝师江
一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分）
1. 下列各种著名的数学曲线中，不是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知一个三角形的两条边长分别为 4 和 6，则第三条边的长度不可能是（ ）
A. 3 B. 5 C. 6 D. 11
3. 下列计算中，正确的是（ ）
第 5页，共 6页
A. t2 × t4 = t8
B. (a2 )3 = a6
C. (-3x)2 = 6x2
D. 3a + 2b = 5ab
4. 如图，已知 AB = AD ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△DAC≌△BAC 的是（ ）
A CB = CD
B. ÐBAC = ÐDAC
C. AD ^ CD ， AB ^ CB D.
ÐBCA = ÐDCA
5. 在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(2, n) 与点 B (m, 4) 关于 x 轴对称，则 m + n 的值为（ ）
A. 0 B. 2 C. -2 D. -6
6. 下面四个图形中，作V ABC 的边 AB 上的高，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
7. 如图是某钢架屋顶的外框示意图，其中 AB = AC ， BC 是横梁， AD 是竖梁．在焊接竖梁 AD 时，只需要找到 BC 的中点 D，就可以保证竖梁 AD 与横梁 BC 垂直，这样操作的数学依据是（ ）
A. 三角形具有稳定性 B. 等腰三角形“三线合一”
C. 垂线段最短 D. 等边对等角
8. 如图，在V ABC 中，DE 是 AC 的垂直平分线，V ABC 的周长为21cm ，△ABD 的周长为12cm ，AE =
（ ）
A. 9cm B. 6cm C. 5.5cm D. 4.5cm
9. 如图，在V ABC 中， ÐC = 70° ，沿图中虚线截去ÐC ，则Ð1+ Ð2 = （ ）
A. 250° B. 220° C. 180° D. 140°
10. 如图，将点 P (-1, 2) 关于第一、三象限的角平分线 l 对称，得到点 P¢ ，则点 P¢ 的坐标为（ ）
A 2,1 B. (2, -1)
C. (1, -2)
D. (-1, -2)
二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分）
11. 若等腰三角形的一个角是100°，则它的一个底角是 ．
æ 1 ö2024
2
12. 计算： ç ÷
è ø
´ 22023 =
13. 若一个多边形的内角和是其外角和的 3 倍，则这个多边形的边数是 ．
14. 如图，在V ABC 中， ÐACB = 90° ， CD ^ BA ， ÐA = 30°， BD = 5 ，则 AB = ．
2
15. 在Rt△ABC 中，ÐA = 90° ，AB = 2 ，AC = 3 + ，点 D 在边 AC 上，将△BCD 沿 BD 翻折得VBED ， 若 DE ^AC ，则CD =
16. 如图， V ABC 的内角ÐABC 和外角ÐACD 的角平分线交于点 O． BO 交 AC 于点 F，过点 O 作
OG ∥ BC 交 BA 延长线于点 E，交 CA 延长线于点 G，连接 AO ，有以下结论：① CG - BE = GE ；
② FG = FO ；③ S△BCO : S△ABO = BC : AB ；④若ÐACO =a，则ÐAOB = 90° -a．其中正确的结论有
三、解答题（本大题共 9 小题，共 72 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 计算
（1） (a3 )2 + a2 × a4
（2） 3x (x2 -1)
18. 如图，在V ABC 和△AED 中， AB = AE ， AC = AD ， ÐBAE = ÐCAD ．求证： BC = ED ．
19. 如图，在V ABC 中， AD 是高， BE 是角平分线，它们相交于点 O，
ÐAOB 的度数．
ÐBAC = 50° ， ÐC = 70° ，求
20. 如图，已知VABC,VABC 的顶点 A(0, -2), B (2, -4),C (4, -1) 均在正方形网格的格点上．
（1） 画出与V ABC 关于 y 轴对称的图形△A1B1C1 ：
（2） B1 的坐标为 ；
（3） V ABC 的面积为 ．
21. 如图，在V ABC 中， ÐBAC = 90° ， AB = AC ，D 为 AC 上一点， AE ^ BD 交 BC 于 E．
（1） 尺规作图：作ÐBAC 的角平分线交 BD 于 F．（保留作图痕迹，不写作法）
（2） 求证： VABF≌VCAE ．
22. “如果一个三角形一边上的中线也是这边上的高线，那么这个三角形是等腰三角形．”你能证明这个命 题吗？请写出已知，求证和证明过程．
已知：如图，
求证：
证明：
23. 在等腰V ABC 中， AB = AC ，点 D 为平面内一点，连 AD、BD、CD ．
（1） 如图 1，若点 D 是V ABC 内一点，且ÐBAD = ÐCAD ，求证： BD = CD ；
（2） 如图 2，若点 D 是V ABC 外一点，且ÐADC + ÐADB = 180°， ÐACD = 60° ，猜想 AB、CD 和 BD
的数量关系，并证明你的猜想．
（3） 如图 2，在（2）的条件下，若 BD = 1， AC = 4 ，求CD 的长．
24. 在等边V ABC 中，AB = 2 ，点 D 是 AC 边上的一点，点 E 在边 BC 的延长线上、且 DB = DE ．连接 DE ．
3
（1） 如图，若 BD ^ AC ， BD =
①求证： CD = CE ，
②若点 M、N 分别是线段 BC、BD 上的动点，连接 MN ，求CN + NM 的最小值．
（2） 若点 D 和点 E 分别是直线 AC 和直线 BC 上的动点， AD = 4 ，将图补充完整，求 BE 的长．
25. 在平面直角坐标系中，已知 A(0, a) 、 B (b, 0) 分别在坐标轴的正半轴上．以 B 为直角顶点， AB 为直角边在第一象限内作等腰直角V ABC ， ÐABC = 90°， AB = BC ．
（1） 如图 1，若 a = 1 ， b = 2 ，则 C 点的坐标为 ；
（2） 如图 2、若点 D 是线段OB 上一点（不与 B 点、O 点重合），且OA = OD ，连接 AD、CD ，求证：
ÐCDB = 45° ．
（3） 如图 3，在（2）的条件下，延长 AD、CB 交于点 E，设 AB、CD 交于点 F，当 DB = 4 时，求四边形 DEBF 的面积．
广东实验中学教育集团 2024-2025 学年第一学期教学质量监测八年级数学
命题：张小利 审题：郭红地 校对：蓝师江
一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分）
1. 下列各种著名的数学曲线中，不是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直 线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形是解题的关键．利用轴对称图形的识别方法分别判 断即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故本选项符合题意； 故选：D．
2. 已知一个三角形的两条边长分别为 4 和 6，则第三条边的长度不可能是（ ）
A. 3 B. 5 C. 6 D. 11
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，设第三边的长度为 x ，由三角形三边关系可得 2 < x < 10 ，即可得解．
【详解】解：设第三边的长度为 x ，
由三角形三边关系可得6 - 4 < x < 6 + 4 ，即 2 < x < 10 ，
∴第三条边的长度不可能是 11，
第 15页，共 23页
故选：D．
3. 下列计算中，正确的是（ ）
A. t2 × t4 = t8
B. (a2 )3 = a6
C. (-3x)2 = 6x2
D. 3a + 2b = 5ab
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方，根据有关知识点逐个计算后判断即可．
【详解】解：A、t 2 × t 4 = t6 ，原式计算错误，不合题意；
B、(a2 )3 = a6 ，原式计算正确，符合题意；
C、(-3x)2 = 9x2 ，原式计算错误，不合题意；
D、3a 和 2b 不是同类项，不能合并，原式计算错误，不合题意； 故选：B．
4. 如图，已知 AB = AD ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△DAC≌△BAC 的是（ ）
A. CB = CD
【答案】D
【解析】
B. ÐBAC = ÐDAC
C. AD ^ CD ， AB ^ CB D.
ÐBCA = ÐDCA
【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，根据全等三角形的判定定理逐项判断即可得解．
【详解】解：A、添加CB = CD ，根据SSS 能判断△DAC≌△BAC ，故此选项不符合题意；
B、添加ÐBAC = ÐDAC ，根据SAS 能判断△DAC≌△BAC ，故此选项不符合题意；
C、添加 AD ^ CD ， AB ^ CB ，根据HL 能判断△DAC≌△BAC ，故此选项不符合题意；
D、添加ÐBCA = ÐDCA ，不能判断△DAC≌△BAC ，故此选项符合题意； 故选：D．
5. 在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(2, n) 与点 B (m, 4) 关于 x 轴对称，则 m + n 的值为（ ）
A. 0 B. 2 C. -2
【答案】C
【解析】
D. -6
【分析】本题考查关于 x 轴对称的点特征，根据关于 x 轴对称的两个点横坐标一样，纵坐标互为相反数得到
m ， n 的值，再代入求解即可．
【详解】解：∵点 A(2, n) 与点 B (m, 4) 关于 x 轴对称，
∴ m = 2 ， n = -4 ，
∴ m + n = 2 - 4 = -2 ， 故选：C．
6. 下面四个图形中，作V ABC 的边 AB 上的高，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查三角形的高，边 AB 上的高是过顶点C 作直线 AB 的垂线段，据此判断即可．
【详解】解：A、边 AC 上的高，不合题意；
B、边 AB 上的高，符合题意；
C、不是V ABC 的高，不合题意； D、边 BC 上的高，不合题意； 故选：B．
7. 如图是某钢架屋顶的外框示意图，其中 AB = AC ， BC 是横梁， AD 是竖梁．在焊接竖梁 AD 时，只需要找到 BC 的中点 D，就可以保证竖梁 AD 与横梁 BC 垂直，这样操作的数学依据是（ ）
A. 三角形具有稳定性 B. 等腰三角形“三线合一”
C. 垂线段最短 D. 等边对等角
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形的性质解答即可，熟练掌握等腰三角形的性质是 解此题的关键．
【详解】解：∵ AB = AC ， BD = CD ，
∴ AD ^BC ，
∴工人师傅这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”， 故选：B．
8. 如图，在V ABC 中，DE 是 AC 的垂直平分线，V ABC 的周长为21cm ，△ABD 的周长为12cm ，AE =
（ ）
A. 9cm B. 6cm C. 5.5cm D. 4.5cm
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由题意可得 AB + BC + AC = 21cm ，AB + BD + AD = 12cm ， 结合线段垂直平分线的性质可得 AC = 9cm ，即可得解．
【详解】解：∵V ABC 的周长为21cm ，
∴ AB + BC + AC = 21cm ，
∵△ABD 的周长为12cm ，
∴ AB + BD + AD = 12cm ，
∵ DE 是 AC 的垂直平分线，
∴ AE = CE ， CD = AD ，
∴ AB + BC + AD = AB + BD + CD = AB + BC = 12cm ，
∴ AC = 9cm ，
∴ AE = 1 AC = 4.5cm ，
2
故选：D．
9. 如图，在V ABC 中， ÐC = 70° ，沿图中虚线截去ÐC ，则Ð1+ Ð2 = （ ）
A. 250° B. 220° C. 180° D. 140°
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了三角形内角和定理，由三角形内角和定理可得Ð3 + Ð4 = 180° - ÐC = 110° ，结合
Ð1 = 180° - Ð3 ， Ð2 = 180° - Ð4 ，计算即可得解．
【详解】解：如图：
，
∵ ÐC = 70° ，
∴ Ð3 + Ð4 = 180° - ÐC = 110° ，
∵ Ð1 = 180° - Ð3 ， Ð2 = 180° - Ð4 ，
∴ Ð1+ Ð2 = 180° - Ð3 +180° - Ð4 = 360° -(Ð3 + Ð4) = 250° ， 故选：A．
10. 如图，将点 P (-1, 2) 关于第一、三象限的角平分线 l 对称，得到点 P¢ ，则点 P¢ 的坐标为（ ）
A. 2,1 B. (2, -1)
C. (1, -2)
D. (-1, -2)
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，坐标与图形，过 P (-1, 2)作 PM ^ y 轴于 M ， 过 P¢ 作 P¢N ^ x 轴于 N ， PP¢ 交第一、三象限的角平分线 l 于A ，证明VMOP≌VNOP¢(AAS) ，得到PM = P¢N = 1， OM = ON = 2 ，即可求出点 P¢ 的坐标．
【详解】解：如图，过 P (-1, 2) 作 PM ^ y 轴于 M ，过 P¢ 作 P¢N ^ x 轴于 N ， PP¢ 交第一、三象限的角平分线 l 于A ，则 PM = 1， OM = 2 ， ÐOMP = ÐONP¢ = 90°，
∵将点 P (-1, 2)关于第一、三象限的角平分线 l 对称，得到点 P¢ ，
∴ OP = OP¢， ÐAOP = ÐAOP¢ ， ÐAOM = ÐAON = 45° ，
∴ ÐAOP - ÐAOM = ÐAOP¢ - ÐAON ，
∴ ÐMOP = ÐNOP¢ ，
∴ VMOP≌VNOP¢(AAS) ，
∴ PM = P¢N = 1， OM = ON = 2 ，
∴ P¢(2, -1) ， 故选：B．
二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分）
11. 若等腰三角形的一个角是100°，则它的一个底角是 ．
【答案】 40°##40 度
【解析】
【分析】本题考查等腰三角形的性质，根据等腰三角形等边对等角求解即可．
【详解】解：∵等腰三角形的一个角是100°，则100°只能是顶角，
∴它的一个底角是180° - 100° = 40° ，
2
故答案为： 40°．
æ 1 ö2024
2
12. 计算： ç ÷
è ø
´ 22023 =
1
【答案】
2
##0.5
【解析】
【分析】本题考查了积的乘方，根据积的乘方法则进行计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
æ 1 ö2024
1 æ 1 ö2023
1 æ 1
ö2023 1 1
【详解】解： ç ÷
´ 22023 = ´ç ÷
´ 22023 = ´ç
´ 2÷ = ´1 = ，
è 2 ø
2 è 2 ø
2 è 2 ø 2 2
1
故答案为： ．
2
13. 若一个多边形的内角和是其外角和的 3 倍，则这个多边形的边数是 ．
【答案】8
【解析】
【分析】根据多边形的内角和定理，多边形的内角和等于（n﹣2）•180°，外角和等于 360°，然后列方程求解即可．
【详解】解：设边数为 n，由题意得，
180（n－2）=360 ´ 3， 解得 n=8．
所以这个多边形的边数是 8． 故答案为：8．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据题意列出方程是解题的关键．
14. 如图，在V ABC 中， ÐACB = 90° ， CD ^ BA ， ÐA = 30°， BD = 5 ，则 AB = ．
【答案】 20
【解析】
【分析】本题考查了直角三角形的性质，先求出ÐA = ÐBCD = 30° ，再根据直角三角形的性质即可得解， 熟练掌握直角三角形的性质是解此题的关键．
【详解】解：∵ CD ^ BA ，
∴ÐBDC=90° ，
∴ ÐBCD + ÐB = 90° ，
∵ ÐACB = 90° ，
∴ ÐA + ÐB = 90° ，
∴ ÐA = ÐBCD = 30° ，
∵ BD = 5 ，
∴ BC = 2BD = 10 ，
∴ AB = 2BC = 20 ， 故答案为： 20 ．
2
15. 在Rt△ABC 中，ÐA = 90° ，AB = 2 ，AC = 3 + ，点D 在边 AC 上，将△BCD 沿 BD 翻折得VBED ， 若 DE ^AC ，则CD =
【答案】1+
2
【解析】
【分析】本题考查了折叠的性质、等腰直角三角形的判定与性质，由折叠的性质可得∠BDC =∠BDE ， 求出△ABD 为等腰直角三角形，得到 AD = AB = 2 ，即可得解．
【详解】解：由折叠的性质可得：∠BDC =∠BDE ，
∵ DE ^AC ，
∴ ÐCDE = ÐADE = 90° ，
∵ ÐCDE + ÐBDC + ÐBDE = 360° ，
∴ ÐBDC = ÐBDE = 135° ，
∴ ÐADB = ÐBDE - ÐADE = 45° ，
∵ ÐA = 90°，
∴△ABD 为等腰直角三角形，
∴ AD = AB = 2 ，
2
2
∴ CD = AC - AD = 1+ ， 故答案为：1+ ．
16. 如图， V ABC 的内角ÐABC 和外角ÐACD 的角平分线交于点 O． BO 交 AC 于点 F，过点 O 作
OG ∥ BC 交 BA 延长线于点 E，交 CA 延长线于点 G，连接 AO ，有以下结论：① CG - BE = GE ；
② FG = FO ；③ S△BCO : S△ABO = BC : AB ；④若ÐACO =a，则ÐAOB = 90° -a．其中正确的结论有
【答案】①③④
【解析】
【分析】对于①，由平行线和角平分线得 GC = GO ，同理可得： EB = EO ，由OG - OE = GE ，则
CG - BE = GE ，故①正确；对于②，条件不足，证明不出，故②错误；对于③，过点O 作
OM ^ BD, ON ^ BE ，垂足分别为 M , N ，由 BO 平分ÐABC ，则OM = ON ，故
1 BC × OM
S△BCO
= 2 = BC ，故③正确；对于④，过点O 作OH ^ AC 于点 H ，可证明 AO 平分ÐCAE ，
S△ABO
1 BA × ON AB
2
则Ð5 = Ð6 ，设Ð1=Ð2=a，则Ð8 = 90° -a，设Ð3 = Ð4 = b，则ÐACB = 180° - 2a，则
ÐEAC = 2b+180° - 2a，故Ð6 = b+ 90° -a， ÐBAC = 2a- 2b，在V ABO 中，
ÐAOB = 180° - ÐOAB - ÐABO = 90° -a，故④正确．
【详解】解：如图，
对于①，∵ CO 平分ÐACD ，
∴ Ð1 = Ð2 ，
∵ OG ∥ BC ，
∴ Ð2 = ÐGOC ，
∴ Ð1 = ÐGOC ，
∴ GC = GO ，
同理可得： EB = EO ，
∵ OG - OE = GE ，
∴ CG - BE = GE ， 故①正确；
对于②，条件不足，证明不出， 故②错误；
对于③，过点O 作OM ^ BD, ON ^ BE ，垂足分别为 M , N ，
∵ BO 平分ÐABC ，
∴ OM = ON ，
1 BC × OM
第 30页，共 23页
∴ S△BCO
= 2 = BC ，
S△ABO
故③正确；
1 BA × ON AB
2
对于④，过点O 作OH ^ AC 于点 H ，
同上可得OM = OH ，
∵ OM = ON ，
∴ ON = OH ，
∵ ON ^ AE ， OH ^ AC ，
∴ AO 平分ÐCAE ，则Ð5 = Ð6 ， 设Ð1=Ð2=a，
设Ð3 = Ð4 = b，
∴ ÐACB = 180° - 2a，
∴ ÐEAC = ÐABC + ÐACB = 2b+180° - 2a，
∴ Ð6 = b+ 90° -a， ÐBAC = 180° - ÐEAC = 2a- 2b，
在V ABO 中，∴ ÐAOB = 180° - ÐOAB - ÐABO = 180° -(b+ 90° -a+ 2a- 2b) - b= 90° -a， 故④正确，
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了角平分线的性质与判定，等腰三角形的判定，三角形的内角和定理，三角形的外角性 质，熟练掌握知识点是解题的关键．
三、解答题（本大题共 9 小题，共 72 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 计算
（1） (a3 )2 + a2 × a4
（2） 3x (x2 -1)
【答案】（1） 2a6
（2） 3x3 - 3x
【解析】
【分析】本题考查了幂的乘方、同底数幂相乘、单项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
（1） 先计算幂的乘方和同底数幂相乘，再合并同类项即可得解；
（2） 根据单项式乘以多项式的运算法则计算即可得解．
【小问 1 详解】
解： (a3 )2 + a2 × a4 = a6 + a6 = 2a6 ；
【小问 2 详解】
解： 3x (x2 -1) = 3x3 - 3x ．
18. 如图，在V ABC 和△AED 中， AB = AE ， AC = AD ， ÐBAE = ÐCAD ．求证： BC = ED ．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用SAS 证明VBAC≌VEAD 即可得证，熟练掌握全等三
角形的判定与性质是解此题的关键．
【详解】证明：∵ ÐBAE = ÐCAD ，
∴ ÐBAE + ÐCAE = ÐCAD + ÐCAE ，即ÐBAC = ÐEAD ， 在VBAC 和VEAD 中，
ì AB = AE
í
ïÐBAC = ÐEAD ，
î
ï AC = AD
∴ VBAC≌VEAD (SAS)，
∴ BC = ED ．
19. 如图，在V ABC 中， AD 是高， BE 是角平分线，它们相交于点 O，
ÐAOB 的度数．
【答案】120°
ÐBAC = 50° ， ÐC = 70° ，求
【解析】
【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义，由三角形内角和定理得出ÐDAC = 20° ，
ÐBAD = 30° ，再求出ÐABC = 60° ，结合角平分线的定义可得ÐABE = 1 ÐABC = 30° ，最后由三角形
2
内角和定理即可得解．
【详解】解：∵在V ABC 中， AD 是高，
∴ ÐADB = ÐADC = 90°，
∵ ÐC = 70° ，
∴ ÐDAC = 90° - ÐC = 20° ，
∴ ÐBAD = ÐBAC - ÐDAC = 30°，
∵ ÐABC = 180° - ÐBAC - ÐC = 60°， BE 是角平分线，
∴ ÐABE = 1 ÐABC = 30° ，
2
∴ ÐAOB = 180° - ÐABE - ÐBAD = 120° ．
20. 如图，已知VABC,VABC 的顶点 A(0, -2), B (2, -4),C (4, -1) 均在正方形网格的格点上．
（1） 画出与V ABC 关于 y 轴对称的图形△A1B1C1 ：
（2） B1 的坐标为 ；
（3） V ABC 的面积为 ．
【答案】（1）见解析 （2） B1 (-2, -4)
（3）5
【解析】
【分析】本题考查了轴对称作图，平面直角坐标系中的点，以及三角形的面积，熟练掌握知识点是解题的 关键．
（1） 分别作出三个顶点关于 y 轴的对称点，再首尾顺次连接即可得；
（2） 根据题意写出 B1 的坐标即可；
（3） 根据割补法即可求解．
【小问 1 详解】
解：如图， △A1B1C1 即为所求；
【小问 2 详解】
解：∵ B (2, -4) ，且V ABC 关于 y 轴对称的图形是△A1B1C1 ，
∴ B1 (-2, -4) ，
故答案为： B1 (-2, -4) ；
【小问 3 详解】
解： V ABC 的面积= 3´ 4 - 1 ´ 2´ 2 - 1 ´ 2´ 3 - 1 ´1´ 4 = 5 ，‘
2 2 2
故答案为：5．
21. 如图，在V ABC 中， ÐBAC = 90° ， AB = AC ，D 为 AC 上一点， AE ^ BD 交 BC 于 E．
（1） 尺规作图：作ÐBAC 的角平分线交 BD 于 F．（保留作图痕迹，不写作法）
（2） 求证： VABF≌VCAE ．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了基本作图—作角平分线、全等三角形的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握以上
知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1） 根据作角平分线的作法作图即可；
（2） 先证明ÐACE = ÐBAF ，再证明ÐABF = ÐCAE ，最后利用ASA 证明VABF≌VCAE 即可．
【小问 1 详解】
解：如图： AF 即为所作，
；
【小问 2 详解】
证明：∵在V ABC 中， ÐBAC = 90° ， AB = AC ，
∴ ÐABC = ÐACB = 45° ， ÐCAE + ÐBAE = 90° ，
∵ AF 平分ÐBAC ，
∴ ÐBAF = 1 ÐBAC = 45°，
2
∴ ÐACE = ÐBAF ，
∵ AE ^ BD ，
∴ ÐABD + ÐBAE = 90° ，
∴ ÐABF = ÐCAE ， 在△ABF 和VCAE 中，
ìÐBAF = ÐACE
í
ïBA = AC ，
î
ïÐABF = ÐCAE
∴ V ABF≌VCAE (ASA) ．
22. “如果一个三角形一边上的中线也是这边上的高线，那么这个三角形是等腰三角形．”你能证明这个命 题吗？请写出已知，求证和证明过程．
已知：如图，
求证：
证明：
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的定义，熟练掌握知识点是解题的关键．利用SAS 证明VADB≌VADC 即可得证．
【详解】解：已知：如图，在V ABC 中， AD ^BC 于点 D， AD 是 BC 边上的中线， 求证： V ABC 是等腰三角形．
证明：∵ AD ^BC ，
∴ ÐADC = ÐADB = 90°，
∵ AD 是 BC 边上的中线，
∴ DB = DC ，
∵ AD = AD ，
∴ V ADB≌V ADC (SAS) ，
∴ AB = AC ，
∴V ABC 是等腰三角形．
23. 在等腰V ABC 中， AB = AC ，点 D 为平面内一点，连 AD、BD、CD ．
（1） 如图 1，若点 D 是V ABC 内一点，且ÐBAD = ÐCAD ，求证： BD = CD ；
（2） 如图 2，若点 D 是V ABC 外一点，且ÐADC + ÐADB = 180°， ÐACD = 60° ，猜想 AB、CD 和 BD
的数量关系，并证明你的猜想．
（3） 如图 2，在（2）的条件下，若 BD = 1， AC = 4 ，求CD 的长．
【答案】（1）见解析 （2） AB = CD + BD ，证明见解析
（3） 3
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运 用是解此题的关键．
（1） 利用SAS 证明△ ABD≌△ ACD 即可得证；
（2） 延长CD 至 H ，使得 DH = BD ，连接 AH ，证明VADH≌VADB (SAS)，得出 AB = AH ，再证明V ACH 为等边三角形，得出 AH = CH = AB ，即可得证；
（3） 由（2）可得 AB = CD + BD ，结合 AB = AC 计算即可得解．
【小问 1 详解】
证明：在△ABD 和V ACD 中，
ì AB = AC
í
ïÐBAD = ÐCAD ，
î
ï AD = AD
∴ VABD≌VACD (SAS)，
∴ BD = CD ；
【小问 2 详解】
解： AB = CD + BD ，证明如下：
如图，延长CD 至 H ，使得 DH = BD ，连接 AH ，
，
∵ ÐADC + ÐADB = 180°， ÐADC + ÐADH = 180° ，
∴ ÐADB = ÐADH ，
∵ DH = BD ， AD = AD ，
∴ VADH≌VADB (SAS)，
∴ AB = AH ，
∵ AB = AC ，
∴ AH = AC ，
∵ ÐACD = 60° ，
∴ V ACH
为等边三角形，
∴ AH = CH = AB ，
∴ AB = CH = CD + DH = CD + BD ；
【小问 3 详解】
解：由（2）可得： AB = CD + BD ，
∵ AC = AB ， AC = 4 ，
∴ CD = AB - BD = 4 - 1 = 3 ．
24. 在等边V ABC 中，AB = 2 ，点 D 是 AC 边上的一点，点 E 在边 BC 的延长线上、且 DB = DE ．连接 DE ．
（1） 如图，若 BD ^ AC ， BD =
3
①求证： CD = CE ，
②若点 M、N 分别是线段 BC、BD 上的动点，连接 MN ，求CN + NM 的最小值．
（2） 若点 D 和点 E 分别是直线 AC 和直线 BC 上的动点， AD = 4 ，将图补充完整，求 BE 的长．
3
【答案】（1）①见解析；②
（2）补全图形见解析， 6
【解析】
【分析】（1）①由等边三角形的性质可得ÐACB = 60° ， ÐCBD = 30° ，由等边对等角可得
ÐCBD = ÐDEB = 30° ，再由三角形外角的定义及性质得出ÐCDE = ÐDEB = 30° ，即可得解；②由等边三角形的性质可得点A 、C 关于 BD 对称，则 AN = CN ，从而可得CN + MN = AN + MN ，即当A 、N 、 M 在同一直线上，且 AM ^ BC 时， CN + MN 的值最小，为 AM ，求出 AM 即可得解；
（2）由等边三角形的性质可得 AC = BC = 2 ， ÐACB = ÐDCE = 60° ，则CD = 2 ，作 DF ^ BE 于 F ， 则ÐDFB = 90° ，由等腰三角形的性质可得 BF = EF ，求出ÐCDF = 90° - ÐDCE = 30° ，得出
CF = 1 CD = 1 ，从而可得 BF = BC + CF = 2 + 1 = 3，即可得解．
2
【小问 1 详解】
①证明：∵V ABC 为等边三角形， BD ^ AC ，
∴ ÐACB = 60° ， ÐCBD = 30° ，
∵ DB = DE ，
∴ ÐCBD = ÐDEB = 30° ，
∵ ÐACB = ÐCDE + ÐDEB ，
∴ ÐCDE = ÐDEB = 30° ，
∴ CD = CE ；
②∵V ABC 为等边三角形， BD ^ AC ，
∴ AD = CD ，
∴点A 、C 关于 BD 对称，
∴ AN = CN ，
∴ CN + MN = AN + MN ，
∴当A 、 N 、 M 在同一直线上，且 AM ^ BC 时， CN + MN 的值最小，为 AM ，如图所示：
，
∵ SV ABC
= 1 BC × AM = 1 AC × BD ，
2 2
3
∴ AM = BD = ，
3
∴ CN + MN 的最小值为 ；
【小问 2 详解】
解：画出图形如图所示：
，
∵V ABC 为等边三角形，
∴ AC = BC = 2 ， ÐACB = ÐDCE = 60° ，
∴ CD = AD - AC = 2 ，
作 DF ^ BE 于 F ，则ÐDFB = 90° ，
∵ DB = DE ，
∴ BF = EF ，
∵ ÐDCE = 60° ，
∴ ÐCDF = 90° - ÐDCE = 30° ，
∴ CF = 1 CD = 1 ，
2
∴ BF = BC + CF = 2 + 1 = 3，
∴ BE = 2BF = 6 ．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质，熟练掌握以上知 识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
25. 在平面直角坐标系中，已知 A(0, a) 、 B (b, 0) 分别在坐标轴的正半轴上．以 B 为直角顶点， AB 为直
角边在第一象限内作等腰直角V ABC ， ÐAB
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