曲线积分与曲面积分知识点.doc

第十章 　曲线积分与曲面积分

一、 一、             重点
两类曲面积分及两类曲面积分得计算与格林公式、高斯公式得应用
二、 二、             难点
对曲面侧得理解，把对坐标得曲面积分化成二重积分，利用格林公式求非闭曲线上得第二类曲线积分,及利用高斯公式计算非闭曲面上得第二类曲面积分。
三、 三、            　内容提要
1． 1.  曲线（面)积分得定义:
（1） (1)      　第一类曲线积分
(存在时）
表示第i个小弧段得长度，(）就是上得任一点小弧段得最大长度.
实际意义:
当f(x，y）表示Ｌ得线密度时,表示L得质量;当f（x,y) 1时，表示Ｌ得弧长，当f(x,y）表示位于L上得柱面在点(ｘ，ｙ）处得高时，表示此柱面得面积。
（2） (2)      　第二类曲线积分
（存在时）
实际意义：
设变力=Ｐ（x,y）　+Ｑ(x,ｙ) 将质点从点A沿曲线L移动到Ｂ点,则作得功为:
，其中=(dｘ,dy）事实上，,分别就是在沿X轴方向及Y轴方向所作得功。
（3） （3)      　第一类曲面积分
（存在时)
表示第ｉ个小块曲面得面积,(）为上得任一点，就是n块小曲面得最大直径。
　 　 　 实际意义：
当f(x,y,z)表示曲面上点(x,ｙ,z)处得面密度时,表示曲面得质量，当f(x,y，z） 1时,表示曲面得面积。
（4） (4)       第二类曲面积分
(存在时）
其中,，分别表示将任意分为n块小曲面后第I块在yｏz面,zox面，xoy面上得投影,dｙdｚ,dzｄx，ｄxdy分别表示这三种投影元素; ()为上得任一点,就是n块小曲面得最大直径.
实际意义:
设变力=P(x,y，ｚ） ＋Q（x,y，z) ＋ R(x,ｙ,z) 为通过曲面得流体（稳定流动且不可压缩)在上得点(x，y，z)处得速度.则

　 表示在单位时间内从得一侧流向指定得另一侧得流量.
　 ２、曲线（面）积分得性质
两类积分均有与重积分类似得性质
（1） (１)       被积函数中得常数因子可提到积分号得外面
（2） (２)       对积分弧段(积分曲面)都具有可加性
（3） （3)       代数与得积分等与积分得代数与
第二类曲线(面)积分有下面得特性,即第二类曲线（面）积分与曲线(面）方向（侧)有关

=
3、曲线(面)积分得计算
（1） （1）       曲线积分得计算
a、 a、  依据积分曲线Ｌ得参数方程,将被积表达式中得变量用参数表示
b、 b、  第一（二）类曲线积分化为定积分时用参数得最小值(起点处得参数值）作为积分下限
（2） (２）       曲面积分得计算方法
1、 １、  第一类曲面积分得计算
a 　 将积分曲面投向使投影面积非零得坐标面
b 将得方程先化成为投影面上两变量得显函数,再将此显函数代替被积表达式中得另一变量。
Ｃ 将dｓ换成投影面上用直角坐标系中面积元素表示得曲面面积元素
2、 2、 　第二类曲面积分得计算
a 将积分曲面投向指定得坐标面
b 　同１
c　　　依得指定得侧决定二重积分前得“+”或“－”
４、格林公式、高斯公式与斯托克斯公式
（1） (１）       格林公式

其中Ｐ、Ｑ在闭区域D上有一阶连续偏导数,Ｌ就是D得正向边界曲线.若闭区域D为复连通闭区域，P、Ｑ在D上有一阶连续偏导数,则
=
其中（=1,2……n)均就是D得正向边界曲线.
（2） (2）      　高斯公式
＝）ｄxdyｄｚ
其中P、Ｑ、R在闭区域上有一阶连续偏导数,就是Q得边界曲面得外侧
（3） (3)       斯托克斯公式
=
其中P、Q、R在包含曲面在内得空间区域内具有一阶连续偏导数,就是以为边界得分片光滑曲面，得正向与得侧向符合右手规则．
5、平面上曲线积分与路径无关得条件
设P、Ｑ在开单连同区域G内有一阶连续偏导数，Ａ、B为G内任意两点,则以下命题等价:
（１)与路径Ｌ无关
(2）对于G内任意闭曲线L，
（3)　在G内处处成立
(4）在G内，Pdx+Qdy为某函数U(x，y）得全微分
6、通量与散度、环流量与旋度
设向量
=P(ｘ,y，z） +Q(x，y，z) + R(ｘ,y，z）　
则通量(或流量）=
其中 =(cｏｓ， cｏｓ， cos)为上点（x，y,z）处得单位法向量.
散度
diｖ　＝　+ 对坐标得曲面积分与得形状无关得充要条件就是散度为零。
旋度
环流量　　 向量场沿有向闭曲线得环流量为
=
四、 四、             难点解析
本章中对在ｘoy面上得投影(为
（=
其中为有向曲面上各点处得法向量与Z轴得夹角余弦。为在xｏy上投影区域得面积。此规定直接决定了将一个第二类曲面积分化为二重积分时正负号得选择,此规定貌似复杂，但其最基本得思想却非常简单:即基于用正负数来表示具有相反意义得量。比如,当温度高于零度时用正数表示,当温度低于零度使用负数表示.从引进第二类曲线积分得例子瞧就是为了求稳定流动得不可压缩得流体流向指定侧得流量。如果我们用正数来表示流体流向指定侧得流量,很自然,当流体流向指定侧得反向时用负数表示就显得合情合理了。因此上面得规定就显得非常自然合理了。
五、 五、            　典型例题
例１、计算 　　:圆周
　 解:由轮换对成性,得
　 ＝＝==
例２、设Ｌ:为成平面区域D,计算
解：(格林公式）==
例３、求，其中为曲面得外侧。
解法一、将分为上半球面:与下半球面:

解法二、利用高斯公式
＝）dxdydz=0　 （对称性）
例4、求曲线y=及所围成得图形得面积。
解：求曲线得交点B(1，1)，C（,）
法一、定积分法 　则所求面积为
A=+＝＝
法二、二重积分法 　设所给曲线围成得闭区域为D、则
A==＋=＋＝
法三、曲线积分法 　 设所给曲线围成得图形得边界曲线为L，则
A===++
=+()=
例5、计算,L：从点A（—R，0)到点B（Ｒ,０)得上半圆周。
解:法一 　用曲线积分与路径无关
因为在ｘoｙ面上恒成立，且及在xｏy面上连续，所以曲线积分与路径无关。
于就是==＝0
法二、用曲线积分与路径无关，则
＝0　 　(其中C(0,R))
法三、用曲线积分与路径无关，则
=＝==0
法四、用格林公式
因为且及在闭曲线ACBA上围成得闭区域D上连续。故由格林公式得
==0
于就是 =0＝０
法五、用定积分计算，则Ｌ得参数方程为
,L得起点A对应与,综点对应于，于就是
====０
例六、计算对坐标得曲面积分
其中就是得下侧
解：设为平面Z=ｈ被锥面所围成部分得上侧。则
＝dｘdydz
＝)dxｄyｄz=０
又=＝=０
所以 　 原式==0－0＝0

六．曲线积分与曲面积分自测题
一、 一、填空：(45分)
1、
其中L为正向星形线
２、Ｌ为xoy面内直线ｘ＝ａ上得一段，则
　 3、设＝ ＋ +　,则div=
　　 ４、＝
其中:平面ｘ=0,y=0,ｚ=０,ｘ=１，y=２,z=3所围成得立体得表面外侧。
二、 二、选择题(45分）
1、 １、  设=P（x，y) ＋Q（x,y)　,(x,y)D，且P、Q在区域D内具有一阶连续偏导数,又Ｌ：就是Ｄ内任一曲线,则以下4个命题中,错误得就是
A 若与路径无关，则在Ｄ内必有
B 若与路径无关,则在D内必有单值函数u（x,y）,使得du（x,y)=P（x,ｙ）ｄx+Q（x，y)dｙ
C 若在D内，则必有与路径无关
D 若对Ｄ内有一必曲线C,恒有,则与路径无关
2、 2、  已知为某函数得全微分，则ａ等于
A　 — 1　 ; 　 B 0；　 　C 1;　　 　 Ｄ　 2;
3、 3、  设曲线积分与路径无关,其中具有连续得到数,且=0,则等于
A　 　 ； 　　　　Ｂ 　；　　 C 　;　 　 D 　１；
4、设空间区域由曲面平面z=0围成,其中a为正常数,记得表面外侧为S, 得体积为V，则
A 0　　 ; 　　　　　B 　V; 　C 　　　2V;　 　 　　 Ｄ 　3V;
三、 三、计算(６10）
1、 1、  计算I=,其中为圆周:
2、 2、  计算曲线积分其中L为圆周，L得方向为逆时针方向.
3、 3、 　计算其中Ｌ就是在圆周上点(０,０)到点(1，1)得一段弧.
4、 ４、  算曲面积分
Ｉ＝
其中为圆周:（绕y轴旋转一周所生成得曲面,它得法向量与y轴正向得夹角恒大于。
5、 5、  正面(在整个xoy面上就是某个二元函数得全微分，并求出一个这样得二元函数u(x,y）。
6、 6、  在由点（—，０)到点(，０）得曲线族ｙ=aｃosx(a、〉0)中，求一条曲线L，使得值最小.