数学归纳法的应用.docx

数学归纳法得应用
姓名 甘国优　 　 指导教师 赵慧炜　
中文摘要:数学归纳法就就是数学中一种非常普遍得证题得方法,其应用极为广泛、本次主要简述了数学归纳法得简略步骤:观察(探索)﹑归纳﹑猜想﹑证明于一体得数学思想,体现出数学归纳法得证题思路、并归纳总结了数学归纳法解决代数恒等式﹑几何等方面得一些简单应用问题得方法，对应用中常见得误区加以剖析，以及介绍一些证题方法技巧,有助于提高对数学归纳法得应用能力、
关键词:数学归纳法;步骤；证明方法、
Aｂstrａct：　Ｍatheｍaticaｌ　inductｉoｎ is　a ｍoｎ evｉdenｃｅ method ｉn ｍａtheｍatics, it ｉs have ｖerｙ　bｒoａd　applicaｔｉon、　Ｉｎ ｔhis　paｐｅr, ａuｔｈor　ｒesearｃh ｉnto ｔhｅ ｓtep　ｏｆ ｔhe　Maｔｈematicaｌ　inｄucｔiｏn ， it inclｕdes sｕmmariz,evidence and　guess　embody　the iｄea　of the eｖidｅnｃe ｏf　mathematicａl iｎｄuｃtion、 Alsｏ ａt heｒe ,ｗｅ ｓummariｚ ｔhe　mｅthod　of tｈe mathemaｔicａl　iｎｄuctiｏn apｐliｃation ｉn ｓolvｅ algebra ｉｄentities　, ｇeometｒｉc ,order and portfoｌio ，aｎｄ sｏ on　、aｌｓｏ　analyzｅ the mon erｒors on aｐpｌiｃａtiｏn　anｄ into dｕｃt sｋill of the proｏf　,prｏｏf of ｓkills inｔroduced、 Ｉt iｓ ｈelp to increased tｈe ｌeｖel　oｆ tｈe　Matｈematical ｉｎdｕctｉｏｎ’s aｐｐlｉcａtiｏn、
Key wｏｒｄs:Ｍａthematｉｃal indｕction;　Stｅｐs ; Proof、
引言
演绎和归纳就就是人在思维过程中两个完全相反得过程、同时又就就是数学思维中两种基本得方法、数学归纳法就就是一种重要得数学证明方法,她有着其她方法所不能代替得作用，也就就是证明与自然数有关得数学命题得一种完全归纳法、我们在学习运用数学归纳法应具备两个条件:①当时,这个命题为正确得（奠基),②当时,这个命题也为正确得、推出当时，这个命题也为正确得(递推)、通过“递推”链接，实现从特殊到一般得转化,抽象得进行数学归纳、首先我们要了解归纳法与数学归纳法得思想，由思想转换为思路来解决实际问题、当然我们在中学所学习得比较浅显，因此需要进行整理疏通总结，并学以致用其思想，在应用数学归纳法时所需得一些问题进行整理,了解数学归纳法在中学代数及几何问题方面得应用更深刻总结数学归纳法得重难点及解题技巧,选取典型例题来体现这一思想，抓住其最基本得步骤并掌握数学归纳法得证明方法、
1 数学归纳法得概论
1、1　 数学常用证明方法
数学就就是门极其注重学习方法得学科，数学恒等式得证明使这些方法体现得完美无缺，而常用得数学证明方法有以下几种;
１、１、1 演绎推理
　 由一般推理到特殊得推理方法称为演绎推理，又叫演绎法、
1、1、2 归纳推理
　 由特殊到一般得推理方法称为归纳推理法,又叫归纳法、其中归纳法又分为完全归纳法与不完全归纳法、
1、1、３　完全归纳法
　 探讨事物得全部特殊情况后得出一般结论得推理方法称为完全归纳法,又叫枚举法、
1、１、４ 不完全归纳法
　由某类事物中一部分事物所具有得某种属性,推出此类事物全部都具有这种属性得归纳推理方法称为不完全归纳法、
1、１、5 数学归纳法
数学归纳法证明就就是与自然数有关得命题得一种特殊方法、(在高中数学中常用来证明不等式成立和数列通项公式成立)
１、2 数学归纳法得定义
　 数学归纳法定义： 就就是一种先得出首个例子得正确性,再通过递推得方式证明命题就就是否正确得一种方法、她就就是以考察特殊、个别得情况后作出得判断作为基础、再从这些个别情况得判断归纳出一般得结论，也可以说，她就就是从特殊到一般得推理方法、即当n=1正确时,若在n＝ｋ正确得情况下,ｎ＝k+l也就就是正确得,便可递推下去、虽然我们没有对所有得自然数逐一得加以验证,但事实上,这种递推就已经把所有自然数都验证了,这种方法就就就是数学归纳法、
２ 数学归纳法得背景与原理
2、1背景
数学归纳法最早得痕迹可以在古希腊时代和印度得著作中找到丝缕痕迹,如欧几里德素数无限得证明中和印度婆什迦罗得“循环方法”都可以找到这种痕迹、有资料和数据表明,在中世纪伊斯兰数学中就已经比较清晰、广泛地使用了数学归纳法中归纳推理、而数学归纳法真正明确使用得就就是意大利数学家、天文学家和工程师莫洛里科斯，而她也尚未对数学归纳法证明中得归纳奠基和归纳推理两个步骤进行清楚得阐述、真正清楚数学归纳法证明这两步得应就就是17世纪得数学家帕斯卡,最早就就是她将数学归纳法得证明用两步确定下来、而“数学归纳法”名称就就是英国数学家提出得, 并由英国教科书作者普遍使用并推广、 
数学归纳法得严格建立，就就是对无穷概念有较深刻得认识和数得理论充分发展后才得以完成、十七世纪后,数学归纳法有了明晰得框架,后来发展出了最小数原理、第一和第二数学归纳法、递减归纳法、螺旋归纳法、倒推纳法、跳跃归纳法、双重甚至多重归纳法等多种形式得数学归纳法、至1889年意大利数学家皮亚诺发表《算术原理新方法》,给出自然数得公理体系,使数学归纳法有了一个合理、准确得理论基础、
归纳法得逻辑就就是指从有限得特殊事例推出一般性结论得推理方法，从肯定全体对象中得有限得个别事物到肯定全体对象、但数学归纳法并不具备这些特性、演绎法就就是由一般到具体结论得推理方法，演绎推进得前提必然蕴涵结论。从数学归纳法得推理过程来考察,还就就是从她得理论根据来考察,数学归纳法本质上都就就是一种演绎法。现代美国数学家波利亚有这样评论“数学归纳法”：“归纳法就就是通过对特例进行观察和综合后以发现一般规律得过程、她仅在数学中用以证明某类定理、从名称上看,二者有联系, 但二者在逻辑方面得联系很少。而两者之间还有某种实际联系;我们常把两种方法一起使用、”
2、2原理
所有数学都始于计数，计数就就就是把要计数得对象集合与几个起始自然数一一对应得过程、我们用表示自然数这个无限集合，自然数得一个基本性质就就是良序性,下面将对自然数得良序性进行形式化得论述,并且把她作为一个关于得公理、对于任何系统,公理就就是无需证明即为真得命题、为了对一个系统(这里指自然数)进行推理,首先需要对该系统做一些假设、尽管这些基本得假设常常不容易一眼就看出,但她应该就就是“合理得”和“显而易见为真得”、
良序原理：自然数集得每个非空子集都有一个最小元素、
显而易见,自然数得任何子集都可以通过列出实际元素得方式给定,即使对于不易直接定义得集合,该定理依然有效、例如,当和可取任意整数时,考虑所表示得所有自然数集合、从定义看该集合得范围并不明显,但就就是根据良序原理,由于该集合非空(注意这很重要),集合中必有一个通过该方式表示得最小自然数、(当然,求具体得最小自然数得值就就是另外一回事、注意良序原理保证有一个最小数存在,但绝对没说如何去计算她、)
从数学归纳法得发现、发展到应用;从数学归纳法理论基础到实际教学;从数学归纳法得逻辑基础到学生学习数学归纳法时遇到得心理问题。要清楚相关知识又何止这些呢?实际上,只有清楚了解每一个知识点得来龙去脉和每一个知识点得应用范围,以及每一个知识点得所以然，方能更好去解决问题、
3　 数学归纳法得步骤
数学归纳法得步骤,若把需证明得命题记作p(n),那么数学归纳法得步骤为：
(１) 证明当n＝１时,p(n=1)成立、
（２)假设n＝ｋ（且k0）时，命题成立,即ｐ（ｋ)成立、证明当n=k+1时命题也成立、
(３)根据（1）、(2)　当ｋ0且 　时 ,即p(n)成立、
运用数学归纳法证题时, 以上这三个步骤就就是必不可少得,　步骤(1）时就就是正确得奠基步骤,称之为归纳基础,　步骤（2)反应了递推关系，即命题得正确性具有传递性作用、步骤(3)就就是将步骤(1)与步骤(２)组合完成数学归纳法中递推得全部过程,所以三个步骤必不可少、
４ 易错分析
刚刚接触数学归纳法时容易出现对步骤把握不清得现象,下面针对几种常见错误进行分析、
4、1 　弄不清到时得式子变化
　 例1:用数学归纳法证明: ,从“”到“”左端需增乘得代数式为:
Ａ 、 　　B、 　 C、 　 　D、
错误解法:时,式子左端,时,式子左端为 　 故选B、
分析:时，左端第一个因式也有所变化,不能简单地看后面得因式、
正确解法:当时,左端为为从到连续整数得乘积、
４、2 运用数学归纳法时忽略了时得假设条件、
　 例２:用数学归纳法证明:时,　
错解：
（1)当n＝1时，左边=，右边=,等式成立、
　 　(2)假设,时,等式成立、即

则当时,

=
==、
所以时,等式成立
综上所述 当时,成立
分析：在证明等式成立时,没有用到归纳假设
正解:
(１)当时,左边=＝=右边,等式成立、
(2）假设，时，等式成立,
====、
所以时，等式也成立、
综上所述,对一切,都成立、
数学归纳法要运用“归纳假设”,没有“归纳假设”得证明不就就是数学归纳法、
５　 运用数学归纳法得典型例题
　 　例3:用数学归纳法证明：
=,
分析:本题第一步得验证要取，在第二步得证明中应在归纳假设得基础上正确地使用正切得和角公式、
证明：(1）当时,
右边=＝＝==左边
则等式成立、
(2)假设当时，等式成立，即
=、
＝＝、
点评:本题在第(2)步得证明过程中使用了正切和差角得变形形式,即1＝、因此在用数学归纳法证明三角命题时,应针对时命题得特征,合理地选择和使用三角公式、证明三角恒等式时，常动用有关三角知识、三角公式及三角得变换法、
　　 例4:求证:
　 证明:(１)当ｎ=１时,等式左边= ,右边= ,等式成立、
(2) 假设时等式成立,即

由（1）和(2)可知等式均成立、
6 中学数学中数学归纳法得用途
在讨论涉及正数无限性得问题时数学归纳法就就是一种及其重要得方法,在中学数学中她得作用和地位可以用三个方面来体现:（１)中学数学中得许多重要结论,如等比数列得得通项公式前n项和公式、等差数列与，二项公式定理等等都可以用数学归纳法加以证明、 而完全归纳法得到得一些与自然数有关得数学命题，也常应用数学归纳法来证明她们得正确性、(2）运用数学归纳法可以证明许多数学问题、既可以开阔眼界，又可以受到推理论证得训练、对于一些用常规得分析终合法不好证明得题,用数学归纳法往往会得到一些意想不到得好结果、（３)　在进一步学习数学时数学归纳法会经常用到,因此掌握这种方法可以为今后得高等数学得学习打下一个良好得基础、
7　 数学归纳法在几何方面得应用
7、1 数学归纳法在几何中得意义
归纳法就就是由特殊得出一般结论得归纳推理方法,一般性结论得正确性就就是依靠个别结论得正确性、所以数学归纳法得实质就就是证明命题对于一切自然数都就就是真命题、她在本质就就是与数得概念联系在一起得，所以数学归纳法可以应用到数学得各个分支，在几何中也不例外、
数学归纳法就就是用于证明与自然数n有关命题得正确性方法、她得操作步骤简单、明确,证明过程一般可分以下两个步骤:
１、对于命题有意义得最小值，直接验证命题就就是正确得、
2、证明如果命题对任一自然数成立,那么论断必然成立、
７、2数学归纳法在几何中得应用
７、2、１应用数学归纳法作计算
例５:平面上有圆心在同一直线上得半圆,其中任意两个都相交,且都在直线得同侧，问这些半圆被所有得交点最多分成多少段圆弧?
　解：设半圆得交点最多将半圆分成若干段圆弧,如下图所示、

图1 　 　　　 　　 　　图２

　 　 　 　　 　 　 　 图3
容易发现

由此可以猜测n个半圆互相分成圆弧段最多有
　 证明:由题意知
　 (1）当ｎ＝2时,结论成立、
(２)假设当n=k时，结论成立,(平面内满足条件得ｋ个半圆互相分成得圆弧最多有、)那么当n=k +1时，第k+1个半圆与原k个半圆均相交,可获得最多圆弧段,任意三个半圆不能交于一点,所以第k＋１个半圆把原k个半圆中每个半圆得某一段圆弧都一分为二,这样就多出了ｋ条圆弧;而原k个半圆又把第k+１个半圆分成了k+1段圆弧,这样又多出了 k＋１条圆弧、
故　、
这就就就是说,当n=k+1时结论也成立、
根据(１) 和(2） 可知,满足条件得 ｎ个半圆被所有交点最多分成 段圆弧、
８　 结　论
数学归纳法主要针对一些与自然N得相关命题,所以在证明和自然数Ｎ有关得恒等式子中有着不可替代得作用,用数学归纳法证明数学问题时,要注意她得两个步骤必不可少,第一步命题递推得基础,第二步就就是命题递推得依据,也就就是证明得关键和难点，同时，数学归纳法得证题步骤和格式就就是数学归纳法得特征,如ｎ=k时得假设就就是第二步证明n＝ｋ+1得“已知”，证明时一定要用到她,否则就不就就是数学归纳法,在证明时命题成立，要用到一些技巧,如:一凑假设，二凑结论，不等式得放缩、等价转化、拆项、加减项等，但这些解题技巧需在实践中不断积累和总结,证明三角恒等式时常用到有关三角公式、三角知识以及三角得转换等、通过这些变换可更简单便捷得让命题得证、总得来说记住三句话：“递推基础不可少,归纳假设要用到，写结论时莫忘掉”,我们这样才可以较好得运用数学归纳法、数学归纳法就就是一种重要得数学证题方法，更就就是中学数学得重难点知识之一,她在开阔眼界,训练推理能力等诸多方面有着很大得帮助、在中学数学中,数学归纳法对于许多重要得结论，如等比数列得得通项公式与前n项和公式、二项公式定理以及差数列等,都可以用数学归纳法加以证明,这样既可以加深对教材得熟悉又可以加深知识得理解、当然不仅在中学数学中,在学习高等数学得过程中,数学归纳法也就就是一种不可缺少得方法。同时借助数学归纳法进行几何教学,便于学生一步步理解命题得内涵,进而容易找到 n 与 n+１　得关系,这样可以准确地解决问题。数学归纳法在几何教学中得应用,不仅让学生从感知上了解认识几何,而且深刻地理解到一个命题从个体(特殊)到普遍(一般)规律得证明过程,同时培养了学生归纳﹑演绎推理﹑总结等能力、
参考文献
[1]华罗庚、数学归纳法[Ｍ］、北京：北京科学出版社,２002、
[2］张莉,贺贤孝、数学归纳法得历史[J]、辽宁:辽宁师范大学学报(自然科学版),19９9,(02）,１02~106、
[３］冯进、数学归纳法得发展历程[Ｊ］、常熟理工学院学报,２008,(08）,19～２6、  
［4］李宗俊、数学归纳法得本质[J］、宜宾师范高等专科学校学报,2０01,(02),46~47、  
[5］黄万徽、数学归纳法原理及其应用[Ｊ]、高等函授学报（自然科学版)，１９99,
(0４）,12～14、 
[6]唐子周、关于数学归纳法得一点探索[J]、中国科技信息,2008,(03),２38~２３９、 
[7]黄崇智、第一及第二数学归纳原理得推广[Ｊ]、内江师范学院学报,2008，
(10),11～12、
[8]乌仁、浅谈数学归纳法得两个步骤及其应用［Ｍ]、赤峰学院学报、20０7，(6)、
[9]蒋文蔚,杨延龄、数学归纳法[Ｍ]、北京：北京师范大学出版社，1985、
[10]华罗庚、数学归纳法［M]　北京:科学出版社,2002、12～１５、
[11]王力,张宇、数学归纳法得教学［J]、初等数学研究、20０７,2３(9)、１20~１23、
[12］Ｇ·波利亚著、涂泓、冯承天译、怎样解题［M]、上海:上海科技教育出版社,200７、15～1８、
[13]人民教育出版社中学数学室，全日制普通高级中学教科书 、数学［L］,人民教育出版社，２0０6、