高数高斯公式通量与散度.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1,9.4,2.,通量与散度,1.,高斯公式,Green,公式,推广,Gauss,公式,高斯公式 通量与散度,2,一、高斯公式,定理,1,设空间闭区域,是由分片光滑的闭曲面,所围成，函数,P,(,x,，,y,，,z,),、,Q,(,x,，,y,，,z,),、,R,(,x,，,y,，,z,),在,上具有一阶连续偏导数，则有,或,（,1,）,这里,是,的整个边界曲面的外侧，,cos,、,cos,、,cos,是,上点,(,x,，,y,，,z,),处的法向量的方向余弦。公式（,1,）或（,1,）叫做高斯公式。,3,证明,:,设,为,XY,型区域,则,4,所以,若,不是,XY,型区域,则可引进辅助面,将其分割成若干个,XY,型区域,故上式仍成立,.,正反两侧面积分正负抵消,在辅助面,类似可证,三式相加,即得所证,Gauss,公式：,5,（,2,）关于,的边界曲面的正向：,是单连通区域时取外侧；,是复连通区域时外层取外侧，内层取内侧。,关于高斯公式的说明,:,（,1,）如穿过,内部且平行于坐标轴的直线与,的交点多于两个时，采用分块的方法,6,（,3,）高斯公式成立的条件：,光滑或分片光滑，,P,、,Q,、,R,在,上一阶偏导连续。,（,4,）,不闭合时，采取,“,补面,”,的方法：,+,1,封闭，所围区域,。,及易于计算,7,例,1,用,Gauss,公式计算,其中,为柱面,闭域,的整个边界曲面的外侧,.,解 这里,利用,Gauss,公式,得,原式,=,(,用柱坐标,),及平面,z=,0,z=,3,所围空间,思考 若,改为内侧,结果有何变化,?,若 为圆柱侧面,(,取外侧,),如何计算,?,8,例,2,利用,Gauss,公式计算积分,其中,为锥面,解 作辅助面,取上侧,介于,z=,0,及,z=h,之间部分的下侧,.,所围区域为,则,9,利用重心公式,注意,10,例,3,计算 其中,（,1,）的外侧；,（,2,）的内侧；,解,(1),(2),11,例,4,计算 ，,为平面,x+y+z,=1,与三坐标面所围成的表面，取外侧。,解,比用第二类曲面积分的方法简单得多。,12,例,5,设,为曲面,取上侧,求,解,作取下侧的辅助面,用柱坐标,用极坐标,13,在闭区域,上具有一阶和,二阶连续偏导数,证明格林,(Green),第一公式,例,6,设函数,其中,是整个 边界面的外侧,.,分析,高斯公式,14,证 令,由高斯公式得,移项即得所证公式,.,15,二、通量与散度,引例,设稳定流动的不可压缩流体的密度为,1,速度场为,理意义可知,设,为场中任一有向曲面,单位时间通过曲面,的流量为,则由对坐标的曲面积分的物,由两类曲面积分的关系,流量还可表示为,16,若为方,向向外的闭曲面,当,0,时,说明流,入的流体质量少于,当,0,时,说明流,入 的流体质量多于流,出,的,则单位时间通过,的流量为,当,=0,时,说明流入与流出,的流体质量相等,.,流,出,的,表明,内有泉,;,表明,内有洞,;,根据高斯公式,流量也可表为,17,如果,是高斯公式,(1),中闭区域的边界曲面的外侧，那么高斯公式的右端可解释为单位时间内离开闭区域,的流体的总质量。由于我们假定流体是不可压缩的，且流动是稳定的，因此在流体离开,的同时，,内部必须有产生流体的,“,源头,”,产生出同样多的流体来进行补充。所以高斯公式左端可解释为分布在,内的源头在单位时间内所产生的流体的总质量。,设,的体积为,V,，式（,1,）两端同除以,V,，有,上式左端表示,内的源头在单位时间单位体积内所产生的流体质量的平均值。,18,方向向外的任一闭曲面,记,所围域为,设,是,包含点,M,且,为了揭示场内任意点,M,处的特性,在式两边同除以,的体积,V,并令,以,任意方式缩小至点,M,则有,此式反应了流速场在点,M,的特点,:,其值为正,负或,0,分别反映在该点有流体涌出,吸入,或没有任何变化,.,19,定义,设有向量场,其中,P,Q,R,具有连续一阶偏导数,是,场内的一片有向,则称,曲面,其单位法向量,n,为向量场,A,通过,有向曲面,的通量,(,流量,),。,在场中点,M,(,x,y,z,),处,称为向量场,A,在点,M,的散度。,记作,divergence,20,表明该点处有正源,表明该点处有负源,表明该点处无源,散度绝对值的大小反映了源的强度,.,若向量场,A,处处有,则称,A,为无源场。,例如,匀速场,故它是无源场,.,说明,:,由引例可知,散度是通量对体积的变化率,且,21,*,例,7.,置于原点,电量为,q,的点电荷产生的场强为,解,:,计算结果与仅原点有点电荷的事实相符,.,22,例,8,已知向量，,为,圆柱 的全表面，求,A,穿过曲面,而流向其外侧的通量。,解：,23,内容小结,1.,高斯公式及其应用,公式,:,应用,:,(1),计算曲面积分,(,非闭曲面时注意添加辅助面的技巧,),(2),推出闭曲面积分为零的充要条件,:,24,2.,通量与散度,设向量场,P,Q,R,在域,G,内有一阶,连续偏导数,则,向量场通过有向曲面,的通量为,G,内任意点处的散度为,25,思考与练习,所围立体,判断下列演算是否正确,?,(1),(2),为,26,备用题 设,是一光滑闭曲面,所围立体,的体,是外法线向量与点,(,x,y,z,),的向径,试证,证,:,设,的单位外法向量为,则,的夹角,积为,V,27,高斯,(1777,1855),德国数学家、天文学家和物理学家,是与阿基米德,牛顿并列的伟大数学家,他的数学成就遍及各个领域,在数论、,级数、复变函数及椭圆函数论等方面均有一系列开创,性的贡献,他还十分重视数学的应用,地测量学和磁学的研究中发明和发展了最小二乘法、,曲面论和位势论等,.,他在学术上十分谨慎,原则,:,代数、非欧几何、微分几何、超几何,在对天文学、大,恪守这样的,“,问题在思想上没有弄通之前决不动笔,”,.,