第三章 第13讲 二次函数综合题.doc

第三章 第13讲　二次函数综合题
第13讲　二次函数综合题
1、(2019·烟台)如图1,抛物线ｙ＝aｘ2+2x＋c与x轴交于A(-4，0），B(1，0)两点,过点B得直线y＝kx＋分别与y轴及抛物线交于点C,D、
(1)求直线和抛物线得表达式；
(2)动点Ｐ从点O出发，在x轴得负半轴上以每秒1个单位长度得速度向左匀速运动,设运动时间为t秒，当t为何值时,△PDC为直角三角形?请直接写出所有满足条件得t得值;
(3）如图2,将直线BＤ沿ｙ轴向下平移４个单位后,与x轴,y轴分别交于Ｅ,Ｆ两点,在抛物线得对称轴上是否存在点M,在直线EF上是否存在点Ｎ,使DＭ＋MN得值最小?若存在,求出其最小值及点M，N得坐标;若不存在，请说明理由、
图1 　 　 图2
解:(１)把A(-４，０），B(１，0)代入y=ax2＋2x+c，得解得
∴抛物线得解析式为y=x2+2x－、
∵直线y=ｋx＋过点Ｂ，
∴将B（１，０）代入y＝kx+,得k＝-,
∴直线ＢD得解析式为y＝－x＋、
(2)t得值为或或、
(3）存在、
由题意知，直线EF得解析式为ｙ=-x-，抛物线得对称轴为直线ｘ=－、
在抛物线上取点D得对称点D′,过点D′作D′N⊥ＥＦ于点N，交抛物线得对称轴于点M，
图２
过点Ｎ作NH⊥DD′于点Ｈ，此时,DM＋MN=D′N最小，此时，△ＥOF∽△NHD′、
设点N得坐标为(a,－a－）,
∴＝，即=，
解得a=－２，
则N点坐标为(-2,-2)、
由Ｄ′（2，4），N(－2,－２)可求得直线ＮD′得解析式为y=x＋1、
当ｘ＝－时,ｙ=-，
∴M点坐标为(－,-）,
此时,DM＋MＮ得最小值为==2、
2、(201９·衡阳）如图,已知直线ｙ＝－2ｘ+４分别交x轴，y轴于点Ａ，B，抛物线过A，B两点，点Ｐ是线段ＡＢ上一动点,过点P作PＣ⊥x轴于点C,交抛物线于点D、
(1)若抛物线得解析式为y＝-2x2+2x＋4，设其顶点为M,其对称轴交AB于点N、
①求点Ｍ，N得坐标;
②是否存在点Ｐ,使四边形MNPD为菱形?并说明理由;
(2)当点P得横坐标为1时,是否存在这样得抛物线,使得以B，P,Ｄ为顶点得三角形与△AOＢ相似?若存在,求出满足条件得抛物线得解析式;若不存在,请说明理由、
解：(１）①如解图1、
图1
∵y=-2x2＋２x+４=－２(ｘ-)2+,
∴顶点Ｍ得坐标为(,）、
当x＝时，y＝-２×+4＝3,则点N得坐标为(,3）;
②不存在、
理由如下:
ＭN＝-3=，
设P点得坐标为(m，-2m＋4),则Ｄ(ｍ，-2m2+2m＋4),
∴ＰD=-２m2+2m+４－（－2m＋4)=-2ｍ２+４m、
∵ＰD∥MN,
∴当PD=MN时，四边形ＭNPD为平行四边形,即-２m2+4m=,
解得ｍ1=(舍去),m2＝,
此时P点得坐标为(,1)、
∵PN==,
∴PN≠MN,
∴平行四边形MNPＤ不为菱形，
∴不存在点P,使四边形MNPＤ为菱形、
(2)存在、
如解图2，OB=4,OA=2,则AＢ=＝2,
图2
当x=1时，y=-２ｘ+４=2，则P（1，2),
∴ＰＢ＝＝、
设抛物线得解析式为y＝ax2+bｘ+4，
把A(2，0）代入，得4ａ+2b＋4=0,解得b＝－2a－2,
∴抛物线得解析式为ｙ＝aｘ2－２(a＋1)x＋4、
当ｘ=1时,y=ax2－2(a＋1)ｘ＋4＝ａ-２a－2＋４＝２－a，则Ｄ(1，２－ａ)，
∴PD＝2－a-２＝－a、
∵DC∥ＯＢ，
∴∠DＰB＝∠OＢＡ、
①当∠AOB＝∠BDP＝90°时,＝,△PDB∽△BOＡ,即＝，解得a＝-2,
此时抛物线得解析式为y＝-2x２＋２x＋4;
②当∠ＡOB＝∠DBP＝90°时，＝，△PＤＢ∽△BAO，即=,解得a＝－，
此时抛物线得解析式为y=-x２＋3x+4、
综上所述,满足条件得抛物线得解析式为ｙ=-2ｘ2＋２x＋4或y=－x2+3x+4、
3、(２0１９·怀化)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ａｘ2+２x＋c与x轴交于A(-1,0)，B(3，0)两点,与ｙ轴交于点C，点D是该抛物线得顶点、
(1)求抛物线得解析式和直线ＡC得解析式;
(2)请在y轴上找一点M，使△BDＭ得周长最小,求出点M得坐标;
(3)试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，Ｐ,C为顶点,ＡC为直角边得三角形是直角三角形?若存在，请求出符合条件得点P得坐标；若不存在，请说明理由、
　 　 备用图
解:(１)设抛物线得解析式为y＝a(x+1)（ｘ－3),
即y=aｘ２－2ax－3a,
∴-2ａ=2，解得a＝-1，
∴抛物线得解析式为y＝-ｘ２＋2x+3、
当ｘ=０时,y=－x２+2x＋３=3，则C(0，3)、
设直线AC得解析式为y＝ｐx+q,
把A(－１,0）,Ｃ(0,3)代入,得
解得
∴直线ＡC得解析式为y=３x+3、
(2)∵y=－x2＋２ｘ+3＝－(x-1)2+4，
∴顶点D得坐标为(１,４)、
作Ｂ点关于y轴得对称点Ｂ′,连接DB′交y轴于点M,如解图１,则Ｂ′(-3,０）、
图1 　　 　 　　 图2
∵MB=MB′,
∴MＢ＋ＭＤ=MB′＋MD=DＢ′，此时MB＋MD得值最小，而BD得值不变,
∴此时△ＢDM得周长最小、
由D(1,4)，Ｂ′（-3,0)易得直线DＢ′得解析式为ｙ=x+3、
当x=0时,y＝x+3＝3，
∴点M得坐标为（0，3)、
(3)存在、
①过点C作AＣ得垂线交抛物线于另一点P，如解图2、
∵直线AC得解析式为ｙ＝３x＋3，
∴直线PC得解析式可设为y=－x＋b、
把C(0,３)代入，得ｂ＝3，
∴直线ＰＣ得解析式为y＝-x＋3、
联立解得或则此时P点坐标为(，)、
②过点A作AC得垂线交抛物线于另一点P，直线PＣ得解析式可设为y=－ｘ+b,
把Ａ(－１，０)代入,得+b＝0,解得b=-，
∴直线PC得解析式为y＝-x－、
联立解得或则此时P点坐标为(，-)、
综上所述,符合条件得点P得坐标为(，)或(,-)、
4、(2０19·扬州)如图1,四边形OABC是矩形，点A得坐标为(３，0)，点C得坐标为（0，6)、点P从点Ｏ出发，沿OA以每秒1个单位长度得速度向点A运动，同时点Ｑ从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度得速度向点B运动,当点P与点Ａ重合时运动停止、设运动时间为ｔ秒、
图1　　 　 　图2
（１）当t=2时,线段ＰＱ得中点坐标为＿_＿____＿;
（2)当△ＣＢQ与△PAQ相似时,求t得值;
(3）当t＝1时,抛物线y=x2+bx+ｃ经过P，Ｑ两点，与ｙ轴交于点M，抛物线得顶点为K,如图2所示、则该抛物线上是否存在点D，使∠MQD=∠MKQ?若存在，求出所有满足条件得点D得坐标；若不存在，请说明理由、
解:（1）(，2)、
(2)∵当点P与点A重合时运动停止，且此时以点P,Ａ,Q为顶点得图形不能构成三角形,
∴０＜t＜3、
∵四边形OＡBC是矩形,
∴∠B=∠PAQ＝90°、
当△CＢQ与△PAQ相似时，存在两种情况：
①当△PAＱ∽△QＢC时，=,
∴=，
整理得４t2-１5t＋９=0,
解得t1=3（舍去）,t2＝、
②当△ＰAQ∽△CＢQ时，＝，
∴=,
整理得t2－9t＋9=0,
解得t＝、
∵＞7，
∴ｔ=不符合题意，舍去,
∴t=、
综上所述，当△CBQ与△PＡQ相似时,t得值是或、
(3)当t=1时，P(1,0),Ｑ(３，２),
把P(1，0),Q（3，)代入抛物线y＝x2＋bx+c中,
得解得
∴抛物线得解析式为y=ｘ2-3x+2＝(x-)2－,
∴顶点K（,-)、
∵Q(3，2),M(０，2），
∴MQ∥x轴、
①当点D在点M得上方时，作抛物线得对称轴，交MQ于点E,如解图1，
∴KM=KQ，ＫE⊥ＭQ，
∴∠MKE=∠ＱKＥ=∠MKＱ，
∠MＱD=∠MKQ＝∠QKE、
设DＱ交y轴于点H,
∵∠HMQ=∠ＱEＫ＝90°,
∴△ＫＥQ∽△QMＨ，
∴=,即=，
∴MH＝2，∴H(０,4)、
由H(0,4)，Q(3,2),易得直线HQ得解析式为y=－x＋4、
联立即x２－3x＋2=－ｘ＋４,
解得ｘ1＝3（舍去)，x2=-，
∴D（-,)、
②同理,当点D在点M得下方时，y轴上存在点H，如解图2,使∠HQM=∠MKＱ、
由对称性，得H(0,0）、
由O（0，０),Q（3,2),易得直线OＱ得解析式y＝x,
联立即x2-3x＋２=ｘ,
解得x１＝3(舍去）,x2=,
∴Ｄ(，)、
综上所述,点D得坐标为Ｄ(－，)或(，）、