二次函数增减性性质新说及其应用.pdf

争鸣探索 年 月下半月二次函数增减性性质新说及其应用福建省武夷山市第二中学林梦雨摘要:二次函数是中考数学的重要考点,函数的增减性更是重要的考点之一,填空题、选择题、解答题中都能考查,熟练掌握抛物线的“a d y”法则,能极大提高解题效率关键词:增减性;“a d y”法则引言增减性是抛物线的一条非常重要的性质,也是重要的考点,下面就对性质及其应用归纳如下,仅供学习时借鉴引理“a d y”法则设抛物线ya xb xc(a)的对称轴为直线xba,A(x,y),B(x,y)是抛物线上的任意两点,记d|xba|,d|xba|,则()当a时,若dd,则yy;()当a时,若dd,则yy下面以a为例加以证明图证明:如图当A(x,y),B(x,y)都 在 对 称 轴 的 右侧时,d|xba|,d|xba|若dd,则xx因为抛 物 线 在 对 称轴右侧部分,y随x的增大而增大,所以yy当A(x,y),B(x,y)都在对称轴的左侧时,d|xba|,d|xba|若dd,则xx因为抛物线在对称轴左侧部分,y随x的增大而减小,所以yy当A(x,y)在抛物线左侧部分,B(x,y)在右侧部分时,设B(x,y)的 对 称 点 为C(x,y),则d|xba|,d|xba|,d|xba|由dd,得dd,则xx因为抛物线在对称轴左侧部分,y随x的增大而减小,所以yy综上所述,当a 时,若dd,则yy成立引理运用判断最小值是否正确例(丹东)已知抛物线ya xb xc(a),且abc,abc判断下列结论:a b c;abc;抛物线与x轴正半轴必有一个交点;当x时,y最小a;该抛物线与直线yxc有两个交点,其中正确结论的个数为()ABCD解析:因为abc,abc,所以两式相减得b,两式相加得c a由a,得c,则a b c,故正确由abc,得abc,所以abc(c)cca,故正确因为抛物线ya xb xc(a)的对称轴xbaa,a,所以a由a,c,得a c,所以a xb xc的判别式ba ca c,故抛物线ya xb xc(a)与x轴有两个不同的交点又因为x时,yc,所以抛物线与x轴正半轴必有一个交点,故正确因为抛物线ya xb xc(a)的对称轴xbaa,且d|a|d|a|,所以yy,从而当x时,y有最小值,即为y最小abcaaa,故正确联立抛物线ya xb xc及直线yxc可得a xxc因为a c,所以该抛物线与直线yxc有两个交点,故正确所以正确的个数有个故选:D点评:本题考查了二次函数的图象与系数的关 年 月下半月争鸣探索系、二次函数的最值、二次函数与x轴的交点情况、二次函数与一元二次方程之间的关系、二次函数的性质等知识点,综合性较强,需灵活运用二次函数的以上相关知识点根据最大值计算参数值图例(襄阳改编)如图,直线yx与x,y轴分别 交 于 点B,A,抛 物 线ya xa xc过点A()求出点A,B的坐标及c的值;()若函数ya xa xc在x时有最大值为a,求a的值解析:()因为直线yx 与x,y轴分别交于点B,A,所以点A(,),点B(,)由抛物线ya xa xc过点A,可得c()因为ya xa xa(x)a,所以抛物线的对称轴为直线x由d|,d|,得dd设x,时抛物线上对应两点的纵坐标分别为y,y当a时,yy,则x时,y有最大值,即 aaca,解得a当a时,yy,则x时,y有最大值,即aaca,解得a,不合题意,舍去综上所述,可得a点评:解答时,有三点需要把握好一是用好配方法确定抛物线的对称轴;二是用好“a d y”法则计算距离d并准确比较大小;三是灵活运用分类思想,结合“a d y”法则计算即可判断结论的正误图例(日照)抛物线ya xb xc(a)的对称轴是直线x,其图象如图所 示下 列 结 论:a b c;(ac)(b);若(x,y)和(x,y)是抛物线上的两点,则|x|x|时,yy;抛物线的顶点坐标为(,m),则关于x的方程a xb xcm无实数根其中正确结论的个数是()ABCD解析:由抛物线图象开口向上,可得a又对称轴在y轴左侧,所以a,b同号,即b由抛物线与y轴交点在x轴下方,得c所以a b c,故正确(ac)(b)(acb)(acb),当x时a xb xcacb,由图象可得acb,当x时,a xb xcacb,由 图 象 可 得acb,所 以(ac)(b)即(ac)(b)故正确|x|x()|,|x|x()|由|x|x|及a,得yy,故错误因为抛物线的顶点坐标为(,m)且a,所以ym,即a xb xcm,即抛物线与直线ym有交点,而m位于直线ym下方,故抛物线与直线ym无交点,方程a xb xcm无实数根故正确综上所述,正确故选:B点评:解答时,有两个关键点要把握好一是“a d y”法则的理解和运用,这可以准确判断结论;二是灵活运用函数的最小值以及数形结合思想判断方程的根,这一点也是很重要的比较函数值的大小例已知二次函数ya xa xc(a)的图象上有三个点(,y),(,y),(,y),则y,y,y的大小关系是()AyyyByyyCyyyDyyy解析:因为抛物线的对称轴为直线xaa,d(),d,d,所以ddd又因为a,所以yyy故选:D点评:解答时,准确计算抛物线的对称轴以及点的横坐标与对称轴的距离是解答的基础性条件,熟练掌握“a d y”法则是解题的关键解后反思二次函数是初中数学的重要内容,熟练掌握其性质更是学习的重点之一,特别是增减性尤其重要为此,要做到如下三点()掌握增减性的基本描述方式,这是掌握性质的基础,也是性质变形的根本依据()灵活掌握创新的“a d y法则”,法则与原性质对比有两大优点:一是不需要判断点与对称轴的位置关系,不需要分其在对称轴的左侧还是右侧,避免了解答时易出现的错误;二是解决了二次函数图象上所有的点的函数值的大小比较问题,提高了解题效率()通过性质的运用,数形结合思想、分类思想、绝对值思想都得到了充分的展示和应用,这也是解题时必须要牢记的 Z