姜启源数学模型第五版-第6章.ppt

差分方程差分方程若干若干离散点离散点上未知变量数值的上未知变量数值的方程方程.描述描述离散离散时间段上客观对象的时间段上客观对象的动态变化动态变化过程过程.现实世界中随时间现实世界中随时间连续变化连续变化的动态过程的的动态过程的近似近似.差分方程与代数方程都是差分方程与代数方程都是离散模型离散模型的数学表述，的数学表述，二者有着二者有着类似的向量类似的向量-矩阵表达形式矩阵表达形式，求解过程，求解过程也存在相互联系也存在相互联系.第六章 差分方程与代数方程模型6.1贷款贷款购购房房6.2管管住嘴迈开住嘴迈开腿腿6.3市场经济市场经济中的物价波动中的物价波动6.4动物动物的繁殖与收获的繁殖与收获6.5信息信息传播传播6.6原子弹原子弹爆炸的能量估计爆炸的能量估计6.7CT技术的图像重建技术的图像重建6.8等级结构等级结构6.9中国中国人口增长预测人口增长预测 第六章 差分方程与代数方程模型每月还每月还多少钱多少钱贷款购贷款购房需房需考虑考虑的问题的问题买多大的房子买多大的房子一共贷多少钱一共贷多少钱网上的网上的房贷计算器房贷计算器轻轻击击鼠标即得鼠标即得输入必要信息输入必要信息贷款购贷款购房房最最简简单的差分方程模型单的差分方程模型6.1贷款贷款购房购房单利和复利单利和复利单利单利万元存万元存5年年定期定期,年利率年利率4.75%,到期后本息到期后本息(本金本金加加利息利息)：10000(1+0.0475 5)=12375元元.两种计算利息的基本方式两种计算利息的基本方式复利复利万万元元存存1年年定期定期,年利率年利率为为3%,到期到期不取则不取则自动自动转存转存,5年年后后本息本息：10000(1+0.03)5=11593元元.利滚利利滚利！复利本息复利本息：(1+r)n单位单位本金本金、同同一利率一利率r、同同一一存期存期n计算单利计算单利和和复利复利：单利本息单利本息：1+nr1+nr零存整取零存整取每月每月固定存额固定存额，约定，约定存款期限，到期存款期限，到期一次支取本息的定期一次支取本息的定期储蓄储蓄.按按单利单利计算计算的的业务业务零存整取零存整取单利和复利单利和复利方式：方式：5元起存，多存不元起存，多存不限限，存期存期1年、年、3年、年、5年年.勤俭节约、科学理财勤俭节约、科学理财例例每月存入每月存入3000元元，存存期期年年（年利率年利率3.5%）零存整取零存整取计算器计算器累计存入金额累计存入金额180,000元元到期到期本息总额本息总额196,012.50元元单利和复利单利和复利按单利计算按单利计算的的业务业务零存整取零存整取a每月每月存入存入金额金额,r 月利率月利率,n 存期存期(月月)xk存入存入k个个月月后的后的本息本息k=n递推至递推至k=a=3000,r=0.035/12,n=12 5(月月)xn=196,012.50 x1=a+arxk=xk-1+a+akr,k2,3,nx2=x1+a+a2rxn=na+ar(1+2+n)等额本息贷款和等额本金等额本息贷款和等额本金贷款贷款房贷房贷计算器计算器的选项的选项贷款类别：贷款类别：商业商业贷款贷款,公积金公积金,组合型组合型年利率不同年利率不同计算方法：根据计算方法：根据贷款贷款总额总额或面积或面积、单价计算单价计算.按揭年数：可选至按揭年数：可选至30年年.选择选择20年年.银行利率银行利率：基准：基准利率、利率上限或利率、利率上限或下限下限.选择商业选择商业贷款贷款的基准的基准利率利率6.55%.还款方式：还款方式：等额本息等额本息还款或还款或等额本金等额本金还还款款.等额本息贷款和等额本金等额本息贷款和等额本金贷款贷款例例1“房房贷贷计算器计算器”选择选择等额本息还等额本息还款款,输入输入:商业商业贷贷款总额款总额100万万元元,期限期限20年年,年利率年利率6.55%.建立建立等额本息等额本息还款方式的还款方式的数学模型数学模型,并并作数值计算作数值计算等额本息还等额本息还款款每月每月归还归还本息本息(本金加利息本金加利息)数数额相同额相同.等额本金还等额本金还款款每月归还每月归还本金本金数数额额相同相同,加上加上所欠本金所欠本金的的利息利息.点击点击“开始开始计算计算”得得:还款总额还款总额1796447.27元元,月均还款月均还款7485.2元元.等额本息还等额本息还款模型款模型a每月每月还款还款金额金额x0 贷款总额贷款总额r 月利率月利率n 贷款期限贷款期限(月月)xk 第第k月还款后尚欠月还款后尚欠金额金额xk=xk-1(1+r)a,k1,2,nk=n递推至递推至k=贷款到期贷款到期时时xn=0 xn=x0(1+r)n a1+(1+r)+(1+r)n-1本月本月欠欠额额=上月上月欠额欠额的本息的本息 还款还款金额金额等额本息还等额本息还款模型款模型A1 还还款总额款总额a每月每月还款还款金额金额x0 贷款总额贷款总额r 月利率月利率n 贷款期限贷款期限(月月)例例1 x0=100(万元万元),r=0.0655/12,n=12 20=240(月月)a=7485.2(元元),A1=1796447.27(元元)与与房房贷计算器贷计算器给给出出的的相同相同例例“房贷计算器房贷计算器”选择选择等额等额本本金金还还款款,输入输入:商业商业贷款总额贷款总额100万元万元,期限期限20年年,年利率年利率6.55%.等额本息贷款和等额本金等额本息贷款和等额本金贷款贷款建立建立等额本金等额本金还款方式的还款方式的数学模型数学模型,并并作作数值计算数值计算.点击点击“开开始计算始计算”得到得到:还款总额还款总额1657729.17元元,每月还款金额每月还款金额由第月的由第月的9625元元逐月递减逐月递减,最后月为最后月为4189.41元元.等额等额本本金金还款模型还款模型x0 贷款总额贷款总额r 月利率月利率n 贷款期限贷款期限(月月)xk 第第k月还月还款金额款金额还还款金额款金额逐月减少逐月减少归还本金归还本金x0/n所产生的所产生的利息利息x0r/n每月每月归还归还本金本金x0/n第第1月月还款金额还款金额k=n递推递推至至k=2等额等额本本金金还款模型还款模型x0 贷款总额贷款总额r 月利率月利率n 贷款期限贷款期限(月月)xk 第第k月还月还款金额款金额A2 还还款总额款总额例例2 x0=100(万元万元),r=0.0655/12,n=12 20=240(月月)x1=9625元元,x240=4189.41(元元),A2=1657729.17(元元).与与房房贷计算器贷计算器给给出出的的相同相同等额本息与等额本金方式的比较等额本息与等额本金方式的比较等额等额本息本息方式方式简单简单，便于安排，便于安排收支收支.等额本金等额本金方式每月方式每月还款金额前期高还款金额前期高于等额本息于等额本息方式方式,后期后期低于等额本息低于等额本息方式方式,适合适合当前收入较高当前收入较高人群人群.等额本息等额本息方式方式还还款总额大款总额大于等额本金于等额本金方式方式.等额等额本息本息方式方式前期前期还款额还款额较较少少,所所欠本息的欠本息的利息逐月利息逐月归还归还,所以所以利息总额利息总额较大较大.例例1例例2：A1=1796447.27(元元),A2=1657729.17(元元).还款还款总额总额A1A2模型适模型适用用于于任何还款任何还款周期周期(半月半月、一季度一季度等等)将将公布的年利率折换为一个还款周期的公布的年利率折换为一个还款周期的利率利率.小结与评注小结与评注贷款购贷款购房两种基本还房两种基本还款款方式方式：等额本息等额本息、等额本金等额本金.要点要点:明确明确利息计算利息计算,列出列出差分方程差分方程,利用利用递推递推关系关系.不同还不同还款款周期一周期一次还款金额和还款总额都次还款金额和还款总额都不一样不一样.周期周期越越短还短还款款总额越小总额越小？测评体重的测评体重的标准标准体重指数体重指数(BMIBodyMassIndex)偏瘦偏瘦正常正常超重超重肥胖肥胖世界卫生组织世界卫生组织标准标准18.518.524.925.029.9 30.0我国参考标准我国参考标准18.518.523.924.027.9 28.0BMI=w/l2，w体重体重(kg),l身高身高(m).例例.l=1.70m,w=63.5kg多数减肥食品达不到多数减肥食品达不到减肥效果，减肥效果，或不能维持或不能维持.通过通过控制饮食控制饮食和和适当运动适当运动，在不伤害身体的，在不伤害身体的前提前提下，达到减轻下，达到减轻体重并得以控制的目的体重并得以控制的目的.标准的身材标准的身材!BMI=226.2管管住嘴迈开住嘴迈开腿腿模型分析模型分析 人体人体通过食物通过食物摄入热量摄入热量,通过代谢通过代谢和运动和运动消耗热量消耗热量.二者二者平衡平衡,体重不变体重不变.分析对分析对热量的吸收和热量的吸收和消耗消耗,建立建立体重变化规律体重变化规律的模型的模型.平衡平衡被破坏则被破坏则体重体重变化变化.减肥减肥计划应以计划应以不伤害身体不伤害身体为为前提前提.增加增加运动量运动量是加速减肥的有效是加速减肥的有效手段手段.以周为时间单位制订减肥计划以周为时间单位制订减肥计划.吸收热量吸收热量不过少不过少、减少体重、减少体重不过快不过快.差分方程模型差分方程模型1）体重增加正比于吸收的体重增加正比于吸收的热量热量,平均平均8000kcal增加体重增加体重1kg.2）代谢代谢引起的体重减少正比于引起的体重减少正比于体重体重,每每周每周每千克千克体重体重消耗消耗200320kcal(因人而异因人而异).3）运动引起的体重减少正比于运动引起的体重减少正比于体重体重,且且与与运动运动形式形式和和运动时间运动时间有关有关.模型模型假设假设 70kg每天每天消耗消耗20003200kcal.4）为了安全与）为了安全与健康健康,每每周吸收周吸收热量热量10000kcal,且每周且每周减少量减少量1000kcal;每每周体重周体重减少减少量量1.5kg.调查资料调查资料食物食物米饭米饭豆腐豆腐青菜青菜苹果苹果瘦肉瘦肉鸡蛋鸡蛋热量热量(kcal/100g)12010020305060140160150运动运动步行步行(4km/h)跑步跑步跳舞跳舞乒乓乒乓自行车自行车(中速中速)游泳游泳(50m/min)热量热量(kcal/h kg)3.17.03.04.42.57.9食物每百克所含热量食物每百克所含热量运动每小时每千克体重消耗热量运动每小时每千克体重消耗热量模型模型假设假设 基本模型基本模型c(k)第第k周吸收周吸收热量热量(kcal)w(k)第第k周周(初初)体重体重(kg),k=1,2,热量转换系数热量转换系数平均平均8000kcal增加增加体重体重1kg 代谢系数代谢系数(因人而异因人而异).由由 和和吸收热量吸收热量 c(k)决定决定体重体重w(k)的的变化变化规律规律.=1/8000(kg/kcal)减肥计划的提出减肥计划的提出某人身高某人身高1.70m,体重体重100kg,BMI高达高达34.6.目前每周目前每周吸收吸收20000kcal热量热量,体重长期未变体重长期未变.制订制订减肥计划使减肥计划使体重减至体重减至75kg(BMI=26)并维持下去并维持下去.1.在正常在正常代谢代谢情况情况下安排一个下安排一个两阶段两阶段计划计划:第一第一阶段：吸收阶段：吸收热量每热量每周减少周减少1000kcal,直至达到直至达到安全安全下限下限10000kcal/周周；2.为为加快进程加快进程而增加运动，重新安排两阶段而增加运动，重新安排两阶段计划计划.3.给给出达到目标后出达到目标后维持体重不变维持体重不变的的方案方案.第二阶段：每周吸收热量保持下限第二阶段：每周吸收热量保持下限,达到减肥目标达到减肥目标.减肥计划的制定减肥计划的制定1.确定某人的确定某人的代谢消耗代谢消耗系数系数 每每周每千克体重消耗周每千克体重消耗20000/100=200kcal每周吸收每周吸收20000kcal,体重体重100kg不变不变.正常代谢消耗相当正常代谢消耗相当弱弱.=1/8000c(k)=c,w(k+1)=w(k)=ww=100c=200002.正常正常代谢情况下代谢情况下的的第一第一阶段阶段计划计划吸收吸收热量热量由由20000kcal每每周减少周减少1000kcal,直至直至达到达到安全安全下限下限10000kcal/周周.c(10)=10000 第第11周周(初初)体重体重w(11)=93.6157kg w(1)=100kg第一第一阶段阶段需需10周周3.正常正常代谢情况下代谢情况下的的第二第二阶段阶段计划计划吸收吸收热量保持下限热量保持下限cmin=10000kcal/周周,体重体重减至减至75kg.w(11+22)=74.9888kg w(11+n)75w(11)=93.6157两阶段计划共两阶段计划共需需32周周.第二第二阶段阶段需需22周周.4.为为加快进程而增加运动加快进程而增加运动t每每周运动周运动时间时间(h)运动运动每小时每千克体重消耗热量每小时每千克体重消耗热量取取 t=40 w(11)=89.3319kg，w(11+12)=74.7388kg 第二第二阶段缩短阶段缩短为为12周周两阶段计划共需两阶段计划共需22周周.(如如每每周步行周步行7h加乒乓加乒乓4h)5.检验检验“每每周体重减少量周体重减少量1.5kg”正常正常代谢代谢增加增加运动运动编程计算编程计算w(k)6.达到达到目标后维持体重不变的方案目标后维持体重不变的方案每周吸收热量保每周吸收热量保持持常数常数c使体重使体重w=75kg不变不变.=15000kcal/周周正常正常代谢代谢c由由20000kcal/周周直接减直接减至至15000,14000,13000,12000时时体重体重w(k)下降曲线下降曲线.c=14000时时w(72)=75kgc=12000时时w(40)=75kg比两比两阶段阶段计划计划的时间的时间长，长，吸收热量突减对吸收热量突减对身体身体不利不利.75kg7.达到达到目标目标体重所体重所需需时间与时间与每周吸收每周吸收热量的热量的关系关系令令目标目标体重体重w*=w(n+1),记记初始体重初始体重w1=w(1)k=1递推至递推至k=nw*=75w1=100c=14000n=70.7707c=12000n=38.7407小结与评注小结与评注减肥减肥科学化、科学化、定量化定量化需要研究需要研究人体体重人体体重变化的规律变化的规律.计算中计算中由于增加运动使由于增加运动使 由由0.025提高提高到到0.03时时(变化变化20%),减肥减肥所需所需时间从时间从32周减少到周减少到22周周(变化变化约约30%)体重变化体重变化对对 相当敏感相当敏感.体重变化体重变化既有普遍规律也既有普遍规律也与与每个人每个人特殊生理特殊生理条件有关，特别是条件有关，特别是代谢消耗系数代谢消耗系数.消费者在消费者在自由竞争自由竞争的的市场经济中市场经济中常会常会遇到遇到商品价格商品价格的的波动波动现象现象.供大于求供大于求价格下降价格下降减少产量减少产量增加产量增加产量价格上涨价格上涨供不应求供不应求商品商品数量数量与与价格价格在在波动波动6.3市场经济中市场经济中物价物价的波动的波动物价物价的波动的波动商品商品数量和价格数量和价格主要由主要由供求供求关系关系决定决定.供求供求平衡平衡供求供求失失衡衡波动的两种形式波动的两种形式振幅逐渐减小，最终趋向振幅逐渐减小，最终趋向平稳平稳.振幅越来越大，振幅越来越大，如如不不干预将导致经济崩溃干预将导致经济崩溃.讨论政府的讨论政府的干预方式干预方式描述描述波动波动现象现象研究趋向平稳的条件研究趋向平稳的条件建立建立数量数量价格价格模型模型商品数量商品数量和价格基本和价格基本稳定稳定.商品数量商品数量和和价格价格出现出现波动波动.模型假设模型假设 xk第第k时段商品数量时段商品数量yk第第k时段商品时段商品价格价格时段时段生产周期生产周期(饲养周期饲养周期、种植周期种植周期)2.yk由由消费者需求消费者需求关系决定关系决定3.xk+1由由生产者供应生产者供应关系决定关系决定4.xk,yk偏离偏离x0,y0不大不大时时,偏离偏离yk-y0与与xk-x0成正比成正比,1.供求关系平衡供求关系平衡商品商品数量数量x0和和价格价格y0保持保持不变不变ykx0,供过于求供过于求yky0 xk+1x0 偏离偏离xk+1-x0与与yk-y0成正比成正比.差分方程模型差分方程模型xk,yk的差分方程组的差分方程组消去消去yk-y0 xk的的差分方程差分方程模型模型yky0 xk+1x0yky0 xk递推至递推至x1x0,y0稳定稳定kkxkx0yky0 xk,ykx0,y0不不稳定稳定差分方程模型差分方程模型模型分析模型分析例例.平衡状态平衡状态：x0=100,y0=10(元元).设设x1=110数量减少数量减少1价格价格上涨上涨0.1元元价格价格上涨上涨1元元下下一时段供应量增加一时段供应量增加5=5=0.1x0,y0稳定稳定xkx0yky0 x0,y0不不稳定稳定例例.平衡状态平衡状态：x0=100,y0=10(元元).设设x1=110=0.1=5=0.24模型分析模型分析xkyk 商品数量减少商品数量减少1单位单位,价格上涨幅度价格上涨幅度 价格上涨价格上涨1单位单位,(下时段下时段)供应的增量供应的增量 消费者对需求的敏感程度消费者对需求的敏感程度 生产者对价格的敏感程度生产者对价格的敏感程度 小小,有利于经济稳定有利于经济稳定 小小,有利于经济稳定有利于经济稳定模型分析模型分析经济稳定经济稳定消费者需求消费者需求关系关系生产者供应生产者供应关系关系f与与g的交点的交点P0(x0,y0)平衡点平衡点一旦一旦xk=x0，则，则yk=y0,且且xk+1=xk+2=x0,yk+1=yk+2=y0 蛛网模型蛛网模型xk第第k时段商品数量时段商品数量yk第第k时段商品时段商品价格价格差分方程模型差分方程模型的图形表示的图形表示xy0y0 x0P0fgx1x2P2y1P1y2P3P4x3y3xy0y0 x0P0fg设设x1偏离偏离x0P0是是稳定平衡点稳定平衡点P0是是不稳定平衡点不稳定平衡点P1P2P3P4xy0y0 x0P0fg蛛网模型蛛网模型斜率取绝对值斜率取绝对值差分方程模型差分方程模型与蛛网模型与蛛网模型的一致的一致x0,y0稳定稳定kkxkx0yky0 xk,ykx0,y0不不稳定稳定差分差分方方程程模型模型蛛网模型蛛网模型P0是稳定平衡点是稳定平衡点P0是不稳定平衡点是不稳定平衡点直线直线f 斜率斜率Kf=直线直线g 斜率斜率Kg=1/1/政府政府的干预办法的干预办法1.使使 尽量小，如尽量小，如=0 以行政手段控制价格不变以行政手段控制价格不变2.使使 尽量小，如尽量小，如 =0靠经济实力控制数量不变靠经济实力控制数量不变xyOy0gfxyOx0gf需求曲线变为水平需求曲线变为水平供应曲线变为竖直供应曲线变为竖直差分方程模型差分方程模型的的推广推广根据当前和根据当前和前一前一时段的时段的价格决定下一时段的产量价格决定下一时段的产量.生产者管理生产者管理水平和素质提高水平和素质提高消费者需求消费者需求关系关系不变不变xk，yk的差分方程组的差分方程组已知已知,及及x0,y0,由由初始值初始值x1,x2递递推地计算推地计算xk,yk.差分方程模型差分方程模型的的推广推广x0,y0不不稳定稳定原模型原模型新模型新模型=0.24,=5不变xkykxkx0yky0=1.21x0,y0稳定稳定=1.21讨论讨论稳定稳定条件条件二阶线性常系数差分方程二阶线性常系数差分方程差分方程模型差分方程模型的的推广推广 1,2特征根特征根特征方程特征方程稳定平衡稳定平衡点点 1,2 1比比原原模型的稳定条件模型的稳定条件放宽了放宽了.差分方程模型差分方程模型的的推广推广特征方程特征方程稳定条件稳定条件(xkx0):1,2 0.0si1,sn=0模型建立模型建立第第1年龄组年龄组(出生出生婴儿婴儿)k+1时段数量时段数量=各年龄组各年龄组k时段繁殖时段繁殖数量之数量之和和.k时段第时段第i年龄组存活的部分年龄组存活的部分到到k+1时段时段演变演变为为第第i+1年龄组年龄组.n个个变量的变量的差分方程组差分方程组已知已知bi,si 及及xi(0)按年龄分组的种群增长模型按年龄分组的种群增长模型k=0,1,2,i=1,2,n-1,k=0,1,2,任意任意时段各时段各年龄组的年龄组的种群种群数量数量模型建立模型建立Leslie矩阵矩阵(矩阵矩阵L)按年龄按年龄分组的种群分组的种群数量数量x(k)的归一化的归一化向量向量，按年龄按年龄分分组组的的分布分布向量向量.Leslie模型模型模型模型求解求解例例.种群分种群分5个个年龄组年龄组,繁殖率繁殖率为为b1=0,b2=0.2,b3=1.8,b4=0.8,b5=0.2,存活率为存活率为s1=0.5,s2=0.8,s3=0.8,s4=0.1,各各年龄组年龄组初始初始数量数量均为均为100只只.求任意求任意时段各年龄组数量时段各年龄组数量x(k)及分布向量及分布向量x*(k).x(0)模型求解模型求解k012342627282930 x1(k)100300220155265393403412423434x2(k)1005015011077190196201206211x3(k)100804012088149152157161165x4(k)10080643296117120122126129x5(k)100108631112121213数量数量向量向量x(k)分布向量分布向量x*(k)x*(k)趋向趋向稳定稳定x(k)仍在增长仍在增长k充分大充分大结果分析结果分析分析分析k充分充分大后大后x(k),x*(k)的变化规律的变化规律稳定状态分析的数学知识稳定状态分析的数学知识 对应对应特征向量特征向量x矩阵矩阵L存在存在最大最大特征根特征根 (正单根正单根)c常数常数满足满足结果分析结果分析k充分充分大大x(k),x*(k)的的特性特性特征向量特征向量x*归一化归一化1.分布向量分布向量稳定分布稳定分布.2.数量数量与初始分布无关与初始分布无关.各年龄组数量各年龄组数量按同一按同一倍数倍数 (固有增长率固有增长率)增减增减.3.=1时时x(k)cx,si等于同一时段相邻年龄组的等于同一时段相邻年龄组的数量比数量比.结果分析结果分析用算用算例验证例验证x(k),x*(k)的的特性特性x*=0.4559,0.2223,0.1734,0.1353,0.0132T模型求解中模型求解中x*(30)近似于近似于x*1.由由L计算得到计算得到=1.0254,2.模型模型求解求解中中xi(30)与与xi(29)之之比比约为约为=1.0254.3.=1.0254比比1略大略大,xi+1(30)与与 xi(30)之之比比近似于近似于si饲养动物种群的持续稳定收获模型饲养动物种群的持续稳定收获模型 同一年龄组种群的同一年龄组种群的收获量收获量在每个时段都在每个时段都相等相等实现方法实现方法:每个每个年龄组每个时段种群的年龄组每个时段种群的增长增长量量=同一同一时段时段的的收获量收获量.控制饲养动物各年龄组控制饲养动物各年龄组的数量的数量,实现实现持续持续稳定收获稳定收获:假定自然环境下饲养动物假定自然环境下饲养动物仍仍服从服从种群增长模型种群增长模型:种群种群数量始终数量始终不变不变.xi(k)第第i年龄组第年龄组第k时段的种群时段的种群数量数量.hi第第i年龄组种群的收获年龄组种群的收获系数系数(收获量收获量与与总量总量之之比比)模型模型建立建立 增长增长量量=收获量收获量种群增长模型种群增长模型实现实现持续稳定持续稳定收获收获种群种群数量数量x(k)=x(对对k不变不变)最大最大特征特征根根为为1模型模型建立建立 持续持续稳定稳定收获收获的最大特征根的最大特征根给定给定bi,si，选择收获选择收获系数系数hi持续稳定收获持续稳定收获种群种群数量数量的稳定分布的稳定分布：模型模型建立建立 的的特征向量特征向量()持续持续稳定稳定收获收获增长增长量量=收获量收获量模型模型求解求解 例例.设设一个种群分成个一个种群分成个年龄组年龄组,各各年龄组的年龄组的繁殖率繁殖率为为b1=0,b2=5,b3=2,存活率为存活率为s1=0.8,s2=0.5.确定确定各年龄组的收获系数以各年龄组的收获系数以实现持续稳定收获实现持续稳定收获.持续稳定持续稳定收获收获的条件的条件1.取取h1=0,h2=0.75,h3=1求种群及收获量按年龄组的稳定分布求种群及收获量按年龄组的稳定分布.持续稳定收获持续稳定收获2.取取h1=0.5,h2=0.5,h3=1模型模型求解求解 满足满足持续持续稳定稳定收获收获条件条件2.出售出售50%的幼畜和成年牲畜及全部老年的幼畜和成年牲畜及全部老年牲畜牲畜.收获量的稳定分布收获量的稳定分布种群种群数量数量的的稳定分布稳定分布1.不不出售出售幼畜幼畜,出售出售75%成年牲畜及全部老年成年牲畜及全部老年牲畜牲畜.1.h1=0,h2=0.75,h3=12.h1=0.5,h2=0.5,h3=11.，2.1.，2.小结与评注小结与评注人口增人口增长长与与动物种群动物种群数量变化规律相同数量变化规律相同,类似类似建立建立离散型女性离散型女性人口人口模型模型Leslie模型模型模型模型基本基本假定假定：种群种群参数参数(繁殖率繁殖率、存活率存活率)只只与与年龄有关年龄有关,与时段无关与时段无关(稳定环境、时间不长稳定环境、时间不长).Leslie矩阵为矩阵为常数矩阵常数矩阵L可用特征根方法作可用特征根方法作稳定性分析稳定性分析.如果种群参数随时段变化如果种群参数随时段变化(L=L(k),模型模型表为表为,无无稳定性分析稳定性分析.6.5信息传播信息传播当今每天当今每天都有大量的、正面或负面的信息，甚都有大量的、正面或负面的信息，甚至谣言，通过各种传统的、近代的、特别是互至谣言，通过各种传统的、近代的、特别是互联网的渠道，在几乎没有限制的人群中联网的渠道，在几乎没有限制的人群中传播传播.考察总考察总人数一定人数一定的的封闭封闭环境环境,开始极开始极少数人得到少数人得到了一了一条信息或制造条信息或制造了一条了一条谣言谣言,然后通过然后通过人与人人与人之间的交流之间的交流在人群中传播在人群中传播,使获知的人越来越多使获知的人越来越多.在合理在合理的简化假设下，的简化假设下，建立数学模型建立数学模型来描述来描述信信息传播的规律，研究其发展息传播的规律，研究其发展趋势趋势.模型假设模型假设1.在在封闭环境中人群的封闭环境中人群的总人数总人数不变不变.2.信息信息通过已获知的人向未获知的人通过已获知的人向未获知的人传播传播.已获知信息已获知信息的人数越的人数越多多(传播人群传播人群),每天每天新获知信息新获知信息的的人数越多人数越多.未获知信息未获知信息的人数越的人数越多多(潜在人群潜在人群),每天每天新新获知信息获知信息的的人数越多人数越多.3.每天每天新获知信息的人数与已获知信息的人数新获知信息的人数与已获知信息的人数和未获知信息的人数的乘积和未获知信息的人数的乘积成正比成正比.模型建立模型建立pk第第k天已获知天已获知信息人数信息人数(传播人群传播人群)，N pk第第k天天未未获知获知信息人数信息人数(潜在人群潜在人群).假设假设：第第k+1天新获知天新获知信息人数信息人数pk+1pk=pk与与pk和和Npk的乘积的乘积成正比成正比.N总总人数人数对于对于潜在潜在人群人群的一位的一位而言而言,每天每天新获知信息人数新获知信息人数的的百分比百分比增量增量.c是反映传播速度的参数，是反映传播速度的参数，c越大传播速度越快越大传播速度越快pk+1pk=cpk(Npk)模型求解模型求解pk+1pk=cpk(Npk)设设N=1000，初始获知信息的，初始获知信息的人数人数p0=10.c=0.0001c=0.0002kkpkpk80天后天后pk才才接近接近Npk第第k天获知天获知信息人数信息人数pk接近接近N只需只需40天天logistic微分方程的离微分方程的离散形式散形式差分方程差分方程logistic微分方程的离散形式微分方程的离散形式差分方程差分方程无法得到无法得到pk的显式表达式的显式表达式关注关注k时时pk的的变化变化一阶一阶非线性非线性差分方程差分方程预备知识预备知识6-1差分方程差分方程的类型、求解及稳定性的类型、求解及稳定性标准标准形式形式为为判断判断x*的的稳定性稳定性计算计算f(x)=bx(1x)在在x*的的导数导数只需讨论只需讨论b3时时xk的变化的变化规律规律(k).xkx*(单调单调收敛收敛)b=1.7b=2.9b=3.15b=3.525b=3.565b=3.7xkx*(振荡振荡收敛收敛)xk的的2个子个子序列趋序列趋向向另外另外2个个平衡点平衡点xk的的4个子序列趋个子序列趋向向另外另外4个平衡点个平衡点xk的的8个子序列趋个子序列趋向向另外另外8个平衡点个平衡点xk不不趋向任何趋向任何平衡平衡点点,出现出现混沌混沌现象现象模型讨论模型讨论平衡点平衡点p*=NcN2,p*稳定稳定b2,xk单调收敛于单调收敛于x*cN1,pk振荡振荡收敛收敛、分岔分岔、混沌混沌2b3,出现出现分岔、分岔、混沌混沌？原方程原方程模型讨论模型讨论设总人数设总人数N固定固定，讨论讨论参数参数c(传播速度传播速度)的上限的上限.传播过程中对于任意的传播过程中对于任意的k都有都有pk+11?pk可以无限接近可以无限接近N.cpk n,方程有无穷多解方程有无穷多解+测量误差和噪声测量误差和噪声在在x和和e满足的满足的最优准则下估计最优准则下估计x代数重建技术代数重建技术(ART)社会系统中需要适当且稳定的等级结构社会系统中需要适当且稳定的等级结构.描述描述等级结构的等级结构的演变过程演变过程，预测未来的结构，预测未来的结构.确定为达到某个理想结构应确定为达到某个理想结构应采取的策略采取的策略.引起等级结构变化的因素：引起等级结构变化的因素：系统内部等级间的系统内部等级间的转移转移：提升和降级：提升和降级.系统内外的系统内外的交流交流：调入和退出：调入和退出(退休、调离等退休、调离等).用马氏链模型描述确定性的转移问题用马氏链模型描述确定性的转移问题(将转移将转移比例视为概率比例视为概率).6.8等级结构等级结构基本模型基本模型a(t)等级结构等级结构等级等级i=1,2,k（如助教、讲师、教授）（如助教、讲师、教授）数量分布数量分布n(t)=(n1(t),n2(t),nk(t)ni(t)t 年属于等级年属于等级i 的人数，的人数，t=0,1,比例分布比例分布 a(t)=(a1(t),a2(t),ak(t)转移矩阵转移矩阵Q=pijk k,pij 是每年从是每年从i 转至转至j 的比例的比例基本模型基本模型ri每年调入每年调入i 的比例的比例(在总调入人数中在总调入人数中)pij 每年从i 转至j 的比例基本模型基本模型基本模型基本模型 基本模型基本模型等级结构等级结构a(t)状态概率状态概率P转移概率矩阵转移概率矩阵用调入比例进行稳定控制用调入比例进行稳定控制问题：给定问题：给定Q,哪些等级结构可哪些等级结构可以用合适的调入比例保持不变以用合适的调入比例保持不变a为稳定结构为稳定结构用调入比例进行稳定控制用调入比例进行稳定控制求稳定结构求稳定结构a=(a1,a2,a3)(a1+a2+a3=1)(0.5,0.5,0)a2=a1a3=1.5a2(0,0.4,0.6)a*B(0,0,1)(0,1,0)(1,0,0)A例例大学教师大学教师(助教、讲师、教授助教、讲师、教授)等级等级i=1,2,3，已知每年转移比例，已知每年转移比例可行域A稳定域B用调入比例进行稳定控制用调入比例进行稳定控制研究稳定域研究稳定域B的结构的结构寻求寻求a aQ 的另一种形式的另一种形式用调入比例进行稳定控制用调入比例进行稳定控制稳定域稳定域B是是k维空间中以维空间中以si为顶点的凸多面体为顶点的凸多面体研究稳定域研究稳定域B的结构的结构例例(0,1,0)(1,0,0)(0,0,1)0.2860.286S1S2S3B稳定域稳定域B是以是以si为顶点的三角形为顶点的三角形等级结构的演变、预测和控制在社会系统中有等级结构的演变、预测和控制在社会系统中有广泛应用广泛应用.讨论总人数和内部转移比例不变情况下讨论总人数和内部转移比例不变情况下,用用调入调入比例比例控制级结构的变化控制级结构的变化.建立等级结构演变过程的建立等级结构演变过程的基本方程基本方程,预测未来预测未来结构结构.各种各种推广推广情况：总人数按照一定比例增长；情况：总人数按照一定比例增长；调入比例有界；调入比例固定而用内部转移比例调入比例有界；调入比例固定而用内部转移比例控制级结构的变化控制级结构的变化.小结与评注小结与评注6.9中国中国人口增长预测人口增长预测中国是一个人口大国，人中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发口问题始终是制约我国发展的关键因素之一展的关键因素之一。2007年公布的国家人口发展战略研究报告提年公布的国家人口发展战略研究报告提出，如果我国人口总量峰值出，如果我国人口总量峰值2033年年前后达到峰值前后达到峰值15亿人亿人左右，全国左右，全国总和生育率应保持在总和生育率应保持在1.8左右左右，过高或过低都不利于人口与经济社会的协调过高或过低都不利于人口与经济社会的协调发展发展.要求从中国实际情况要求从中国实际情况和和人口增长特点人口增长特点出发，参出发，参考考2005年人口抽样年人口抽样数据，数据，建立中国人口增长的数学建立中国人口增长的数学模型，并对模型，并对人口增长中人口增长中短期和长期趋势做出预测短期和长期趋势做出预测。以发表在工程数学学报以发表在工程数学学报2007年增刊年增刊二上二上学学生生优秀优秀论文为论文为基本基本材料材料,介绍介绍建模过程建模过程.近年来近年来中国的人口发展出现了一些中国的人口发展出现了一些新的新的特点特点,如如老龄化老龄化进程加速、出生人口进程加速、出生人口性别比性别比持续升高、持续升高、乡村人口乡村人口城镇化城镇化等等因素因素,影响影响着中国人口的着中国人口的增长增长.中国中国人口增长人口增长预测预测全国全国大学生数学建模竞赛大学生数学建模竞赛2007年年A题题年年龄龄市市镇镇乡乡妇女生育率妇女生育率男性男性比例比例男死男死亡率亡率女性女性比例比例女死女死亡率亡率男性男性比例比例男死男死亡率亡率女性女性比例比例女死女死亡率亡率男性男性比例比例男死男死亡率亡率女性女性比例比例女死女死亡率亡率市市镇镇乡乡00.466.380.46.080.569.10.48 10.790.65 13.970.54 18.55 10.460.840.390.760.580.930.470.540.651.450.511.96 20.410.580.340.050.550.580.440.40.651.160.511.31 30.450.560.390.370.580.570.470.420.650.730.510.66 200.690.590.740.060.520.730.510.280.531.910.530.8229.0168.2395.01210.690.430.760.260.471.310.530.420.491.750.520.7848.17 113.45150.84220.730.650.780.230.511.340.570.490.492.060.540.9264.95129.4164.58230.860.420.940.210.620.770.720.40.581.770.620.6284.17139.5167.17880.02 174.50.03111.960.01 176.50.031160.021630.03 130.8 890.