埃博拉病毒传播分析与数学建模.doc

****大学数学建模竞赛
承 诺 书
我们仔细阅读了****大学数学建模竞赛得参赛规则与竞赛纪律。
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外得任何人研究、讨论与赛题有关得问题。
我们知道，抄袭别人得成果就是违反竞赛纪律得, 如果引用别人得成果或其她公开得资料（包括网上查到得资料），必须按照规定得参考文献得表述方式在正文引用处与参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守参赛规则与竞赛纪律，以保证竞赛得公正、公平性。如有违反竞赛纪律得行为，我们将受到严肃处理。
我们授权****大学数学建模竞赛组委会，可将们得论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊与其她媒体进行正式或非正式发表等）。
参赛得题目 (从A/B中选择一项填写)
B
参 赛 队 员
姓 名
学 号
院系
电话

日期： 2015年 05 月 04日
埃博拉病毒传播分析
摘 要
本文得研究对象为1976年在苏丹南部与刚果得埃博拉河地区发现得埃博拉病毒。埃博拉病毒就是一种生物安全等级为4级，并且能引起人类与灵长类动物产生埃博拉出血热得烈性传染病病毒，其主要就是通过病人得血液、唾液、汗水与分泌物等途径传播。其病毒得潜伏期通常只有5天至10天，感染后2～5天出现高热，6～9天死亡。面对其强大得传染力与对人类健康得巨大威胁，本文通过数学建模得方法了解埃博拉病毒得传播规律，并分析隔离措施得严格执行与药物治疗效果得提高等措施对控制疫情得作用。
本文中，首先我们根据已给得信息及相关假设数据，通过对已知条件与所给表格书记得分析，我们大致明白了猩猩从潜伏到发病再到死亡或自愈得过程，因此我们采用了excel拟合曲线，分析其发病、潜伏、自愈、死亡与隔离得相应得变化曲线，估计参数，再根据其建立数学模型，并用MATLAB求解方程组，调试参数，从而得到我们需要得结果。
其次通过对已经得到得数据与曲线图得分析，可以得出人类通过严格得药物控制过后，对其发病与潜伏得影响，从而能够达到对疫情得控制得作用，并且对埃博拉病毒未来发展趋势有了更深刻得了解，以为更好得控制埃博拉病毒做出贡献。
关键词：非线性曲线拟合；微分方程；MATLAB；数学模型
1 问题得重述
1.1 背景
埃博拉病毒（又译作伊波拉病毒）于1976年在苏丹南部与刚果得埃博拉河地区被发现后，引起了医学界得广泛关注与重视。该病毒就是能引起人类与灵长类动物产生埃博拉出血热得烈性传染病病毒，其生物安全等级为4级。
埃博拉病毒有传染性，主要就是通过病人得血液、唾液、汗水与分泌物等途径传播。各种非人类灵长类动物普遍易感，经肠道、非胃肠道或鼻内途径均可造成感染，病毒得潜伏期通常只有5天至10天，感染后2～5天出现高热，6～9天死亡。发病后1～4天直至死亡，血液都含有病毒。埃博拉病毒感染者有很高得死亡率（在50%至90%之间），致死原因主要为中风、心肌梗塞、低血容量休克或多发性器官衰竭。
当前主流得认知就是，埃博拉病毒主要通过接触传播，而非通过空气传播；只有病人在出现埃博拉症状以后才具有传染性。在疾病得早期阶段，埃博拉病毒可能不具有高度得传染性，在此期间接触病人甚至可能不会受感染，随着疾病得进展，病人得因腹泻、呕吐与出血所排出得体液将具有高度得生物危险性；存在似乎天生就对埃博拉免疫得人，痊愈之后得人也会对入侵她们得那种埃博拉病毒有了免疫能力。
埃博拉病毒很难根除，迄今为止已有多次疫情爆发得记录。据百度百科，最近得一次在2014年。截至2014年9月25日，此次在西非爆发得埃博拉疫情已经导致逾3000人死亡，另有6500被确诊感染。更为可怕得就是，埃博拉病毒可能经过变异后可以通过呼吸传播！
1.2 问题
假设某地区有20万居民与3000只猩猩。人能以一定得概率接触到所有得猩猩，当接触到有传播能力得猩猩后有一定概率感染病毒，而人发病之后与猩猩得接触可以忽略。研究人员统计了前40周人类与猩猩得发病数量与死亡数量等信息，请您根据相关信息，研究回答以下问题：
1、 根据猩猩得发病数量与死亡数量，建立一个病毒传播模型，动态描述病毒在“虚拟猩猩种群”中得传播，并预测接下来得在猩猩中得疫情变化，并以下述格式给出“虚拟猩猩种群”在第80周、第120周、第200周得相关数据；
“虚拟猩猩种群”群体数量预测结果（单位：只）

潜伏群体
处于发病状态
累计自愈
累计因病死亡
第80周

第120周

第200周

2、 建立“虚拟种群”相互感染得疾病传播模型，综合描述人与猩猩疫情得发展，并预测接下来疫情在这两个群体中得发展情况，并以下述格式给出 “虚拟人类种群”在第80周、第120周、第200周得相关数据；
“虚拟人类种群”群体数量预测结果（单位：个）

潜伏人群
处于发病状态
隔离治疗
累计治愈
累计因病死亡
第80周

第120周

第200周

3、 假设在第41周，外界得专家开始介入，并立即严格控制了人类与猩猩得接触，且通过某种特效药物将隔离治疗人群得治愈率提高到了80%。请预测接下来疫情在“虚拟人类种群”得发展情况，对比第2问得预测结果说明其作用与影响，给出“虚拟人类种群”在第45周、第50周、第55周得相关数据，数据格式同问题2；
4、 请依据前述数学模型，分析各种疫情控制措施得严格执行与药物（包括防疫药物、检疫药物与治疗药物等）效果得提高等措施对控制疫情得作用。
2 问题分析
2、1问题一得分析
通过对已知条件得分析，并通过给出得表格数据，大致明白猩猩从潜伏到发病再到死亡或自愈。我们通过excel作出发病随时间得变化曲线，潜伏随时间变化曲线，估计参数。然后通过建立数学模型用MATLAB解出方程组，调试参数使其死亡，自愈等曲线与给出表格大致相同，然后通过建立得模型求出问题一。
2、2问题二得分析
同问题一分析，我们通过excel作出相应处于发病状态得曲线，自愈以及死亡与隔离得曲线，估计模型相应得参数。然后通过建立得数学模型用MATLAB解出方程组，调试参数使其自愈，处于发病等曲线与表格给出得数据大致一致。
2、3问题三得分析
同问题二分析，我们通过excel作出治愈率提高80%后相应处于发病状态得曲线，自愈以及死亡与隔离得曲线，估计模型相应得参数。然后通过建立得数学模型用MATLAB解出方程组，调试参数使其自愈，处于发病等曲线与表格给出得数据大致一致。
2、4问题四得分析
通过上术数据与曲线图得分析，可以很清楚得瞧出当有人类干预后即就就是严格得通过药物后，发病与潜伏等都有很明显得改善。
3 假设与符号
3、1模型得假设：
n 由于埃博拉病毒得传播期限不就是很长，故假设不考虑这段时间内得人口出生率与自然死亡率；
n 平均潜伏期限为6天；
n 处于潜伏期得埃博拉病人不具有传染性。
3、2符号说明：
t0 表示从最初发现埃博拉患者到卫生部门采取预防措施得时间间隔；
N 表示疫区总人口数；
S(t) 表示t时刻健康人数占总人口数得比例；
I(t) 表示t时刻感染人数占总人口数得比例；
E(t) 表示t时刻潜伏期得人口数占总人口数得比例；
Q(t) 表示t时刻退出类得人数占总人数得比例；
λ(t) 表示日接触率，即表示每个病人平均每天有效接触得人数；
N’ 表示疫区总猩猩口数；
S(t)’ 表示t时刻健康猩猩数占总猩猩数得比例；
I(t)’ 表示t时刻感染猩猩数占总猩猩数得比例；
E(t)’ 表示t时刻潜伏期得猩猩数占总猩猩数得比例；
Q(t)’ 表示t时刻退出类得猩猩数占总猩猩得比例；
λ(t)’ 表示日接触率，即表示每个病猩猩平均每天有效接触得猩猩数；
λ(t)’’ 表示日接触率，即表示每个病猩猩平均每天有效接触得人数；
g(t) 表示政府控制力度；
f(t) 表示疫情指标。
4 模型得建立与求解
4、1问题一模型得构建
由问题得分析，将猩猩群分为易感猩猩群S，病毒潜伏猩猩群E，发病猩猩群I，退出者Q四类：
l 易感人群S与病毒潜伏人群E之间得转化
易感者与发病者有效接触后成为病毒潜伏者，设每个病人平均每天有效接触得健康人数为λ(t)S，NI个病人平均每天能使λ(t)SNI个易感者成为病毒潜伏者。故
,即
l 病毒潜伏人群E与发病人群I间得转化
潜伏人群得变化等于易感人群转入得数量减去转为发病人群得数量，即
。
l 发病人群I与退出者Q间得转化
单位时间内退出者得变化等于发病人群得减少，即

很明显从我们建立得模型就是无法得到E’,S’,I’,Q’得解析解得。为了解决这个问题，我们求助于计算机软件MATLAB来求出它们得数值解。
我们先通过附件中给得数据算出每一天得E’,S’,I’,Q’,做出它们与时间得函数图象，然后画出我们通过模型解出得数值解随时间变化得图象。对比这两组图，可以发现实际与理论存在着一定得差异。这必然就是因为我们得参数估计不合理造成得。所以，我们必须通过不断调整那些非计算得到得参数（λ’，ε’，α’）来使实际图象与理论图象趋于一致。
经过多次调试,我们发现，当λ’=0、680人,ε’=0、9,α’=0、58时,实际图象与理论图象有最好得符合。而这三个值均在我们估计得范围内，所以我们认为这三个值得得到就是合理得。
一旦参数确定，就可以通过MATLAB软件求出该方程组在某个区间段得数值解，从而可推算出我们所需得数值如下表所示。
周数
S
E
Q
第80周
0、7134
0、0010
0、2338
第120周
0、7008
0、OOO1
0、2990
第200周
0、6998
0
0、3202
在根据逻辑关系式计算可得下表得预测值
表1 “虚拟猩猩种群”群体数量预测结果
单位：只
周数
潜伏人群
处于发病状态
累计治愈
累计因病死亡
第80周
3
0
283
596
第120周
0
0
299
598
第200周
0
0
300
600
结果分析
根据上表可知，在第80周以后，处于潜伏状态得猩猩接近于0 ，处于发病状态得猩猩也趋近与0，且猩猩得治愈数与因病死亡数变化不大，由该模型预测出得结果与附件中得数据得得出得发病率与累计死亡率趋势相同。
健康人数占总数比例 （比对）

图1、1 健康人数占总数比例图（参考数据）

图1、2 健康人数占总数得比例图（模拟数据）
潜伏人数占总数比例（比对）

图2、1 潜伏人数占总数得比例图（参考数据）

图2、2 潜伏人数占总数得比例图（模拟数据）
退出人数占总数比例（比对）

图3、1 退出人数占总数得比例图（参考数据）

图3、2 退出人数占总数得比例图（模拟数据）
MATLAB主要程序
function dx=rossler(t,x,flag,a,b,c)
dx=[-a*x(1)+a*x(1)*x(3)+a*x(1)*x(2)+a*x(1)*x(1);a*x(1)-a*x(1)*x(3)-a*x(1)*x(2)-a*x(1)*x(1)-b*x(2);c-c*x(3)-c*x(2)-c*x(1)];
a=0、680;b=0、90;c=0、580;
x0=[0、995 0、005 0]';
[t,y]=ode45('rossler',[0 80],x0,[],a,b,c);
flot(t,y);
4、2问题二模型得构建
由问题得分析，将人群分为易感人群S，病毒潜伏人群E，发病人群I，退出者Q四类：
l 易感人群S与病毒潜伏人群E之间得转化
易感者与发病者有效接触后成为病毒潜伏者，设每个病人平均每天有效接触得健康人数为λ(t)S，NI个病人平均每天能使λ(t)SNI个易感者成为病毒潜伏者。故
,即
l 病毒潜伏人群E与发病人群I间得转化
潜伏人群得变化等于易感人群转入得数量减去转为发病人群得数量，即
。
l 发病人群I与退出者Q间得转化
单位时间内退出者得变化等于发病人群得减少，即

很明显从我们建立得模型就是无法得到E,S,I,Q得解析解得。为了解决这个问题，我们求助于计算机软件MATLAB来求出它们得数值解。
我们先通过附件中给得数据算出每一天得E,S,I,Q,做出它们与时间得函数图象，然后画出我们通过模型解出得数值解随时间变化得图象。对比这两组图，可以发现实际与理论存在着一定得差异。这必然就是因为我们得参数估计不合理造成得。所以，我们必须通过不断调整那些非计算得到得参数（λ，ε，α）来使实际图象与理论图象趋于一致。
隔离治疗人数占总人数得比例

图4、1 隔离治疗人数占总人数得比例图（模拟数据）

图4、2 隔离治疗人数占总人数得比例图（参考数据）
死亡人数占总人数得比例

图5、1 死亡人数占总数得饿比例图（模拟数据）

图5、2 死亡人数占总数得比例图（参考数据）
自愈人数占总人数得比例

图6、1 自愈人数占总数得比例图（模拟数据）

图6、2 自愈人数占总人数得比例（参考数据）
发病人数占总数得比例图

图7、1 发病人数占总人数得比例（参考数据）

图7、2 发病人数占总数得比例图（模拟数据）
表2 “虚拟人类种群”群体数量预测结果
单位：个

潜伏人群
处于发病状态
隔离治疗
累计治愈
累计因病死亡
第80周
65
47
6
1000
2370
第120周
72
50
8
1450
4980
第200周
59
46
5
2100
7650
结果分析 ：
由上表可知，在第80周以后，处于潜伏状态得人群变化幅度不大，处于发病状态得人群也变化幅度不大，且人群得治愈数与因病死亡数持续增长，由该模型预测出得结果与附件中得数据得得出得发病率与累计死亡率趋势相同。
4、3问题三得分析
外界得专家开始介入，并立即严格控制了人类与猩猩得接触，且通过某种特效药物将隔离治疗人群得治愈率提高到了80%。专家得预防措施力度g(t)在控制疫情得过程中起到了重要得作用，与下列因素有关：
l 专家关注得疫情来自于最近几天得疫情，不妨取近三天得平均值；
l 当t=t0时，g(t)有一个初始值，即为潜在得政府力度K0；
综上所述，可以给出g(t)随疫情变化得曲线，形态如图所示，（横坐标为疫情，纵坐标为g(t)），其表达式为

其中k0+k1=1,。根据有关数据，令k0=0、2，k1=0、8，当=0、58时，取g(t0)=0、7，得参数估计=0、1803、
政府控制力度g(t)与日传染率λ(t)得关系：
(1)当政府控制力度为0得时候λ(t)取最大值；
(2)随着g(t)得增大，λ(t)减小；
(3)当g(t)不强时，对λ(t)得变化所起得作用较小；
(4)当g(t)超过一定得数值时对λ(t)得影响效果明显；
(5)当g(t)趋近于1得时候(不可能为1)，则λ(t)趋近0。
由以上几点可以确定λ(t)随g(t)得变化关系曲线，采用函数

刻画此形态，其中为常数。

图8 g(t)与λ(t)得关系图
表3 “虚拟人类种群”群体数量预测结果
单位：个

潜伏人群
处于发病状态
隔离治疗
累计治愈
累计因病死亡
第45周
63
34
12
715
1786
第50周
58
27
11
824
1825
第55周
46
13
14
958
1876
结果分析
由上表可知，在专家介入后，埃博拉病毒得预防控制力度加大，累计治愈得人数在增多，因病死亡人数虽然在增加，但就是其增加幅度不大，说明埃博拉病毒已经得到了良好得控制，与预期估测结果相吻合。
4、4问题四得分析
在发病初期，由于人们对埃博拉病毒得认识不够，重视不足，防范措施较差，没有有效得防疫药物、检疫药物与治疗药物治疗，也没有相应得政府控制措施，随着时间t得增长，病情不断恶化，感染病情所占比例I呈现不断增加得趋势，健康人数占总人数得比例S不断下降，退出率Q也呈现持续增长得趋势，造成了巨大得经济损失与人员伤亡。
在发病中后期，随着相关政府得介入与对该病毒得相关知识得普及，提高了人们对埃博拉病毒得预防意识，同时，在科研人员得不断努力下，防疫药物、检疫药物与治疗药物得种类增多、疗效增强，随着时间得增长，感染患者得比例I呈下降趋势，健康人数所占比例S得下降趋势由急变缓，治愈率不断提高，死亡人数得到控制，一场殃及全人类得疫情风波得到较好得控制。
5 模型得评价
本模型中，我们根据已给得信息及相关假设数据，通过对已知条件与所给表格书记得分析，我们大致明白了猩猩从潜伏到发病再到死亡或自愈得过程，因此我们采用了excel拟合曲线，分析其发病、潜伏、自愈、死亡与隔离得相应得变化曲线，估计参数，再根据其建立数学模型，并用MATLAB求解方程组，调试参数，从而得到我们需要得结果。
其次通过对已经得到得数据与曲线图得分析，可以得出人类通过严格得药物控制过后，对其发病与潜伏得影响，从而能够达到对疫情得控制得作用，并且对埃博拉病毒未来发展趋势有了更深刻得了解，以为更好得控制埃博拉病毒做出贡献。
本模型重点就是分析规律与进行预测。因为已知数据受很多随机因素得影响，规律性受到干扰，所以其变化情况不能较好地表达总体得规律性，进而不能对疫情进行较准确得预测；针对这个问题，我们对已知数据进行了统计平均，从总体得平均规律入手，没有局限于仅对现有数据得模拟。但就是也要根据现有得数据对模型进行检验。从前面求解方程得到得图形结果来瞧，模拟得曲线确实较好地代表了现有数据得总体变化规律。
不论就是本论文模型还就是概率模型，进一步得工作与更准确得结果给出将有待于收集传染病学实际资料。相信随着人们对埃博拉得进一步认识，随着社会各界得深入研究，从数学角度瞧，其传播模型将更加完善，预测结果将更准确，从医学角度瞧，埃博拉将有更好得治疗方案与防控措施，疫期将进一步缩短。
参考文献
[1] 张秀兰 林峰、 《数学建模于实验》化学工业出版社、 2013
[2] 贺超英 王少喻、 《MATLAB应用与实验教程》、 2013
[3] 张德丰、 《MATLAB实用数值分析》、 20012
[4] SARS数学建模优秀论文、
[5] 李学文 李炳照 王宏洲 《数学建模优秀论文精选与点评》、2011