高考数学大一轮复习不等式二元一次不等式组与简单的线性规划问题习题含解析.doc

第2节　二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
考试要求　1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.

知 识 梳 理
1.二元一次不等式(组)表示的平面区域
(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域(半平面)不含边界直线.不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域(半平面)包括边界直线.
(2)对于直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，使得Ax＋By＋C的值符号相同，也就是位于同一半平面内的点，其坐标适合同一个不等式Ax＋By＋C>0；而位于另一个半平面内的点，其坐标适合另一个不等式Ax＋By＋C<0.
(3)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.
2.线性规划的有关概念
名称
意义
线性约束条件
由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组，是对x，y的约束条件
目标函数
关于x，y的解析式
线性目标函数
关于x，y的一次解析式
可行解
满足线性约束条件的解(x，y)
可行域
所有可行解组成的集合
最优解
使目标函数达到最大值或最小值的可行解
线性规划问题
求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题
[常用结论与易错提醒]
1.画出平面区域.避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化.
2.在通过求直线的截距的最值间接求出z的最值时，要注意：当b>0时，截距取最大值时，z也取最大值；截距取最小值时，z也取最小值；当b<0时，截距取最大值时，z取最小值；截距取最小值时，z取最大值.
基 础 自 测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)不等式Ax＋By＋C＞0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方.(　　)
(2)线性目标函数的最优解可能是不唯一的.(　　)
(3)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上.(　　)
(4)在目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距.(　　)
(5)不等式x2－y2<0表示的平面区域是一、三象限角的平分线和二、四象限角的平分线围成的含有y轴的两块区域.(　　)
解析　(1)不等式x－y＋1>0表示的平面区域在直线x－y＋1＝0的下方.
(4)直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距是.
答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×　(5)√
2.下列各点中，不在x＋y－1≤0表示的平面区域内的是(　　)
A.(0，0) B.(－1，1)
C.(－1，3) D.(2，－3)
解析　把各点的坐标代入可得(－1，3)不适合，故选C.
答案　C
3.(必修5P86T3改编)不等式组表示的平面区域是(　　)

解析　x－3y＋6≥0表示直线x－3y＋6＝0及其右下方部分，x－y＋2＜0表示直线x－y＋2＝0左上方部分，故不等式表示的平面区域为选项B.
答案　B
4.(2018·浙江卷)若x，y满足约束条件则z＝x＋3y的最小值是________，最大值是________.
解析　由题可得，该约束条件表示的平面区域是以(2，2)，(1，1)，(4，－2)为顶点的三角形及其内部区域(图略).由线性规划的知识可知，目标函数z＝x＋3y在点(2，2)处取得最大值，在点(4，－2)处取得最小值，则最小值zmin＝4－6＝－2，最大值zmax＝2＋6＝8.
答案　－2　8
5.(2019·嘉兴检测)实数x，y满足若z＝3x＋y的最小值为1，则正实数k＝________.
解析　因为k>0，则题中的不等式组表示的平面区域为以(1，0)，，为顶点的三角形区域(包含边界)，易得当目标函数z＝3x＋y经过平面区域内点
时，z＝3x＋y取得最小值zmin＝＋＝1，解得k＝.
答案　
6.(2018·丽水月考)已知整数x，y满足不等式
则2x＋y的最大值是________；x2＋y2的最小值是________.

解析　满足不等式组
的可行域如图所示，由z＝2x＋y，得y＝－2x＋z，由图可知，当直线y＝－2x＋z过A时，直线在y轴上的截距最大，由可得即A点坐标为(8，8)，z最大值等于2×8＋8＝24.x2＋y2的最小值是可行域的B到原点距离的平方，由可得B(2，2)，可得22＋22＝8.
答案　24　8

考点一　二元一次不等式(组)表示的平面区域
【例1】 (1)(2019·杭州质检)设不等式组所表示的区域面积为S(m∈R).若S≤1，则(　　)
A.m≤－2 B.－2≤m≤0
C.0<m≤2 D.m≥2
(2)若不等式组表示的平面区域是等腰三角形区域，则实数a的值为________.
解析　(1)如图，当x＋y＝1与y＝mx的交点为(－1，2)时，阴影部分的面积为1，此时m＝－2，若S≤1，则m≤－2，故选A.

(2)不等式组表示的平面区域是如图①所示三角形区域，而直线ax＋3y－4＝0过定点，且不等式ax＋3y－4≥0表示不含原点的区域，故若不等式组表示的平面区域是等腰三角形区域，则只能为如图②所示的△ABC，其中AB＝AC.
∴tan ∠OAC＝，tan ∠ABC＝，且∠OAC＝2∠ABC，
∴＝tan∠OAC＝＝，解得a＝4.

图①　　　　　　　　　　　　图②
答案　(1)A　(2)4
规律方法　二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域，注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线.测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，则测试点常选取原点.
【训练1】 (1)若不等式组表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为(　　)
A.－3 B.1
C. D.3
(2)已知a∈R，若存在实数x，y满足则实数a的取值范围为(　　)
A. B.(－∞，－1]
C.[－1，＋∞) D.
解析　(1)如图，要使不等式组表示的平面区域为三角形，则－2m＜2，则
m＞－1，

由解得
即A(1－m，1＋m).
由解得
即B，所围成的区域为△ABC，则S△ABC＝S△ADC－S△BDC＝(2＋2m)(1＋m)－(2＋2m)·(1＋m)＝(1＋m)2＝，解得m＝－3(舍去)或m＝1.故选B.
(2)要使得存在实数x，y满足不等式组所表示的可行域如图所示(含边界)，即1－a≥－2a，得a≥－1，故选C.

答案　(1)B　(2)C
考点二　线性规划相关问题　多维探究
角度1　求线性目标函数的最值
【例2－1】 设x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值为(　　)
A.0 B.1
C.2 D.3
解析　

根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分(含边界)，则当目标函数z＝x＋y经过A(3，0)时取得最大值，故zmax＝3＋0＝3，故选D.
答案　D
角度2　求非线性目标函数的最值
【例2－2】 (1)(2019·台州质量评估)已知实数x，y满足不等式组则(x－1)2＋(y＋2)2的取值范围是(　　)
A.[1，5] B.[，5]
C.[5，25] D.[5，26]
(2)若x，y满足约束条件则的最大值为________.
解析　(1)画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分(含边界)所示.因为(x－1)2＋(y＋2)2表示平面区域内的点到点P(1，－2)的距离的平方，直线PO：y＝－2x与直线x－2y＝0垂直，由图知，点P(1，－2)到直线x－2y＝0的距离的平方为所求最小值，即为＝5，与点A(0，3)的距离的平方为所求最大值，即为(0－1)2＋[3－(－2)]2＝26，所以所求取值范围为[5，26]，故选D.

(2)作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A(1，3)与原点连线的斜率最大，故的最大值为3.

答案　(1)D　(2)3
角度3　求参数的值或范围
【例2－3】 (1)已知x，y满足条件若z＝mx＋y取得最大值的最优解不唯一，则实数m的值为(　　)
A.1或－2 B.1或－
C.－1或－2 D.－2或－
(2)(2019·衢州二中二模)已知实数x，y满足约束条件若z＝2x＋y在点(0，0)处取得最小值，则z＝2x＋y的最大值是(　　)
A.3 B.4
C.5 D.6
解析　(1)在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示(包含边界)，由图易得当目标函数z＝mx＋y与直线x＋y＝2或x－y＋1＝0平行时，目标函数取得最大值的最优解不唯一，所以m＝1或m＝－2.

(2)由目标函数z＝2x＋y在点(0，0)处取到最小值，则边界直线x＋2y＋a＝0过点(0，0)，故a＝0，因此约束条件所对应的平面区域为△AOB内部(含边界)，如图所示，则目标函数z＝2x＋y移至点A(4，－2)时有最大值为6，故选D.

答案　(1)A　(2)D
规律方法　线性规划两类问题的解决方法
(1)求目标函数的最值：画出可行域后，要根据目标函数的几何意义求解，常见的目标函数有：①截距型：形如z＝ax＋by；②距离型：形如z＝.③斜率型：形如z＝.
(2)求参数的值或范围：参数的位置可能在目标函数中，也可能在约束条件中.求解步骤为：①注意对参数取值的讨论，将各种情况下的可行域画出来；②在符合题意的可行域里，寻求最优解.
【训练2】 (1)若实数x，y满足x2＋y2≤1，则|x＋y－1|＋2x＋3y＋1的最大值是(　　)
A.5 B.
C.4 D.
(2)(2019·嵊州适考)已知实数x，y满足约束条件若z＝tx＋y的最小值为1，则实数t的取值范围是(　　)
A.t≤－2 B.－2≤t≤1
C.t≥1 D.t≤－2或t≥1
解析　(1)当x＋y≥1时，z＝|x＋y－1|＋2x＋3y＋1＝3x＋4y在点处有最大值5，当x＋y<1时，z＝|x＋y－1|＋2x＋3y＋1＝x＋2y＋2在点(0，1)处有最大值4，所以|x＋y－1|＋2x＋3y＋1的最大值是5，故选A.
(2)画出满足约束条件的平面区域，如图中阴影部分(含边界)所示，由图易知只有平移直线tx＋y＝0经过直线2x－y＋1＝0与直线x＋y－1＝0的交点C(0，1)时，目标函数z＝tx＋y的值为1，则目标函数z＝tx＋y要取得最小值1，直线z＝tx＋y必过点C(0，1).当t≥0时，则－t≥－1，即0≤t≤1；当t＜0时，则－t≤2，即－2≤t<0.综上可知，实数t的取值范围是－2≤t≤1，故选B.

答案　(1)A　(2)B

基础巩固题组
一、选择题
1.(一题多解)不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0在直角坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)，应是下列图形中的(　　)

解析　法一　不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0等价于或画出对应的平面区域，可知C正确.
法二　结合图形，由于点(0，0)和(0，4)都适合原不等式，所以点(0，0)和(0，4)必在区域内，故选C.
答案　C
2.不等式组所表示的平面区域的面积为(　　)
A.1 B.
C. D.
解析　

作出不等式组对应的区域为△BCD，由题意知xB＝1，xC＝2.由得yD＝，所以S△BCD＝×(xC－xB)×＝.
答案　D
3.(2019·湖州适应性考试)已知实数x，y满足则3x＋4y的最小值是(　　)
A.19 B.17
C.16 D.14
解析　在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域，如图所示的阴影部分中横纵坐标均为整数的点，由图易得当目标函数z＝3x＋4y经过平面区域内的点(4，1)时，z＝3x＋4y取得最小值zmin＝3×4＋4×1＝16，故选C.

答案　C
4.x，y满足约束条件若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为(　　)
A.或－1 B.2或
C.2或1 D.2或－1
解析　如图，由y＝ax＋z知z的几何意义是直线在y轴上的截距，故当a＞0时，要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则a＝2；当a＜0时，要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则a＝－1.

答案　D
5.(2016·浙江卷)若平面区域夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是(　　)
A. B.
C. D.
解析　已知不等式组所表示的平面区域如图所示阴影部分，由
解得A(1，2)，

由
解得B(2，1).
由题意可知，当斜率为1的两条直线分别过点A和点B时，两直线的距离最小，
即|AB|＝＝.
答案　B
6.(2019·丽水测试)在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的平面区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为(　　)
A.2 B.1
C.－ D.－
解析　在平面直角坐标系内画出题中的不等式组所表示的平面区域，其是以(1，0)，(3，－1)，(2，2)为顶点的三角形及其内部，由图易得平面区域内的点(3，－1)与原点连线的斜率最小，斜率的最小值为＝－，故选C.
答案　C
7.已知x，y满足约束条件若目标函数z＝y－mx(m>0)的最大值为1，则m的值是(　　)
A.－ B.1
C.2 D.5
解析　作出可行域，如图所示的阴影部分.
化目标函数z＝y－mx(m＞0)为y＝mx＋z，由图可知，当直线y＝mx＋z过A点时，直线在y轴的截距最大，由解得即A(1，2)，∴2－m＝1，解得m＝1.故选B.

答案　B
8.若函数y＝2x图象上存在点(x，y)满足约束条件则实数m的最大值为(　　)
A. B.1
C. D.2
解析　在同一直角坐标系中作出函数y＝2x的图象及所表示的平面区域，如图阴影部分所示.

由图可知，当m≤1时，
函数y＝2x的图象上存在点(x，y)满足约束条件，
故m的最大值为1.
答案　B
二、填空题
9.(2018·北京卷)若x，y满足x＋1≤y≤2x，则2y－x的最小值是________.
解析　法一　x＋1≤y≤2x表示的平面区域如图中阴影部分所示，令z＝2y－x，易知z＝2y－x在点A(1，2)处取得最小值，最小值为3.

法二　由题意知则2y－x＝－3(x－y)＋(2x－y)≥3，所以2y－x的最小值为3.
答案　3
10.已知O是坐标原点，点M的坐标为(2，1)，若点N(x，y)为平面区域上的一个动点，则·的最大值是________.
解析　依题意，得不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示，

其中A，B，C(1，1).
设z＝·＝2x＋y，当目标函数z＝2x＋y过点C(1，1)时，z＝2x＋y取得最大值3.
答案　3
11.已知实数x，y满足不等式组则|x－y|的最大值为________.
解析　在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以(4，0)，(8，8)，(0，2)为顶点的三角形区域(包含边界)，设z＝x－y，则由图易得当z＝x－y经过平面区域内的点(4，0)时，z＝x－y取得最大值zmax＝4－0＝4，当z＝x－y经过平面区域内的点(0，2)时，z＝x－y取得最小值zmin＝0－2＝－2，所以|x－y|的取值范围为[0，4]，最大值为4.
答案　4
12.已知实数x，y满足设b＝x－2y，若b的最小值为－2，则b的最大值为________.
解析　作出不等式组满足的可行域如图阴影部分所示.

作出直线l0：x－2y＝0，
∵y＝－，
∴当l0平移至A点处时b有最小值，bmin＝－a，又bmin＝－2，
∴a＝2，当l0平移至B(a，－2a)时，b有最大值bmax＝a－2×(－2a)＝5a＝10.
答案　10
13.(2019·金丽衢十二校联考)设x，y满足约束条件则目标函数z1＝2x－y的最大值是________，目标函数z2＝x2＋y2的最小值是________.
解析　在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域，其是以(2，0)，(0，2)，(4，2)为顶点的三角形区域(包含边界)，易得当目标函数z1＝2x－y经过平面区域内的点(4，2)时，取得最大值2×4－2＝6.z2＝x2＋y2表示平面区域内的点到原点的距离的平方，易得原点到直线x＋y＝2的距离的平方为所求最小值，即z2＝x2＋y2的最小值为＝2.
答案　6　2
14.若x，y满足约束条件则|x＋y|－|x－y|的取值范围为________.
解析　根据约束条件画出可行域如图中△ABC区域(含边界)，A(1，3)，B(－1，1)，C(3，1)，且△ABC区域在直线lOB：x＋y＝0的右侧，所以|x＋y|－|x－y|＝x＋y－|x－y|＝取BC的中点为M，AC的中点为N，由图可知直线lMN：x－y＝0将可行域分割为两部分，其中M(1，1)，N(2，2)，当x≥y时，对应区域为△MNC区域(含边界)，2≤2y≤4，当x<y时，对应区域为四边形ABMN区域(不含边界MN)，－2≤2x<4，所以|x＋y|－|x－y|的取值范围是[－2，4].

答案　[－2，4]
能力提升题组
15.若实数x，y满足不等式组则2|x＋1|＋y的最大值是(　　)
A. B.
C.4 D.1
解析　设z＝2|x＋1|＋y＝在平面直角坐标系中画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，是以A(－2，0)，B(0，－1)，C为顶点的三角形区域(含边界)，z＝－2x＋y－2(x＜－1)在点A(－2，0)处取得最大值2；z＝2x＋y＋2(x≥－1)在点C处取得最大值，故z＝2|x＋1|＋y的最大值是.

答案　B
16.(2019·杭州高级中学测试)已知实数x，y满足则xy的最大值是(　　)
A. B.
C.4 D.
解析　画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分(含边界)所示，设直线x＋2y－6＝0与曲线y＝相切于第一象限，切点为(x0，y0).由y＝，得y′＝－，所以解得所以xy的最大值为，故选A.

答案　A
17.(2019·镇海中学模拟)已知不等式组表示的平面区域为D，若函数y＝|x－1|＋m的图象上存在区域D上的点，则实数m的取值范围是(　　)
A.[－2，1] B.
C. D.
解析　不等式组表示的平面区域为如图所示的△ABC及其内部，而函数y＝|x－1|＋m的图象可看作是由函数y＝|x－1|的图象上下平移而得到的，显然当平移至图中折线a和折线b及其之间的位置时均符合题意.当在折线a位置时，将点(2，－1)代入即可求出m＝－2；当在折线b位置时，将点(1，1)代入即可求出m＝1，所以实数m的取值范围为[－2，1]，故选A.

答案　A
18.(2019·绍兴一中模拟)设不等式组表示的平面区域为M，点P(x，y)是平面区域内的动点，直线l：y＝k(x－2)上存在区域M内的点，则k的取值范围是________.
解析　直线l恒过定点(2，0)，实数k为不等式组表示的平面区域内的点P(x，y)与定点(2，0)连线所在直线的斜率.因为不等式组表示的平面区域是以(1，1)，(1，3)，(2，2)为顶点的三角形及其内部.由线性规划的特点可知，要使直线上存在区域内的点，则k≤＝－1.
答案　(－∞，－1]
19.若实数x，y满足x2＋y2≤1，则|2x＋y－4|＋|6－x－3y|的最大值是________.
解析　∵x2＋y2≤1，∴2x＋y－4＜0，6－x－3y＞0，∴|2x＋y－4|＋|6－x－3y|＝4－2x－y＋6－x－3y＝10－3x－4y.
令z＝10－3x－4y，

如图，设OA与直线－3x－4y＝0垂直；∴直线OA的方程为y＝x，
联立得A，
∴当z＝10－3x－4y过点A时，z取最大值，
zmax＝10－3×－4×＝15.
答案　15
20.已知实数x，y满足条件则z＝的最大值为________，z取得最大值的最优解为________.

解析　不等式组表示的可行域为如图所示的阴影部分，当x＝0，y＝2，此时z＝＝－1，当x≠0时，令u＝∈[0，＋∞)，则z＝＝＝＝－1≤－1＝1，即z的最大值为1，此时u＝＝0，故最优解为(3，0).
答案　1　(3，0)