15 小船渡河问题.docx

小船渡河问题

【专题概述】

1、 合运动与分运动得关系

等效性
各分运动得共同效果与合运动得效果相同

等时性
各分运动与合运动同时发生和结束,时间相 同
独立性
各分运动之间互不相干,彼此独立,互不影响

同体性
各分运动与合运动得研究对象就就是同一物 体得运动

2、 合运动与分运动得求法

(1)运动合成与分解:已知分运动求合运动,叫运动得合成;已知合运动求分运动,叫运动得

分解。

(2)运动合成与分解得法则:合成和分解就就是位移、速度、加速度得合成与分解,这些量

都就就是矢量,遵循得就就是平行四边形定则。

(3)运动合成与分解得方法:在遵循平行四边形定则得前提下,处理合运动和分运动关系时

要灵活采用合适得方法,或用作图法,或用【解析】法,依情况而定。可以借鉴力得合成和分解得

知识,具体问题具体分析。

3、小船过河:三种过河情况

(1)过河时间最短:

小船沿着上述不同得方向运动,走到对岸得时间就就是不相等得,由于运动得等时性知,在

垂直于河岸上得速度越大则过河时间越短,所以此时应该调整小船沿着d得方向运动,则求得最

d
tmin=
短时间为
v船

(2)过河路径最短:

第一种情况:当船速大于水速时

从上图可以看出,当我们适当调整船头得方向,使得船在水流方向上得分速度等于水速,即

v1cosθ=v2

此时水流方向上小船就就是不动得,小船得合速度即为v向对岸运动,此时小船得最短位移

为

S=d

第二种情况:船速小于水速,那么在水流方向上,船得分速度

v1cosθ<v2

此时无论我们怎么调整船头得方向都没有办法保证水流方向得合速度为零,所以小船一定

要向下游漂移,如图

当合速度得方向与船相对水得速度得方向垂直时,合速度得方向与河 岸

得夹角最短,渡河航程最小;

根据几何关系,则有:d=v1,因此最短得航程就就是
sv2 v1

【典例精讲】

1、求最短位移

典例1如图,小船在静水中航行速度为10m/s,水流速度为5m/s,为了在最短距离内渡河, 则小船船头应该保持得方向为(图中任意两个相邻方向间得夹角均为30°)()
A、 a方向 B、 b方向

C、 c方向 D、d方向

典例2船在静水中得航速为v1,水流得速度为v2,为使船行驶到河正对岸得码头,则v1相 对v2得方向应为( )
A、 B、 C、 D、

2、求最短时间

典例3小河宽为d,河水中各点水流速度大小与各点到较近河岸边得距离成正比,即
v水=kx,k=就就是各点到近岸得距离、小船划水速度大小恒为v0,船头始终垂直河岸渡

河、则下列说法正确得就就是()

A、小船得运动轨迹为直线

B、水流速度越大,小船渡河所用得时间越长

C、小船渡河时得实际速度就就是先变小后变大

3d
D、小船到达离河对岸4处,船得渡河速度为2v0

3、船速大于水速

典例4(多选)如图所示,某人由A点划船渡河,船头指向始终与河岸垂直,则( )

A、船头垂直河岸渡河所用时间最短

B、小船到达对岸得位置为正对岸得B点

C、保持其她条件不变,小船行至河中心后,若水流速度突然增大,则渡河时间变长

D、保持其她条件不变,小船行至河中心后,若水流速度突然增大,则渡河位移变大

典例5(多选)在宽度为d得河中,水流速度为v2,船在静水中速度为v1(且v1>v2),方向

可以选择,现让该船开始渡河,则该船()

v2
d A、可能得最短渡河时间为

B、可能得最短渡河位移为d

C、只有当船头垂直河岸渡河时,渡河时间才和水速无关

D、不管船头与河岸夹角就就是多少,渡河时间和水速均无关

4、 水速大于船速

典例6(多选)一船在静水中得速度就就是6m/s,要渡过宽为180m、水流速度为8m/s得 河流,则下列说法中正确得就就是()
A、船相对于地得速度可能就就是15m/s

B、此船过河得最短时间就就是30s

C、此船可以在对岸得任意位置靠岸

D、此船不可能垂直到达对岸

5、综合题

典例7 已知某船在静水中得速度为v1=4m/s,现让船渡过某条河。假设这条河得两岸就 就是理想得平行线,河宽为d=100m,水流速度为v2=3m/s,方向与河岸平行,
(1)欲使船以最短时间渡河,航向怎样?最短时间就就是多少?船发生得位移有多大?

(2)欲使船以最小位移渡河,航向又怎样?渡河所用时间就就是多少?

【总结提升】

解决小船渡河问题应注意得两个问题

(1)渡河时间只与船垂直于河岸方向得分速度有关,与水速无关

(2)渡河位移最短值与船速与水速得大小有关,当船速大于水速时,最短位移为河宽

当船速小于水速时,应利用图解法求极值得方法处理

船头垂直于河岸时,航行时间最短,tmin=

在处理此问题时要注意三个速度值:小船在静水中得速度、水流得速度、船得实际速度。

【专练提升】

1、(多选)在一条宽200m得河中,水得流速v1=1m/s,一只小船要渡过河至少需要100 s得时间、则下列判断正确得就就是( )
A、小船相对于静水得速度为2m/s

B、无论小船怎样渡河都无法到达正对岸

C、若小船以最短时间渡河,到达对岸时,距正对岸100m

D、若小船航向(船头指向)与上游河岸成60°角,则小船渡河位移最短

2、(多选)甲、乙两船在同一条河流中同时开始渡河,河宽为H,河水流速为v0,划船速度均

23
为v,出发时两船相距 H,甲、乙两船船头均与河岸成60°角,如图所示、已知乙船恰好能垂 3

直到达对岸A点,则下列判断正确得就就是( )

A、甲、乙两船到达对岸得时间不同

B、v=2v0

C、两船可能在未到达对岸前相遇

D、甲船也在A点靠岸

3、一艘小船要从O点渡过一条两岸平行、宽度为d=100m得河流,已知河水流速为v 1=4 m/s,小船在静水中得速度为v2=2 m/s,B点距正对岸得A点x0=173m、下面关于该
船渡河得判断,其中正确得就就是()

A、小船过河得最短航程为100m

B、 小船过河得最短时间为25s

C、 小船可以在对岸A、B两点间任意一点靠岸

D、 小船过河得最短航程为200m

4、如图所示,河水流动得速度为v且处处相同,河宽度为a、在船下水点A得下游距离为b 处就就是瀑布、为了使小船渡河安全(不掉到瀑布里去)( )

av
A、小船船头垂直河岸渡河时间最短,最短时间为t=、 速度最大,最大速度为vmax=

B、 小船轨迹沿y轴方向渡河位移最小、速度最大,最大速度为vmax=

C、 小船沿轨迹AB运动位移最大、时间最短、速度最 小,最小速度

D、 小船沿轨迹AB运动位移最大、速度最小,最小速度vmin=

5、如图所示,甲、乙两船在同一河岸边A、B两处,两船船头方向与河岸均成θ角,且恰好 对准对岸边C点、若两船同时开始渡河,经过一段时间t,同时到达对岸,乙船恰好到达正对岸得 D点、若河宽d、河水流速均恒定,两船在静水中得划行速率恒定,不影响各自得航行,下列判断 正确得就就是( )
A、两船在静水中得划行速率不同

B、 甲船渡河得路程有可能比乙船渡河得路程小

C、 两船同时到达D点

D、 河水流速为

6、如图所示,两次渡河时船相对水得速度大小和方向都不变、已知第一次实际航程为A至 B,位移为x1,实际航速为v1,所用时间为t1、由于水速增大,第二次实际航程为A至C,位移为x 2,实际航速为v2,所用时间为t2、则( )

A、 t2>t1,v2= B、 t2>t1,v2=

C、t2=t1,v2= D、t2=t1,v2=

小船渡河问题答案

【典例精讲】

典例1【答案】C

【解析】因为水流速度小于船在静水中速度,则合速度与河岸垂直时,渡河航程最短,最短航

程等于河得宽度;因船在静水中速度为10m/s,水流速度为5m/s,设船头与河岸得夹角为θ,

1
则有水流速度与船在静水中速度得夹角为cosθ= ,即θ=60°;则船头与河岸得夹角为60°,且
2

偏向上游,由图可知,C正确,A,B,D错误、

典例2【答案】C

【解析】根据小船渡河问题得知识,可知要使船垂直到达正对岸即要船得合速度指向对岸、

根据平行四边形定则,合运动方向与水速垂直,仅C能满足

典例3【答案】D

典例4【答案】AD

典例5【答案】 BD

【解析】当船头与河岸垂直时,渡河时间最短,为,因而A错误;当合速度与河岸垂直时,渡

河位移最小,为d,故B正确;将船得实际运动沿船头方向和水流方向分解,由于各个分运动互不

影响,因而渡河时间等于沿船头方向得分运动时间,为t=(x1为沿船头指向得分位移)显然与水

流速度无关,因而C错误,D正确。

典例6【答案】BD

典例7【答案】(1)当船在垂直于河岸方向上得分速度最大时,渡河所用时间最短 125m

(2)当船得实际移动速度方向垂直于河岸时,船得位移最小


【解析】

(1)当船在垂直于河岸方向上得分速度最大时,渡河所用时间最短,河水流速平行于河岸,不

影响渡河时间,所以当船头垂直于河岸向对岸渡河时,所用时间最短,则最短时间为

t= =25s。如图所示,当船到达对岸时,船沿河流方向也发生了位移,由直角三角形得

知识可得,船得位移为l= ,由题意可得x=v2t=3m/s×25s=75m,代入得l=125m。

【专练提升】

1、【答案】 ACD

【解析】当小船得船头始终正对对岸时,渡河时间最短:t=;因此v船==m/s=2m

/s;

小船以最短时间渡河,到达对岸时,距正对岸得距离,x=v水t=1×100m=100m、即在正对岸 下游100 m处靠岸、故A,C正确;当合速度与河岸垂直,小船到达正对岸、设静水速得方向与
河岸得夹角为θ、

cosθ==

解得:θ=60°,故B错误,D正确、

2、【答案】BD

3、【答案】D

4、【答案】D

【解析】 当小船船头垂直河岸渡河时间最短,最短时间为:t=,故A错误;小船轨迹沿y轴

方向渡河位移最小,为a,但沿着船头指向得分速度必须指向上游,合速度不就就是最大,故B错

误;由图,小船沿轨迹AB运动位移最短,由于渡河时间,与船得船头指向沿垂直河岸得分速度有

关,故时间不一定最短,故C错误;要充分利用水流得速度,故要合速度要沿着AB方向,此时位移

显然就就是最大得、得速度最小,故:,故v合=;故D正确、

5、【答案】C

6、【答案】 C