常用微分公式.doc

§13 微分公式
(甲)基本函数得微分公式
(1)=nxn-1,nÎN 。 (2)。
(3)=0,其中c为常数。(4)(sinx)/=cosx (5)(cosx)/=-sinx
另一种表示: (xn)/=nxn-1 ‚ = ƒ (c)/=0
证明:
(2)设a为f(x)=定义域中得任意点,
则f /(a)=
==
===
(4)设a为任意实数,f(x)=sinx
= =
计算f /(a)= ==cosa。

(1)(3)(5)自证

(乙)导数得四则运算
(1)f(x)与g(x)为可微分得函数。f(x)+g(x)为可微分得函数。
且(f(x)+g(x))= (f(x))+ (g(x))成立。
另一种表示:(f(x)+g(x))/=f /(x)+g/(x)
证明:令h(x)=f(x)+g(x),设a为h(x)定义域中得任一点
h/(a)= =
=( + )=()+()
=f /(a)+g/(a)

例:求？
推论:(f1(x)+f2(x)+、、、+fn(x)) =

(2)设f(x)为可微分得函数。cf(x)为可微分得函数。
且(cf(x))=c,特别c= -1时,(-f(x))=-。
(3),另一种表示:(f(x)-g(x))/=f /(x)-g/(x)
(4) (c1f1(x)+c2f2(x)+、、、+cnfn(x))= c1(f1(x))+c2(f2(x))+、、、+cn(fn(x))

例如:(1) (anxn+an-1xn-1+、、、+a1x+a0)
(2)(3x5-2x3+4)/ =？

(5)f(x),g(x)为可微分得函数。f(x)g(x)为可微分得函数。
且 (f(x)×g(x))= (f(x))×g(x)+f(x)× (g(x))
另一种表示:(f(x)×g(x))/=f /(x)×g(x)+f(x)×g/(x)
证明:

例如:试求

下面我们要推导例2得一般情形:
(a)=
(b)(逐次轮流微分)
(c)如果,则可得
例如:试求得导数。

[例題1] 证明。
(6)若f(x),g(x)在x=a可微分,且,
则。
因此可得:
若f(x)=1,则()/=
例如:试求得导函数。

例如:求()/=？

例如:设为负有理数,证明。

结论:若设r为有理数,则。
[例題2] 求下列各函数得导函数:
(1) (x2+2x)(x2+3x+2) (2) (x-2)3(x2-1) (3)(x2+x+1)(4x3+x-4)(x+3)
(3) (4)
Ans:(1)4x3+15x2+16x+4 (2)(x-2)2(5x2-4x-3)
(3)(2x+1)(4x3+x-4)(x+3)+(x2+x+1)(12x2+1)(x+3)+ (x2+x+1)(4x3+x-4)
(4) (5)

[例題3] 请利用(sinx)/=cosx,(cosx)/=-sinx得结果证明:
(tanx)/=sec2x,(secx)/=secx×tanx

(練習1.) 试求下列得导函数:
(1)x3-6x2+7x-11 (2)(x3+3x)2(2x+1) (3) (x+1)(2x2+2)(3x2+x+1) (4)(2x3+x+1)5
Ans:(1)3x2-12x+7 (2)2(x3+3x)(3x2+3)(2x+1)+2(x3+3x)
(3) (2x2+2)(3x2+x+1)+(x+1)×(4x)×(3x2+x+1)+ (x+1)(2x2+2)×(6x+1)
(4) 5(2x3+x+1)4×(6x2+1)

(練習2.) 求下列各函数得导函数。
(1)f(x)= (2)f(x)= (3)f(x)= (4)f(x)=
Ans:(1) (2)
(3) ×(12x2+6x+2) (4)
(練習3.) 证明,

(丙)连锁法则
(1)合成函数:
(a)设,则。
,
所以为x得函数。
(b)

(2)连锁法则:既然为x得函数,我们就可以讨论
例: 设,则
利用,可得
=
上式并不就是巧合,一般得情形亦就是如此。

定理:(连锁法则 Chain Rule)
若f(x),g(y)都就是可微分得函数,则合成函数亦可微分,
而且。

[例題4] 求？
一般情形:,f(x)可微分,求=?

[例題5] 求f(x)=sin2x得导函数。Ans:2sinx×cosx
[例題6] 求下列函数得导函数:
(1)
(2)
(3)
Ans:(1)3tan2x×sec2x (2)-5csc5x×cot5x (3)
(練習4.) 设n为正整数而f(x)为可微分得函数,试用连锁律去计算(f(x))n得导函数。
Ans:n(f(x))n-1×f /(x)
(練習5.) 求(=？Ans: ×(4x3+6x-1)
(練習6.) Ans:
(練習7.) 求下列各小题y/
(1) (2) (3)
(4) (5)
Ans:(1) (2) (3) (4) (5)
(練習8.) 计算下列各小题:
(1)(x×)/=？ Ans:
(2) ()=？ Ans:
(3)求f(x)=得导函数。 Ans:f /(x) =
(練習9.) 设可微函数f(x)满足f()=x,则f /(0)=？ Ans:2
[例題7] 试求？
(練習10.) 试求得导函数。 Ans:
(練習11.) 求f(x)=得导函数。 Ans:f /(x)=
(練習12.) ,求f /(3)=？
(練習13.) 设y=(x+)10,试求=？ Ans:×(x+)10

[例題8] 求斜率为2,而与曲线y=f(x)=x3-x2+ 相切之直线方程式。
Ans:4x-2y+3=0,2x-y-3=0
(練習14.) 求过曲线y=f(x)=x3+x2-2得点,而斜率最小得切线方程式。
Ans:y+=(-1)(x+1)
(練習15.) 求通过y=x3-3x2-4x-1上x=1处之切线与法线方程式。
Ans:7x+y=0,x-7y-50=0
(練習16.) 函数f(x)=得图形上以(0,-1)为切点得切线斜率为 。Ans:1
[例題9] 设拋物线y=ax2+bx+c与直线7x-y-8=0相切于点(2,6),而与直线x-y+1=0相切,
求a,b,c之值。 Ans:a=3,b=-5,c=4 (85 日大 自然)

[例題10] 直角坐标上,给定一曲线G:y=x3-3x2,自点P(2,-5)向G所作得切线方程式。
Ans:3x+y-1=0,15x-4y-50=0

(練習17.) 过原点且与曲线y=x3-3x2-1相切之直线方程式。Ans:y=-3x,y=。
(練習18.) 设拋物线y=ax2+bx+c过点(1,1),且与直线x-y=3相切于(2,-1)。求a,b,c 之值
Ans:a=3,b=-11,c=9
[例題11] 设a,b,c为实数,已知二曲线y=x2+ax+b与y=-x3+c在点A(1,-2)处相切,L为两曲线在A点得公切线,试求(1)a,b,c (2)求L得方程式。
Ans:(1)a=-5,b=2,c=-1 (2)3x+y-1=0

(練習19.) 拋物线G:y=p(x)得对称轴平行于y轴,且G与x轴交于点(2,0),并在x=1时与函数y=x4+1得图形相切,试求p(x)=？ Ans:p(x)=-6x2+16x-8
(練習20.) 求y=x3-3x,y=x3-3x+32两曲线得公切线方程式。Ans:9x-y+16=0

综合练习
1. (1) ,求=? (2),求f /()=？(3)f(x)=x3(x3+5x)10,求f /(x)
Ans:(1) (2) (3)
2. 求下列各函数得导函数:(1) (2) (3)
Ans:(1)(2)
(3)
3. 试求下列个函数得导函数:(1) (2)(3) (4)(5) (6)
(7) (8)
Ans:(1)(2)(3)(4)
(5) (6)0 (7) (8)
4. (1)设,若f /(1)=2,则a=?
(2)设,则f /(2) =? Ans:(1)2 (2)
5. 设,,求=? Ans:
6. 求在(1,0)得切线方程式与法线方程式。Ans:y=0,x=1
7. 曲线在x= -1处之切线方程式。Ans:2x+y+3=0
8. 设f(x)=x3+ax2+b,,若y=f(x)之图形通过点(1,4)且在此点得斜率为-3,则求a,b 之值为何? Ans:a=-3,b=6
9. 若直线y=x与曲线y=x3-3x2+ax相切,试求a=? Ans:a=1或
10. 过点,且与曲线相切得直线有几条?其斜率分别为何?
Ans:(1)3 (2)0,3±2